Operador de compresión

En física cuántica , el operador de compresión para un solo modo del campo electromagnético es ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\hat {S}}(z)=\exp \left({1 \over 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dagger 2})\right),\qquad z=r\,e^{i\theta }}$

donde los operadores dentro de la exponencial son los operadores de escalera . Es un operador unitario y por lo tanto obedece${\displaystyle S(z)\,S^{\dagger }(z)=S^{\dagger }(z)\,S(z)={\hat {1}}}$, dónde${\displaystyle {\hat {1}}}$es el operador de identidad.

Su acción sobre los operadores de aniquilación y creación produce

${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }(z)\,{\hat {a}}\,{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh re^{i\theta }{\hat {a}}^{\dagger }\sinh r\qquad {\text{y}}\qquad {\hat {S}}^{\dagger }(z)\,{\hat {a}}^{\dagger }\,{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dagger }\cosh re^{-i\theta }{\hat {a}}\sinh r}$

El operador de compresión es omnipresente en la óptica cuántica y puede operar sobre cualquier estado. Por ejemplo, al actuar sobre el vacío, el operador de compresión produce el estado de vacío comprimido.

El operador de compresión también puede actuar sobre estados coherentes y producir estados coherentes comprimidos . El operador de compresión no conmuta con el operador de desplazamiento :

${\displaystyle {\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),}$

tampoco se comunica con los operadores de la escalera, por lo que hay que prestar mucha atención a cómo se utilizan los operadores. Sin embargo, existe una relación de trenzado simple, ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{where}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$^{[ 2 ]}

La aplicación de ambos operadores anteriores sobre el vacío produce un estado comprimido desplazado:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|r,\alpha \rangle }$.

O un estado coherente comprimido :

${\displaystyle {\hat {S}}(r){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha ,r\rangle }$.

Como se mencionó anteriormente, la acción del operador de compresión${\displaystyle S(z)}$sobre el operador de aniquilación${\displaystyle a}$se puede escribir como$${\displaystyle S^{\dagger }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dagger }.}$$Para derivar esta igualdad, definamos el operador (antihermítico).${\displaystyle A\equiv (za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2})/2}$, de modo que${\displaystyle S^{\dagger }=e^{A}}$.

El lado izquierdo de la igualdad es, por lo tanto,${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$Ahora podemos hacer uso de la igualdad general .$${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}$$lo cual es cierto para cualquier par de operadores.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Para calcular${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$por lo tanto se reduce al problema de calcular los conmutadores repetidos entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle a}$. Como se puede comprobar fácilmente, tenemos$${\displaystyle [A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },}$$$${\displaystyle [A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.}$$Utilizando estas igualdades, obtenemos

${\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{k}a,&{\text{ for }}k{\text{ even}},\\-z|z|^{k-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}k{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

para que finalmente consigamos

${\displaystyle e^{A}ae^{-A}=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{\dagger }{\frac {z}{|z|}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=a\cosh |z|-a^{\dagger }e^{i\theta }\sinh |z|.}$

El mismo resultado se obtiene también al diferenciar el operador transformado.

${\displaystyle a(t)=e^{tA}a\,e^{-tA}}$

con respecto al parámetro${\displaystyle t}$. Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales para${\displaystyle a(t)}$y${\displaystyle a^{\dagger }(t)}$surge al trabajar a través de los conmutadores${\displaystyle [A,a(t)]}$y${\displaystyle [A,a^{\dagger }(t)]}$Su solución formal proporciona el operador transformado.${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }a\,{\hat {S}}=a(t=1)}$como combinación lineal de${\displaystyle a}$y${\displaystyle a^{\dagger }}$. La técnica puede generalizarse a otros operadores o transformaciones de estado. ^{[ 3 ]}

• Estado coherente comprimido