Estabilidad (probabilidad)

En teoría de la probabilidad , la estabilidad de una variable aleatoria es la propiedad de que una combinación lineal de dos copias independientes de la variable tiene la misma distribución , salvo en los parámetros de ubicación y escala . ^[1] Las distribuciones de variables aleatorias que tienen esta propiedad se denominan "distribuciones estables". Los resultados disponibles en teoría de la probabilidad muestran que todas las distribuciones posibles que tienen esta propiedad son miembros de una familia de distribuciones de cuatro parámetros. El artículo sobre la distribución estable describe esta familia junto con algunas de las propiedades de estas distribuciones.

La importancia en la teoría de la probabilidad de la "estabilidad" y de la familia estable de distribuciones de probabilidad es que son "atractores" para sumas correctamente normalizadas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas .

Casos especiales importantes de distribuciones estables son la distribución normal , la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy . Para más detalles, véase distribución estable .

Existen varias definiciones básicas de lo que se entiende por estabilidad. Algunas se basan en sumas de variables aleatorias y otras en propiedades de funciones características .

Feller ^{[2] hace} la siguiente definición básica. Una variable aleatoria X se llama estable (tiene una distribución estable) si, para n copias independientes Xi de _X , existen constantes c _n  > 0 y d _n tales que

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}{\stackrel {d}{=}}c_{n}X+d_{n},}$

donde esta igualdad se refiere a la igualdad de distribuciones. Una conclusión extraída de este punto de partida es que la sucesión de constantes c _n debe ser de la forma

${\displaystyle c_{n}=n^{1/\alpha}\,}$  para  ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2.}$

Una conclusión adicional es que es suficiente que la identidad distribucional anterior se mantenga solo para n = 2 y n = 3. ^[3]

Hay una serie de resultados matemáticos que se pueden derivar para distribuciones que tienen la propiedad de estabilidad. Es decir, se están considerando todas las posibles familias de distribuciones que tienen la propiedad de ser cerradas bajo convolución . ^[4] Es conveniente aquí llamar a estas distribuciones estables, sin significar específicamente la distribución descrita en el artículo denominada distribución estable , o decir que una distribución es estable si se supone que tiene la propiedad de estabilidad. Los siguientes resultados se pueden obtener para distribuciones univariadas que son estables.

• Las distribuciones estables son siempre infinitamente divisibles . ^[5]
• Todas las distribuciones estables son absolutamente continuas . ^[6]
• Todas las distribuciones estables son unimodales . ^[7]

El concepto de estabilidad antes mencionado se basa en la idea de que una clase de distribuciones se cierran bajo un conjunto dado de operaciones sobre variables aleatorias, donde la operación es la "suma" o el "promedio". Otras operaciones que se han considerado incluyen:

• estabilidad geométrica : aquí la operación consiste en tomar la suma de un número aleatorio de variables aleatorias, donde el número tiene una distribución geométrica . ^[8] La contraparte de la distribución estable en este caso es la distribución estable geométrica .
• Máxima estabilidad : aquí la operación consiste en tomar el máximo de un número de variables aleatorias. La contraparte de la distribución estable en este caso es la distribución generalizada de valores extremos , y la teoría para este caso se trata como teoría de valores extremos . Véase también el postulado de estabilidad . Una versión de este caso en la que se toma el mínimo en lugar del máximo está disponible mediante una extensión simple.

• Divisibilidad infinita
• Distribución indecomponible

• Lukacs, E. (1970) Funciones características. Griffin, Londres.
• Feller, W. (1971) Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley. ISBN  0-471-25709-5
• Klebanov, LB, Maniya, GM, Melamed, IA (1984) "Un problema de VM Zolotarev y análogos de distribuciones infinitamente divisibles y estables en un esquema para la suma de un número aleatorio de variables aleatorias". Theory Probab. Appl. , 29, 791–794