Espectro (topología)

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , un espectro es un objeto que representa una teoría de cohomología generalizada . Toda teoría de cohomología de este tipo es representable, como se deduce del teorema de representabilidad de Brown . Esto significa que, dada una teoría de cohomología

${\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}$ ,

existen espacios $E^{k}$ de tal manera que se evalúa la teoría de la cohomología en grado $k$ en un espacio $X$ es equivalente a calcular las clases de homotopía de los mapas al espacio $E^{k}$ , eso es

${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ .

Cabe señalar que existen varias categorías diferentes de espectros que generan muchas dificultades técnicas, ^{[ 1 ]} pero todas determinan la misma categoría de homotopía , conocida como categoría de homotopía estable . Este es uno de los puntos clave para introducir los espectros, ya que constituyen un entorno natural para la teoría de la homotopía estable .

La definición de un espectro

Existen muchas variaciones de la definición: en general, un espectro es cualquier secuencia $X_{n}$ de espacios topológicos puntuales o conjuntos simpliciales puntuales junto con los mapas de estructura $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ , dónde $\wedge$ es el producto de aplastamiento . El producto de aplastamiento de un espacio puntiagudo $X$ con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de $X$ , denotado $\Sigma X$ .

Lo siguiente se debe a Frank Adams (1974): un espectro (o espectro CW) es una secuencia $E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ de complejos CW junto con inclusiones $\Sigma E_{n}\to E_{n+1}$ de la suspensión $\Sigma E_{n}$ como un subcomplejo de $E_{n+1}$ .

Para otras definiciones, consulte espectro simétrico y espectro simplicial .

Grupos homotópicos de un espectro

Algunos de los invariantes más importantes de un espectro son sus grupos de homotopía. Estos grupos reflejan la definición de los grupos de homotopía estables de los espacios, ya que la estructura de los mapas de suspensión es integral en su definición. Dado un espectro $E$ definir el grupo de homotopía $\pi _{n}(E)$ como el colímite

${\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}$

donde los mapas se derivan de la composición del mapa ${\displaystyle \Sigma$ (es decir, $[S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]$ dado por la funtorialidad de $\Sigma$ ) y el mapa de estructura $\Sigma E_{n}\to E_{n+1}$ Se dice que un espectro es conectivo si su $\pi _{k}$ son cero para k negativo .

Ejemplos

Espectro de Eilenberg-Maclane

Consideremos la cohomología singular. $H^{n}(X;A)$ con coeficientes en un grupo abeliano $A$ . Para un complejo CW $X$ , el grupo $H^{n}(X;A)$ se puede identificar con el conjunto de clases de homotopía de mapas de $X$ a $K(A,n)$ , el espacio de Eilenberg-MacLane con homotopía concentrada en grado $n$ . Lo escribimos como

$[X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)$

Luego el espectro correspondiente $HA$ tiene $n$ -ésimo espacio $K(A,n)$ ; se denomina espectro de Eilenberg-MacLane de $A$ Tenga en cuenta que esta construcción se puede utilizar para incrustar cualquier anillo. $R$ en la categoría de espectros. Una de las propiedades importantes de esta incrustación son los isomorfismos.

${\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}$

La categoría de espectros permite rastrear la información derivada de los anillos conmutativos, donde el producto de smash actúa como el producto tensorial derivado . Además, los espectros de Eilenberg-Maclane pueden utilizarse para definir teorías como la homología de Hochschild topológica para anillos conmutativos, una teoría más refinada que la homología de Hochschild clásica.

Teoría K compleja topológica

Como segundo ejemplo importante, consideremos la K-teoría topológica . Al menos para X compacto, $K^{0}(X)$ se define como el grupo de Grothendieck del monoide de haces vectoriales complejos en X. Además, $K^{1}(X)$ es el grupo correspondiente a los haces vectoriales en la suspensión de X. La K-teoría topológica es una teoría de cohomología generalizada, por lo que da un espectro. El espacio cero es $\mathbb {Z} \times BU$ mientras que el primer espacio es $U$ . Aquí $U$ es el grupo unitario infinito y $BU$ es su espacio de clasificación . Por periodicidad de Bott obtenemos $K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)$ y $K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)$ para todo n , por lo que todos los espacios en el espectro de la teoría K topológica están dados por o bien $\mathbb {Z} \times BU$ o $U$ . Existe una construcción correspondiente que utiliza haces de vectores reales en lugar de haces de vectores complejos, lo que da un espectro periódico de orden 8 .

Espectro esférico

Uno de los ejemplos por excelencia de un espectro es el espectro esférico. $\mathbb {S}$ . Este es un espectro cuyos grupos de homotopía están dados por los grupos de homotopía estables de esferas , por lo que

$\pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }$

Podemos escribir este espectro explícitamente como $\mathbb {S} _{i}=S^{i}$ dónde $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ Nótese que el producto de fusión produce una estructura de producto en este espectro.

$S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}$

induce una estructura de anillo en $\mathbb {S}$ . Además, si se considera la categoría de espectros simétricos , esto forma el objeto inicial , análogo a $\mathbb {Z}$ en la categoría de anillos conmutativos.

espectros de Thom

Otro ejemplo canónico de espectros proviene de los espectros de Thom que representan varias teorías de cobordismo . Esto incluye el cobordismo real. $MO$ cobordismo complejo $MU$ cobordismo enmarcado, cobordismo de giro $MSpin$ cobordismo de cuerdas $MString$ y así sucesivamente . De hecho, para cualquier grupo topológico $G$ Existe un espectro de Thom $MG$ .

espectro de suspensión

Se puede construir un espectro a partir de un espacio. El espectro de suspensión de un espacio $X$ , denotado $\Sigma ^{\infty }X$ es un espectro $X_{n}=S^{n}\wedge X$ (los mapas de estructura son la identidad). Por ejemplo, el espectro de suspensión de la 0-esfera es el espectro de esfera discutido anteriormente. Los grupos de homotopía de este espectro son entonces los grupos de homotopía estables de $X$ , entonces

$\pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)$

La construcción del espectro de suspensión implica que todo espacio puede considerarse como una teoría de cohomología. De hecho, define un functor.

$\Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}$

de la categoría de homotopía de complejos CW a la categoría de homotopía de espectros. Los morfismos están dados por

$[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]$

que, según el teorema de suspensión de Freudenthal, finalmente se estabiliza. Con esto queremos decir:

$\left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots$ y $\left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]$

para algún entero finito $N$ . Para un espectro $E$ existe una construcción inversa $\Omega ^{\infty }$ que forma un espacio

$\Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}$

llamado el espacio de bucle infinito del espectro. Para un complejo CW $X$

$\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$

y esta construcción viene con una inclusión $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ por cada $n$ , por lo tanto da un mapa

$X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X$

que es inyectiva. Desafortunadamente, estas dos estructuras, con la adición del producto smash, conducen a una complejidad significativa en la teoría de los espectros porque no puede existir una sola categoría de espectros que satisfaga una lista de cinco axiomas que relacionen estas estructuras. ^{[ 1 ]} La adjunción anterior es válida solo en las categorías de homotopía de espacios y espectros, pero no siempre con una categoría específica de espectros (no la categoría de homotopía).

espectro Ω

Un espectro Ω es un espectro tal que el adjunto del mapa de estructura (es decir, el mapa $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ ) es una equivalencia débil. El espectro de la teoría K de un anillo es un ejemplo de un espectro Ω.

espectro de anillo

Un espectro de anillo es un espectro X tal que los diagramas que describen los axiomas de anillo en términos de productos de smash conmutan "hasta homotopía" ( $S^{0}\to X$ corresponde a la identidad.) Por ejemplo, el espectro de la teoría K topológica es un espectro de anillo. Un espectro de módulo puede definirse de forma análoga.

Para ver muchos más ejemplos, consulte la lista de teorías de cohomología .

Funciones, mapas y homotopías de espectros

Existen tres categorías naturales cuyos objetos son espectros, cuyos morfismos son las funciones, o aplicaciones, o clases de homotopía definidas a continuación.

Una función entre dos espectros E y F es una secuencia de aplicaciones de E _n a F _n que conmutan con las aplicaciones Σ E _n → E _n₊₁ y Σ F _n → F _n₊₁ .

Dado un espectro $E_{n}$ , un subespectro $F_{n}$ es una secuencia de subcomplejos que también es un espectro. Como cada i -célula en $E_{j}$ se suspende a una celda ( i + 1) en $E_{j+1}$ Un subespectro cofinal es un subespectro en el que cada celda del espectro padre está finalmente contenida en el subespectro después de un número finito de suspensiones. Los espectros pueden entonces convertirse en una categoría definiendo un mapa de espectros. $f:E\to F$ ser una función de un subespectro cofinal $G$ de $E$ a $F$ donde dos de estas funciones representan el mismo mapa si coinciden en algún subespectro cofinal. Intuitivamente, dicho mapa de espectros no necesita estar definido en todas partes, sino que simplemente llega a definirse, y se dice que dos mapas que coinciden en un subespectro cofinal son equivalentes. Esto da lugar a la categoría de espectros (y mapas), que es una herramienta fundamental. Existe una incrustación natural de la categoría de complejos CW puntuales en esta categoría: se toma $Y$ al espectro de suspensión en el que el n- ésimo complejo es $\Sigma ^{n}Y$ .

El producto estrella de un espectro $E$ y un complejo puntiagudo $X$ es un espectro dado por $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ (la asociatividad del producto de fusión produce inmediatamente que esto es efectivamente un espectro). Una homotopía de mapas entre espectros corresponde a un mapa $(E\wedge I^{+})\to F$ , dónde $I^{+}$ es la unión disjunta $[0,1]\sqcup \{*\}$ con $*$ tomado como punto de partida.

La categoría de homotopía estable , o categoría de homotopía de espectros (CW), se define como la categoría cuyos objetos son espectros y cuyos morfismos son clases de homotopía de aplicaciones entre espectros. Muchas otras definiciones de espectro, algunas aparentemente muy diferentes, dan lugar a categorías de homotopía estable equivalentes.

Finalmente, podemos definir la suspensión de un espectro mediante $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ Esta suspensión de la traslación es invertible, ya que también podemos desuspenderla, estableciendo $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ .

La categoría de homotopía triangulada de espectros

La categoría de homotopía estable es aditiva: los mapas se pueden agregar utilizando una variante de la suma de trayectorias utilizada para definir grupos de homotopía. Así, las clases de homotopía de un espectro a otro forman un grupo abeliano. Además, la categoría de homotopía estable está triangulada (Vogt (1970)), el desplazamiento viene dado por la suspensión y los triángulos distinguidos por las secuencias de conos de mapeo de los espectros.

X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X

.

Productos de Smash de espectros

El producto smash de espectros extiende el producto smash de complejos CW. Convierte la categoría de homotopía estable en una categoría monoidal ; en otras palabras, se comporta como el producto tensorial (derivado) de grupos abelianos. Un problema importante del producto smash es que las definiciones obvias lo hacen asociativo y conmutativo solo hasta la homotopía. Algunas definiciones más recientes de espectros, como los espectros simétricos , eliminan este problema y proporcionan una estructura monoidal simétrica a nivel de mapas, antes de pasar a las clases de homotopía.

El producto smash es compatible con la estructura de categoría triangulada. En particular, el producto smash de un triángulo distinguido con un espectro es un triángulo distinguido.

Homología y cohomología generalizadas de espectros

Podemos definir los grupos de homotopía (estables) de un espectro como aquellos dados por

\displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]

,

dónde $\mathbb {S}$ es el espectro de la esfera y $[X,Y]$ es el conjunto de clases de homotopía de mapas de $X$ a $Y$ . Definimos la teoría de homología generalizada de un espectro E mediante

E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]

y definir su teoría de cohomología generalizada mediante

\displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].

Aquí $X$ puede ser un espectro o (utilizando su espectro de suspensión) un espacio.

Complejidades técnicas con espectros

Una de las complejidades canónicas al trabajar con espectros y definir una categoría de espectros proviene del hecho de que cada una de estas categorías no puede satisfacer cinco axiomas aparentemente obvios con respecto al espacio de bucles infinitos de un espectro. $Q$

$Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}$

envío

$QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$

, un par de functores adjuntos $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ y el producto estrella $\wedge$ tanto en la categoría de espacios como en la categoría de espectros. Si dejamos ${\text{Top}}_{*}$ denotamos la categoría de espacios de Hausdorff débiles, generados de forma compacta y basados en bases, y ${\text{Spectra}}_{*}$ denotamos una categoría de espectros, los siguientes cinco axiomas nunca pueden ser satisfechos por el modelo específico de espectros: ^{[ 1 ]}

${\text{Spectra}}_{*}$ es una categoría monoidal simétrica con respecto al producto smash $\wedge$
El functor $\Sigma ^{\infty }$ es adjunto izquierdo a $\Omega ^{\infty }$
La unidad para el producto aplastante $\wedge$ es el espectro de la esfera $\Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S}$
O bien se produce una transformación natural ${\displaystyle \phi$ o una transformación natural ${\displaystyle \gamma$ que conmuta con el objeto unitario en ambas categorías, y los isomorfismos conmutativos y asociativos en ambas categorías.
Existe una equivalencia débil natural. ${\displaystyle \theta$ para $X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})$ lo que significa que hay un diagrama de desplazamiento:
${\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}$
dónde $\eta$ es el mapa de unidades en la adjunción.

Por este motivo, el estudio de los espectros se ve fragmentado según el modelo utilizado. Para obtener una visión general, consulte el artículo citado anteriormente.

Historia

Una versión del concepto de espectro fue introducida en la disertación doctoral de Elon Lages Lima en 1958. Su asesor, Edwin Spanier, escribió más sobre el tema en 1959. Los espectros fueron adoptados por Michael Atiyah y George W. Whitehead en su trabajo sobre teorías de homología generalizadas a principios de la década de 1960. La tesis doctoral de J. Michael Boardman de 1964 dio una definición práctica de una categoría de espectros y de mapas (no solo clases de homotopía) entre ellos, tan útil en la teoría de homotopía estable como la categoría de complejos CW lo es en el caso inestable. (Esta es esencialmente la categoría descrita anteriormente, y todavía se usa para muchos propósitos: para otras explicaciones, véase Adams (1974) o Rainer Vogt (1970)). Sin embargo, se han realizado importantes avances teóricos adicionales desde 1990, mejorando enormemente las propiedades formales de los espectros. En consecuencia, gran parte de la literatura reciente utiliza definiciones modificadas de espectro : véase Michael Mandell et al. (2001) para un tratamiento unificado de estos nuevos enfoques.

Véase también

Referencias

1 2 3 Lewis, L. Gaunce (1991-08-30). "¿Existe una categoría conveniente de espectros?" . Journal of Pure and Applied Algebra . 73 (3): 233– 246. doi : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN 0022-4049 .

Introductorio

Adams, J. Frank (1974). Homotopía estable y homología generalizada . University of Chicago Press . ISBN 9780226005249.
Elmendorf, Anthony D.; Kříž, Igor; Mandell, Michael A.; May, J. Peter (1995), "Fundamentos modernos para la teoría de la homotopía estable" (PDF) , en James, Ioan M. (ed.), Manual de topología algebraica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 213–253 , CiteSeerX 10.1.1.55.8006 , doi : 10.1016/B978-044481779-2/50007-9 , ISBN 978-0-444-81779-2, MR 1361891

Artículos modernos que desarrollan la teoría

Mandell, Michael A.; May, J. Peter ; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001), "Categorías modelo de espectros de diagramas", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 3, 82 (2): 441– 512, CiteSeerX 10.1.1.22.3815 , doi : 10.1112/S0024611501012692 , MR 1806878 , S2CID 551246

Artículos de relevancia histórica

Atiyah, Michael F. (1961). "Bordismo y cobordismo". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 57 (2): 200– 8. doi : 10.1017/s0305004100035064 . S2CID 122937421 .

Lima, Elon Lages (1959), "La dualidad Spanier-Whitehead en nuevas categorías de homotopía", Summa Brasil. Math. , 4 : 91– 148, MR 0116332
Lima, Elon Lages (1960), "Invariantes estables de Postnikov y sus duales", Summa Brasil. Math. , 4 : 193– 251
Vogt, Rainer (1970), categoría de homotopía estable de Boardman , Lecture Notes Series, n.º 21, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, MR 0275431
Whitehead, George W. (1962), "Teorías de homología generalizadas", Transactions of the American Mathematical Society , 102 (2): 227– 283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

Enlaces externos

Secuencias espectrales - Allen Hatcher - contiene una excelente introducción a los espectros y aplicaciones para la construcción de la secuencia espectral de Adams.
Un proyecto de libro sin título sobre espectros simétricos
"¿Son los espectros realmente lo mismo que las teorías de cohomología? "

[:0-1] 1 2 3 Lewis, L. Gaunce (1991-08-30). "¿Existe una categoría conveniente de espectros?" . Journal of Pure and Applied Algebra . 73 (3): 233– 246. doi : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN 0022-4049 .