multiplicador de Schur

En la teoría matemática de grupos , el multiplicador de Schur es el segundo grupo de homología.${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$de un grupo G. Fue introducido por Issai Schur ( 1904 ) en su trabajo sobre representaciones proyectivas . 

El multiplicador de Schur${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$de un grupo finito G es un grupo abeliano finito cuyo exponente divide el orden de G . Si un subgrupo de Sylow p de G es cíclico para algún p , entonces el orden de${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$no es divisible por p . En particular, si todos los subgrupos de Sylow p de G son cíclicos, entonces ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$es trivial.

Por ejemplo, el multiplicador de Schur del grupo no abeliano de orden 6 es el grupo trivial, ya que todo subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur del grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que demuestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el propio grupo. El multiplicador de Schur del grupo de cuaterniones es trivial, pero el multiplicador de Schur de los 2-grupos diedrales tiene orden 2.

Los multiplicadores de Schur de los grupos simples finitos se dan en la lista de grupos simples finitos . Los grupos de recubrimiento de los grupos alternantes y simétricos son de considerable interés en los últimos tiempos.

La motivación original de Schur para estudiar el multiplicador fue clasificar las representaciones proyectivas de un grupo, y la formulación moderna de su definición es el segundo grupo de cohomología.${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$Una representación proyectiva es muy parecida a una representación de grupo, excepto que en lugar de un homomorfismo en el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$, se toma un homomorfismo en el grupo lineal general proyectivo${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$. En otras palabras, una representación proyectiva es una representación módulo el centro .

Schur ( 1904 , 1907 ) demostró que todo grupo finito G tiene asociado al menos un grupo finito C , llamado recubrimiento de Schur , con la propiedad de que toda representación proyectiva de G puede elevarse a una representación ordinaria de C. El recubrimiento de Schur también se conoce como grupo de recubrimiento o Darstellungsgruppe . Se conocen los recubrimientos de Schur de los grupos simples finitos , y cada uno es un ejemplo de un grupo cuasisimple . El recubrimiento de Schur de un grupo perfecto está determinado unívocamente salvo isomorfismo, pero el recubrimiento de Schur de un grupo finito general solo está determinado salvo isoclinismo . 

El estudio de dichos grupos de cobertura condujo naturalmente al estudio de las extensiones centrales y del tallo .

Una extensión central de un grupo G es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

dónde${\displaystyle K\leq Z(C)}$es un subgrupo del centro de C.

Una extensión del tallo de un grupo G es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

dónde${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$es un subgrupo de la intersección del centro de C y el subgrupo derivado de C ; esto es más restrictivo que central. ^{[ 1 ]}

Si el grupo G es finito y solo se consideran extensiones de tallo, entonces existe un tamaño máximo para dicho grupo C , y para cada C de ese tamaño el subgrupo K es isomorfo al multiplicador de Schur de G. Si el grupo finito G es además perfecto , entonces C es único salvo isomorfismo y es en sí mismo perfecto. A este C se le suele llamar extensión central perfecta universal de G , o grupo de recubrimiento (ya que es un análogo discreto del espacio de recubrimiento universal en topología). Si el grupo finito G no es perfecto, entonces sus grupos de recubrimiento de Schur (todos esos C de orden máximo) son solo isoclínicos .

También se la denomina, de forma más breve, extensión central universal , pero cabe señalar que no existe una extensión central máxima, ya que el producto directo de G y un grupo abeliano forman una extensión central de G de tamaño arbitrario.

Las extensiones de tallo tienen la agradable propiedad de que cualquier elevación de un conjunto generador de G es un conjunto generador de C. Si el grupo G se presenta en términos de un grupo libre F sobre un conjunto de generadores, y un subgrupo normal R generado por un conjunto de relaciones sobre los generadores, de modo que${\displaystyle G\cong F/R}$, entonces el grupo de recubrimiento mismo puede presentarse en términos de F pero con un subgrupo normal más pequeño S , es decir,${\displaystyle C\cong F/S}$. Dado que las relaciones de G especifican elementos de K cuando se consideran como parte de C , uno debe tener${\displaystyle S\leq [F,R]}$.

De hecho, si G es perfecto, esto es todo lo que se necesita: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] y M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Debido a esta simplicidad, exposiciones como ( Aschbacher 2000 , §33) tratan primero el caso perfecto. El caso general para el multiplicador de Schur es similar, pero asegura que la extensión sea una extensión de tallo al restringirse al subgrupo derivado de F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Todos estos son resultados ligeramente posteriores de Schur, quien también dio una serie de criterios útiles para calcularlos de manera más explícita.

En la teoría combinatoria de grupos , un grupo suele originarse a partir de una presentación . Un tema importante en esta área de las matemáticas es el estudio de presentaciones con el menor número posible de relaciones, como los grupos de un solo relación, por ejemplo, los grupos de Baumslag-Solitar . Estos grupos son grupos infinitos con dos generadores y una relación, y un antiguo resultado de Schreier muestra que en cualquier presentación con más generadores que relaciones, el grupo resultante es infinito. El caso límite es, por lo tanto, bastante interesante: se dice que los grupos finitos con el mismo número de generadores que de relaciones tienen deficiencia cero. Para que un grupo tenga deficiencia cero, debe tener un multiplicador de Schur trivial, ya que el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur siempre es menor o igual que la diferencia entre el número de relaciones y el número de generadores, que es la deficiencia negativa. Un grupo eficiente es aquel en el que el multiplicador de Schur requiere este número de generadores. ^{[ 2 ]}

Un tema de investigación relativamente reciente consiste en encontrar presentaciones eficientes para todos los grupos simples finitos con multiplicadores de Schur triviales. Estas presentaciones son, en cierto modo, convenientes porque suelen ser cortas, pero son difíciles de encontrar y de usar porque no se adaptan bien a los métodos estándar, como la enumeración de clases laterales .

En topología , los grupos a menudo pueden describirse como grupos finitamente presentados y una cuestión fundamental es calcular su homología integral.${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$En particular, la segunda homología juega un papel especial, lo que llevó a Heinz Hopf a encontrar un método eficaz para calcularla. El método de ( Hopf 1942 ) también se conoce como la fórmula de homología integral de Hopf y es idéntico a la fórmula de Schur para el multiplicador de Schur de un grupo finito:

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

dónde${\displaystyle G\cong F/R}$y F es un grupo libre. La misma fórmula también se cumple cuando G es un grupo perfecto. ^{[ 3 ]}

El reconocimiento de que estas fórmulas eran las mismas llevó a Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a la creación de la cohomología de grupos . En general,

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}}$

donde la estrella denota el grupo dual algebraico. Además, cuando G es finito, existe un isomorfismo no natural.

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).}$

La fórmula de Hopf para${\displaystyle H_{2}(G)}$Se ha generalizado a dimensiones superiores. Para un enfoque y referencias, véase el artículo de Everaert, Gran y Van der Linden que se menciona a continuación.

Un grupo perfecto es aquel cuya primera homología integral se anula. Un grupo superperfecto es aquel cuyas dos primeras homologías integrales se anulan. Los recubrimientos de Schur de grupos perfectos finitos son superperfectos. Un grupo acíclico es aquel cuya homología integral reducida se anula en su totalidad.

El segundo grupo algebraico K ₂ ( R ) de un anillo conmutativo R puede identificarse con el segundo grupo de homología H ₂ ( E ( R ), Z ) del grupo E ( R ) de matrices elementales (infinitas) con entradas en R . ^{[ 4 ]}

• grupo cuasisimple

Las referencias de Clair Miller ofrecen otra visión del multiplicador de Schur como el núcleo de un morfismo κ: G ∧ G → G inducido por el mapa conmutador.