Teoría de la estabilidad

{\displaystyle x'=Ax,} — **Diagrama de estabilidad** que clasifica los mapas de Poincaré de un sistema autónomo lineal. $x'=Ax,$ como estables o inestables según sus características. La estabilidad generalmente aumenta hacia la izquierda del diagrama. ^{[ 1 ]} Algunos sumideros, fuentes o nodos son puntos de equilibrio .

En matemáticas , la teoría de la estabilidad aborda la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y de las trayectorias de sistemas dinámicos ante pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales. La ecuación del calor , por ejemplo, es una ecuación diferencial parcial estable porque pequeñas perturbaciones de los datos iniciales dan lugar a pequeñas variaciones de temperatura en un momento posterior como resultado del principio del máximo . En ecuaciones diferenciales parciales, se pueden medir las distancias entre funciones utilizando normas L ^p o la norma sup, mientras que en geometría diferencial se puede medir la distancia entre espacios utilizando la distancia de Gromov-Hausdorff .

En sistemas dinámicos, una órbita se denomina estable de Lyapunov si la órbita directa de cualquier punto se encuentra en un entorno suficientemente pequeño o permanece en un entorno pequeño (aunque posiblemente mayor). Se han desarrollado diversos criterios para demostrar la estabilidad o inestabilidad de una órbita. En circunstancias favorables, la cuestión puede reducirse a un problema bien estudiado que involucra valores propios de matrices . Un método más general utiliza funciones de Lyapunov . En la práctica, se aplica cualquiera de los diversos criterios de estabilidad .

Panorama general de los sistemas dinámicos

Muchas partes de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos tratan sobre las propiedades asintóticas de las soluciones y las trayectorias: qué sucede con el sistema después de un largo período de tiempo. El tipo de comportamiento más simple lo exhiben los puntos de equilibrio , o puntos fijos, y las órbitas periódicas . Si una órbita particular se comprende bien, es natural preguntarse a continuación si un pequeño cambio en la condición inicial conducirá a un comportamiento similar. La teoría de la estabilidad aborda las siguientes preguntas: ¿Una órbita cercana permanecerá indefinidamente cerca de una órbita dada? ¿Convergerá a la órbita dada? En el primer caso, la órbita se llama estable ; en el segundo caso, se llama asintóticamente estable y se dice que la órbita dada es atractora .

Una solución de equilibrio $f_{e}$ A un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se le llama:

estable si para cada (pequeño) $\epsilon >0$ , existe un $\delta >0$ de tal manera que cada solución $f(t)$ tener condiciones iniciales dentro de la distancia $\delta$ es decir $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta$ del equilibrio permanece dentro de la distancia $\epsilon$ es decir $\|f(t)-f_{e}\|<\epsilon$ a pesar de $t\geq t_{0}$ .
asintóticamente estable si es estable y, además, existe $\delta _{0}>0$ de tal manera que siempre $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}$ entonces $f(t)\rightarrow f_{e}$ como $t\rightarrow \infty$ .

La estabilidad implica que las trayectorias no cambian demasiado ante pequeñas perturbaciones. También resulta interesante la situación opuesta, en la que una órbita cercana se desvía de la órbita dada. En general, perturbar el estado inicial en algunas direcciones provoca que la trayectoria se aproxime asintóticamente a la dada, mientras que en otras direcciones la trayectoria se aleja de ella. También puede haber direcciones en las que el comportamiento de la órbita perturbada sea más complejo (ni converge ni se aleja por completo), y en esos casos la teoría de la estabilidad no proporciona información suficiente sobre la dinámica.

Una de las ideas clave en la teoría de la estabilidad es que el comportamiento cualitativo de una órbita bajo perturbaciones puede analizarse mediante la linealización del sistema cerca de la órbita. En particular, en cada equilibrio de un sistema dinámico suave con un espacio de fases n -dimensional , existe una matriz A de n × n cuyos autovalores caracterizan el comportamiento de los puntos cercanos ( teorema de Hartman-Grobman ). Más precisamente, si todos los autovalores son números reales negativos o números complejos con partes reales negativas, entonces el punto es un punto fijo atractor estable, y los puntos cercanos convergen a él a una tasa exponencial (véase estabilidad de Lyapunov y estabilidad exponencial ). Si ninguno de los autovalores es puramente imaginario (o cero), entonces las direcciones de atracción y repulsión están relacionadas con los autoespacios de la matriz A con autovalores cuya parte real es negativa y, respectivamente, positiva. Se conocen enunciados análogos para perturbaciones de órbitas más complejas.

Estabilidad de puntos fijos en 2D

El caso paradigmático es la estabilidad del origen bajo la ecuación diferencial autónoma lineal. ${\dot {X}}=AX$ dónde $X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ y $A$ es una matriz de 2×2.

A veces realizaríamos un cambio de base mediante $X'=CX$ para alguna matriz invertible $C$ , que da ${\dot {X}}'=C^{-1}ACX'$ Decimos: $C^{-1}AC$ es " $A$ en la nueva base". Desde $\det A=\det C^{-1}AC$ y $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC$ , podemos clasificar la estabilidad del origen usando $\det A$ y $\operatorname {tr} A$ , mientras se utiliza libremente el cambio de base.

Clasificación de los tipos de estabilidad

Si $\det A=0$ , entonces el rango de $A$ es cero o uno.

Si el rango es cero, entonces $A=0$ y no hay flujo.
Si el rango es uno, entonces $\ker A$ $\ker A$ y $\operatorname {im} A$ $\operatorname {im} A$ ambos son unidimensionales.
- Si $\ker A=\operatorname {im} A$ , entonces deja $v$ durar $\ker A$ y dejar $w$ ser una preimagen de $v$ , luego en $\{v,w\}$ base, $A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ y por lo tanto el flujo es un cizallamiento a lo largo del $v$ dirección. En este caso, $\operatorname {tr} A=0$ .
- Si $\ker A\neq \operatorname {im} A$ $\ker A\neq \operatorname {im} A$ , entonces deja $v$ $v$ durar $\ker A$ $\ker A$ y dejar $w$ $w$ durar $\operatorname {im} A$ $\operatorname {im} A$ , luego en $\{v,w\}$ $\{v,w\}$ base, $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}$ para algún número real distinto de cero $a$ $a$ .
  - Si $\operatorname {tr} A>0$ , entonces es inestable, divergiendo a una tasa de $a$ de $\ker A$ a lo largo de traducciones paralelas de $\operatorname {im} A$ .
  - Si $\operatorname {tr} A<0$ , entonces es estable, convergiendo a una tasa de $a$ a $\ker A$ a lo largo de traducciones paralelas de $\operatorname {im} A$ .

Si $\det A\neq 0$ Primero encontramos la forma normal de Jordan de la matriz para obtener una base. $\{v,w\}$ en el cual $A$ es una de tres formas posibles:

${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$ dónde $a,b\neq 0$ $a,b\neq 0$ .
- Si $a,b>0$ , entonces ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(ab)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}$ . El origen es una fuente , con curvas integrales de forma $y=cx^{b/a}$
- De manera similar para $a,b<0$ . El origen es un sumidero .
- Si $a>0>b$ o $a<0<b$ , entonces $\det A<0$ y el origen es un punto de silla . con curvas integrales de forma $y=cx^{-|b/a|}$ .
${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ dónde $a\neq 0$ $a\neq 0$ Esto se puede simplificar aún más mediante un cambio de base con $C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}$ $C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}$ , después de lo cual $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ Podemos resolver explícitamente para ${\dot {X}}=AX$ ${\dot {X}}=AX$ con $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ La solución es $X(t)=e^{At}X(0)$ $X(t)=e^{At}X(0)$ con $e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}$ $e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}$ Este caso se denomina " nodo degenerado ". Las curvas integrales en esta base son dilataciones centrales de $x=y\ln y$ $x=y\ln y$ , más el eje x.
- Si $\operatorname {tr} A>0$ , entonces el origen es una fuente degenerada . De lo contrario, es un sumidero degenerado .
- En ambos casos, $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$
$a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ $a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ dónde $a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]$ $a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]$ . En este caso, $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0$ $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0$ .
- Si $\theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]$ , entonces se trata de un sumidero en espiral . En este caso, ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}$ Las líneas integrales son espirales logarítmicas .
- Si $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)$ , entonces se trata de una fuente espiral . En este caso, ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}$ Las líneas integrales son espirales logarítmicas .
- Si $\theta =-\pi /2,\pi /2$ , entonces esta es una rotación (" estabilidad neutral ") a una velocidad de $a$ , sin moverse ni hacia el origen ni alejándose de él. En este caso, $\operatorname {tr} A=0$ Las líneas integrales son círculos.

El resumen se muestra en el diagrama de estabilidad de la derecha. En cada caso, excepto en el caso de $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ , los valores $(\operatorname {tr} A,\det A)$ Permite una clasificación única del tipo de flujo.

Para el caso especial de $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ , hay dos casos que no se pueden distinguir por $(\operatorname {tr} A,\det A)$ En ambos casos, $A$ tiene un único valor propio, con multiplicidad algebraica 2.

Si el valor propio tiene un espacio propio bidimensional ( multiplicidad geométrica 2), entonces el sistema es un nodo central (a veces llamado " estrella " o " nodo dicrítico ") que es una fuente (cuando $\operatorname {tr} A>0$ ) o un fregadero (cuando $\operatorname {tr} A<0$ ). ^{[ 2 ]}
Si tiene un espacio propio unidimensional ( multiplicidad geométrica 1), entonces el sistema es un nodo degenerado (si $\det A>0$ ) o un flujo de cizallamiento (si $\det A=0$ ).

Flujo que preserva el área

Cuando $\operatorname {tr} A=0$ , tenemos $\det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1$ , por lo que el flujo conserva el área. En este caso, el tipo de flujo se clasifica por $\det A$ .

Si $\det A>0$ , entonces es una rotación ("estabilidad neutral") alrededor del origen.
Si $\det A=0$ , entonces es un flujo de cizallamiento.
Si $\det A<0$ , entonces el origen es un punto de silla.

Estabilidad de puntos fijos

La órbita más simple es un punto fijo o equilibrio. Si un sistema mecánico se encuentra en un estado de equilibrio estable, un pequeño impulso producirá un movimiento localizado, por ejemplo, pequeñas oscilaciones como en el caso de un péndulo . En un sistema con amortiguación , un estado de equilibrio estable es, además, asintóticamente estable. Por otro lado, en un equilibrio inestable, como una pelota que descansa sobre la cima de una colina, ciertos pequeños impulsos producirán un movimiento de gran amplitud que puede o no converger al estado original.

Existen pruebas útiles de estabilidad para el caso de un sistema lineal. La estabilidad de un sistema no lineal a menudo se puede inferir a partir de la estabilidad de su linealización .

Mapas

Sea $f : R \to R$ una función continuamente diferenciable con un punto fijo $a$ , $f (a) = a$ . Consideremos el sistema dinámico obtenido al iterar la función $f$ :

$x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .$

El punto fijo $a$ es estable si el valor absoluto de la derivada de $f$ en $a$ es estrictamente menor que 1, e inestable si es estrictamente mayor que 1. Esto se debe a que cerca del punto $a$ , la función $f$ tiene una aproximación lineal con pendiente $f' (a)$ :

$f(x)\approx f(a)+f'(a)\left(x-a\right).$

De este modo

${\begin{aligned}x_{n+1}=f(x_{n})&\approx f(a)+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\\&=a+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\end{aligned}}$ $\Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}$

Esto significa que la derivada mide la velocidad a la que las iteraciones sucesivas se aproximan al punto fijo $a$ o se alejan de él. Si la derivada en $a$ es exactamente 1 o −1, entonces se necesita más información para determinar la estabilidad.

Existe un criterio análogo para una aplicación continuamente diferenciable $f : R n \to R n$ con un punto fijo $a$ , expresado en términos de su matriz jacobiana en $a$ , $J a (f)$ . Si todos los autovalores de $J$ son números reales o complejos con valor absoluto estrictamente menor que 1, entonces $a$ es un punto fijo estable; si al menos uno de ellos tiene un valor absoluto estrictamente mayor que 1, entonces $a$ es inestable. Al igual que para $n$ =1, el caso en que el mayor valor absoluto sea 1 necesita ser investigado más a fondo : la prueba de la matriz jacobiana no es concluyente. El mismo criterio se cumple de forma más general para difeomorfismos de una variedad diferenciable .

Sistemas autónomos lineales

La estabilidad de los puntos fijos de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes puede analizarse utilizando los valores propios de la matriz correspondiente.

Un sistema autónomo

$x'=Ax,$

donde $x (t) \in R n$ y $A$ es una matriz $n \times n$ con entradas reales, tiene una solución constante

$x(t)=0.$

(En otro idioma, el origen $0 \in R n$ es un punto de equilibrio del sistema dinámico correspondiente.) Esta solución es asintóticamente estable cuando $t \to \infty$ ("en el futuro") si y solo si para todos los autovalores $λ$ de $A$ , $Re (λ) < 0$ . De manera similar, es asintóticamente estable cuando $t \to -\infty$ ("en el pasado") si y solo si para todos los autovalores $λ$ de $A$ , $Re(λ) > 0$ . Si existe un autovalor $λ$ de $A$ con $Re(λ) > 0$ entonces la solución es inestable para $t \to \infty$ .

The stability of a linear system can be determined by solving the differential equation to find the eigenvalues, or without solving the equation by using the Routh–Hurwitz stability criterion. The eigenvalues of a matrix are the roots of its characteristic polynomial. A polynomial in one variable with real coefficients is called a Hurwitz polynomial if the real parts of all roots are strictly negative. The Routh–Hurwitz theorem implies a characterization of Hurwitz polynomials by means of an algorithm that avoids computing the roots.

Non-linear autonomous systems

Asymptotic stability of fixed points of a non-linear system can often be established using the Hartman–Grobman theorem.

Suppose that $v$ is a $C 1$ -vector field in $R n$ which vanishes at a point $p$ , $v (p) = 0$ . Then the corresponding autonomous system

$x'=v(x)$

has a constant solution

$x(t)=p.$

Let $J p (v)$ be the $n \times n$ Jacobian matrix of the vector field $v$ at the point $p$ . If all eigenvalues of $J$ have strictly negative real part then the solution is asymptotically stable. This condition can be tested using the Routh–Hurwitz criterion.

Lyapunov function for general dynamical systems

A general way to establish Lyapunov stability or asymptotic stability of a dynamical system is by means of Lyapunov functions.

References

↑Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis Accessed 10 October 2019.
↑ "Nodo - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Archivado del original el 26 de octubre de 2020. Consultado el 30 de marzo de 2023 .

Philip Holmes y Eric T. Shea-Brown (eds.). "Estabilidad" . Scholarpedia .

Enlaces externos

Equilibrios estables, por Michael Schreiber, Proyecto de demostraciones de Wolfram .

[:0-1] Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis Accessed 10 October 2019.

[2] "Nodo - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Archivado del original el 26 de octubre de 2020. Consultado el 30 de marzo de 2023 .

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