Teoría K algebraica

En el siglo XIX, Bernhard Riemann y su alumno Gustav Roch demostraron lo que hoy se conoce como el teorema de Riemann-Roch . Si X es una superficie de Riemann , entonces los conjuntos de funciones meromorfas y formas diferenciales meromorfas sobre X forman espacios vectoriales. Un fibrado lineal sobre X determina subespacios de estos espacios vectoriales, y si X es proyectivo, entonces estos subespacios son de dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch establece que la diferencia de dimensiones entre estos subespacios es igual al grado del fibrado lineal (una medida de torsión) más uno menos el género de X. A mediados del siglo XX, Friedrich Hirzebruch generalizó el teorema de Riemann-Roch a todas las variedades algebraicas. En la formulación de Hirzebruch, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch se convirtió en una afirmación sobre las características de Euler : la característica de Euler de un fibrado vectorial sobre una variedad algebraica (que es la suma alternada de las dimensiones de sus grupos de cohomología) es igual a la característica de Euler del fibrado trivial más un factor de corrección proveniente de las clases características del fibrado vectorial. Esto es una generalización porque en una superficie de Riemann proyectiva, la característica de Euler de un fibrado lineal es igual a la diferencia de dimensiones mencionada anteriormente, la característica de Euler del fibrado trivial es uno menos el género, y la única clase característica no trivial es el grado.

El tema de la teoría K toma su nombre de una construcción de Alexander Grothendieck de 1957 que apareció en el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , su generalización del teorema de Hirzebruch. ^{[ 2 ]} Sea X una variedad algebraica lisa. A cada fibrado vectorial en X , Grothendieck le asocia un invariante, su clase . El conjunto de todas las clases en X se denominó K ( X ) del alemán Klasse . Por definición, K ( X ) es un cociente del grupo abeliano libre sobre las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales en X , y por lo tanto es un grupo abeliano. Si el elemento base correspondiente a un fibrado vectorial V se denota [ V ], entonces para cada sucesión exacta corta de fibrados vectoriales:

${\displaystyle 0\a V'\a V\a V''\a 0,}$

Grothendieck impuso la relación [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . Estos generadores y relaciones definen K ( X ), e implican que es la forma universal de asignar invariantes a haces vectoriales de una manera compatible con secuencias exactas.

Grothendieck adoptó la perspectiva de que el teorema de Riemann-Roch es una afirmación sobre morfismos de variedades, no sobre las variedades mismas. Demostró que existe un homomorfismo de K ( X ) a los grupos de Chow de X a partir del carácter de Chern y la clase de Todd de X. Además, demostró que un morfismo propio f  : X → Y a una variedad lisa Y determina un homomorfismo f _*  : K ( X ) → K ( Y ), denominado pushforward . Esto proporciona dos maneras de determinar un elemento en el grupo de Chow de Y a partir de un fibrado vectorial en X : partiendo de X , se puede calcular primero el pushforward en la teoría K y luego aplicar el carácter de Chern y la clase de Todd de Y , o bien se puede aplicar primero el carácter de Chern y la clase de Todd de X y luego calcular el pushforward para los grupos de Chow. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch afirma que estas dos formas son equivalentes. Cuando Y es un punto, un fibrado vectorial es un espacio vectorial, la clase de un espacio vectorial es su dimensión, y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch se especializa en el teorema de Hirzebruch.

El grupo K ( X ) ahora se conoce como K ₀ ( X ). Al reemplazar los haces vectoriales por módulos proyectivos, K ₀ también se definió para anillos no conmutativos, donde tuvo aplicaciones a representaciones de grupos . Atiyah y Hirzebruch transportaron rápidamente la construcción de Grothendieck a la topología y la usaron para definir la K-teoría topológica . ^{[ 3 ]} La K -teoría topológica fue uno de los primeros ejemplos de una teoría de cohomología extraordinaria : asocia a cada espacio topológico X (satisfaciendo algunas restricciones técnicas leves) una secuencia de grupos K _n ( X ) que satisfacen todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de normalización. Sin embargo, el entorno de las variedades algebraicas es mucho más rígido, y las construcciones flexibles utilizadas en topología no estaban disponibles. Si bien el grupo K ₀ parecía satisfacer las propiedades necesarias para ser el punto de partida de una teoría de cohomología de variedades algebraicas y de anillos no conmutativos, no existía una definición clara del K _n ( X ) superior. Incluso cuando se desarrollaron dichas definiciones, los problemas técnicos relacionados con la restricción y la unión generalmente obligaban a que K _n se definiera solo para anillos, no para variedades.

Un grupo estrechamente relacionado con K ₁ para anillos de grupo fue introducido anteriormente por JHC Whitehead . Henri Poincaré había intentado definir los números de Betti de una variedad en términos de una triangulación. Sin embargo, sus métodos tenían una grave laguna: Poincaré no pudo probar que dos triangulaciones de una variedad siempre produjeran los mismos números de Betti. Era evidente que los números de Betti no cambiaban al subdividir la triangulación, y por lo tanto era claro que cualesquiera dos triangulaciones que compartieran una subdivisión común tenían los mismos números de Betti. Lo que se desconocía era que cualesquiera dos triangulaciones admitieran una subdivisión común. Esta hipótesis se convirtió en una conjetura conocida como Hauptvermutung (aproximadamente "conjetura principal"). El hecho de que las triangulaciones fueran estables bajo subdivisión llevó a JHC Whitehead a introducir la noción de tipo de homotopía simple . ^{[ 4 ]} Una equivalencia homotópica simple se define en términos de agregar símplices o celdas a un complejo simplicial o complejo celular de tal manera que cada deformación adicional de símplice o celda se retraiga en una subdivisión del espacio original. Parte de la motivación para esta definición es que una subdivisión de una triangulación es homotópicamente equivalente simple a la triangulación original, y por lo tanto, dos triangulaciones que comparten una subdivisión común deben ser homotópicamente equivalentes simples.

Whitehead demostró que la equivalencia homotópica simple es un invariante más fino que la equivalencia homotópica al introducir un invariante llamado torsión . La torsión de una equivalencia homotópica toma valores en un grupo ahora llamado grupo de Whitehead y denotado Wh ( π ), donde π es el grupo fundamental del complejo objetivo. Whitehead encontró ejemplos de torsión no trivial y, por lo tanto, demostró que algunas equivalencias homotópicas no eran simples. Posteriormente se descubrió que el grupo de Whitehead era un cociente de _K1 ( Zπ ) , donde Zπ es el anillo del grupo integral de π . Más tarde, John Milnor usó la torsión de Reidemeister , un invariante relacionado con la torsión de Whitehead , para refutar la Hauptvermutung.

La primera definición adecuada de K ₁ de un anillo fue dada por Hyman Bass y Stephen Schanuel . ^{[ 5 ]} En la teoría topológica K , K ₁ se define usando haces vectoriales en una suspensión del espacio. Todos estos haces vectoriales provienen de la construcción de agarre , donde dos haces vectoriales triviales en dos mitades de un espacio se pegan a lo largo de una franja común del espacio. Estos datos de pegado se expresan usando el grupo lineal general , pero los elementos de ese grupo que provienen de matrices elementales (matrices correspondientes a operaciones elementales de fila o columna) definen pegados equivalentes. Motivados por esto, la definición de Bass-Schanuel de K ₁ de un anillo R es GL ( R ) / E ( R ) , donde GL ( R ) es el grupo lineal general infinito (la unión de todos los GL _n ( R )) y E ( R ) es el subgrupo de matrices elementales. También proporcionaron una definición de K ₀ de un homomorfismo de anillos y demostraron que K ₀ y K ₁ podían encajar juntos en una secuencia exacta similar a la secuencia exacta de homología relativa .

El trabajo en K -teoría de este período culminó en el libro de Bass, K -teoría algebraica . ^{[ 6 ]} Además de proporcionar una exposición coherente de los resultados conocidos hasta entonces, Bass mejoró muchos de los enunciados de los teoremas. En particular, Bass, basándose en su trabajo anterior con Murthy, ^{[ 7 ]} proporcionó la primera demostración de lo que ahora se conoce como el teorema fundamental de la K -teoría algebraica . Se trata de una sucesión exacta de cuatro términos que relaciona K ₀ de un anillo R con K ₁ de R , el anillo de polinomios R [ t ] y la localización R [ t , t ^{− 1} ]. Bass reconoció que este teorema proporcionaba una descripción de K ₀ enteramente en términos de K ₁ . Al aplicar esta descripción recursivamente, produjo K -grupos negativos K _{− n} ( R ). En un trabajo independiente, Max Karoubi dio otra definición de grupos K negativos para ciertas categorías y demostró que sus definiciones producían los mismos grupos que las de Bass. ^{[ 8 ]}

El siguiente gran avance en el tema se produjo con la definición de K₂ _. Steinberg estudió las extensiones centrales universales de un grupo de Chevalley sobre un cuerpo y presentó explícitamente este grupo en términos de generadores y relaciones. ^{[ 9 ]} En el caso del grupo E _n ( k ) de matrices elementales, la extensión central universal se escribe ahora St _n ( k ) y se denomina grupo _de Steinberg . En la primavera de 1967, John Milnor definió K₂ ( R ) como el núcleo del homomorfismo St( R ) → E ( R ) . ^{[ 10 ]} El grupo K₂ extendió aún más algunas de las secuencias exactas conocidas para K₁ y _K₀ , y tuvo aplicaciones notables en la teoría de números. _La tesis de Hideya Matsumoto de 1968 ^{[ 11 ]} demostró que para un cuerpo F , K₂ ( F ₎ era isomorfo a _:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

Esta relación también la satisface el símbolo de Hilbert , que expresa la resolubilidad de ecuaciones cuadráticas sobre campos locales . En particular, John Tate pudo demostrar que K ₂ ( Q ) está esencialmente estructurado en torno a la ley de reciprocidad cuadrática .

A finales de la década de 1960 y principios de la de 1970, se propusieron varias definiciones de la teoría K superior. Swan ^{[ 12 ]} y Gersten ^{[ 13 ]} produjeron definiciones de K _n para todo n , y Gersten demostró que sus teorías y las de Swan eran equivalentes, pero no se sabía que las dos teorías satisficieran todas las propiedades esperadas. Nobile y Villamayor también propusieron una definición de grupos K superiores . ^{[ 14 ]} Karoubi y Villamayor definieron grupos K bien comportados para todo n , ^{[ 15 ]} pero su equivalente de K ₁ era a veces un cociente propio del K ₁ de Bass-Schanuel . Sus grupos K ahora se llaman KV _n y están relacionados con modificaciones invariantes por homotopía de la teoría K.

Inspirado en parte por el teorema de Matsumoto, Milnor formuló una definición de los K -grupos superiores de un cuerpo. ^{[ 16 ]} Se refirió a su definición como "puramente ad hoc ", ^{[ 17 ]} y no parecía generalizarse a todos los anillos ni ser la definición correcta de la K -teoría superior de cuerpos. Mucho más tarde, Nesterenko y Suslin ^{[ 18 ]} y Totaro ^{[ 19 ]} descubrieron que la K -teoría de Milnor es en realidad un sumando directo de la verdadera K -teoría del cuerpo. Específicamente, los K -grupos poseen una filtración denominada filtración de peso , y la K -teoría de Milnor de un cuerpo es la parte graduada de peso más alta de la K -teoría. Además, Thomason descubrió que no existe un análogo de la K- teoría de Milnor para una variedad general. ^{[ 20 ]}

La primera definición de K -teoría superior ampliamente aceptada fue la de Daniel Quillen . ^{[ 21 ]} Como parte del trabajo de Quillen sobre la conjetura de Adams en topología, construyó mapas de los espacios clasificadores BGL ( F _q ) a la fibra de homotopía de ψ ^q − 1 , donde ψ ^q es la q th operación de Adams que actúa sobre el espacio clasificador BU . Este mapa es acíclico, y después de modificar ligeramente BGL ( F _q ) para producir un nuevo espacio BGL ( F _q ) ⁺ , el mapa se convirtió en una equivalencia de homotopía. Esta modificación se denominó construcción plus . Se sabía que las operaciones de Adams estaban relacionadas con las clases de Chern y con la K -teoría desde el trabajo de Grothendieck, por lo que Quillen llegó a definir la K -teoría de R como los grupos de homotopía de BGL ( R ) ⁺ . Esto no solo permitió recuperar K ₁ y K ₂ , sino que la relación de la teoría K con las operaciones de Adams permitió a Quillen calcular los grupos K de cuerpos finitos.

El espacio de clasificación BGL es conexo, por lo que la definición de Quillen no proporcionó el valor correcto para K ₀ . Además, no proporcionó ningún K -grupo negativo. Dado que K ₀ tenía una definición conocida y aceptada, fue posible sortear esta dificultad, pero seguía siendo técnicamente engorroso. Conceptualmente, el problema radicaba en que la definición provenía de GL , que clásicamente era la fuente de K ₁ . Como GL solo conoce sobre la unión de haces vectoriales, no sobre los haces vectoriales en sí, le era imposible describir K ₀ .

Inspirado por conversaciones con Quillen, Segal pronto introdujo otro enfoque para construir la K -teoría algebraica bajo el nombre de Γ-objetos. ^{[ 22 ]} El enfoque de Segal es un análogo homotópico de la construcción de K ₀ de Grothendieck . Mientras que Grothendieck trabajó con clases de isomorfismo de fibrados, Segal trabajó con los fibrados mismos y usó isomorfismos de los fibrados como parte de sus datos. Esto da como resultado un espectro cuyos grupos homotópicos son los K -grupos superiores (incluido K ₀ ). Sin embargo, el enfoque de Segal solo pudo imponer relaciones para secuencias exactas escindidas, no para secuencias exactas generales. En la categoría de módulos proyectivos sobre un anillo, toda secuencia exacta corta se escinde, por lo que los Γ-objetos podrían usarse para definir la K -teoría de un anillo. Sin embargo, existen secuencias exactas cortas no escindidas en la categoría de haces vectoriales sobre una variedad y en la categoría de todos los módulos sobre un anillo, por lo que el enfoque de Segal no se aplicaba a todos los casos de interés.

En la primavera de 1972, Quillen encontró otro enfoque para la construcción de la teoría K superior que resultó enormemente exitoso. Esta nueva definición partía de una categoría exacta , una categoría que satisface ciertas propiedades formales similares, pero ligeramente más débiles, que las propiedades satisfechas por una categoría de módulos o haces vectoriales. A partir de esto, construyó una categoría auxiliar utilizando un nuevo dispositivo llamado su " construcción Q ". Al igual que los Γ-objetos de Segal, la construcción Q tiene sus raíces en la definición de K ₀ de Grothendieck . Sin embargo, a diferencia de la definición de Grothendieck, la construcción Q construye una categoría, no un grupo abeliano, y a diferencia de los Γ-objetos de Segal, la construcción Q trabaja directamente con secuencias exactas cortas. Si C es una categoría abeliana , entonces QC es una categoría con los mismos objetos que C , pero cuyos morfismos se definen en términos de secuencias exactas cortas en C. Los K -grupos de la categoría exacta son los grupos de homotopía de Ω BQC , el espacio de lazos de la realización geométrica (tomar el espacio de lazos corrige la indexación). Quillen demostró además su " teorema + = Q ", que establecía que sus dos definiciones de la teoría K coincidían. Esto dio como resultado el K ₀ correcto y condujo a demostraciones más sencillas, pero aún no produjo ningún K -grupo negativo.

Todas las categorías abelianas son categorías exactas, pero no todas las categorías exactas son abelianas. Gracias a que Quillen podía trabajar en esta situación más general, pudo utilizar las categorías exactas como herramientas en sus demostraciones. Esta técnica le permitió demostrar muchos de los teoremas básicos de la teoría K algebraica . Además, fue posible demostrar que las definiciones anteriores de Swan y Gersten eran equivalentes a las de Quillen bajo ciertas condiciones.

La teoría K parecía ser ahora una teoría de homología para anillos y una teoría de cohomología para variedades. Sin embargo, muchos de sus teoremas básicos implicaban la hipótesis de que el anillo o la variedad en cuestión era regular. Una de las relaciones básicas esperadas era una larga sucesión exacta (llamada "sucesión de localización") que relacionaba la teoría K de una variedad X con un subconjunto abierto U. Quillen no pudo demostrar la existencia de la sucesión de localización en toda su generalidad. Sin embargo, sí pudo demostrar su existencia para una teoría relacionada llamada teoría G (o a veces teoría K ' ). La teoría G había sido definida al principio del desarrollo de la materia por Grothendieck. Grothendieck definió G _' ( X ) para una variedad X como el grupo abeliano libre sobre clases de isomorfismo de haces coherentes en X , módulo relaciones provenientes de sucesiones exactas de haces coherentes. En el marco categórico adoptado por autores posteriores, la K -teoría de una variedad es la K -teoría de su categoría de haces vectoriales, mientras que su G -teoría es la K -teoría de su categoría de haces coherentes. Quillen no solo pudo demostrar la existencia de una secuencia exacta de localización para la G -teoría, sino que también pudo demostrar que, para un anillo o variedad regular, la K -teoría era igual a la G -teoría, y por lo tanto, la K -teoría de variedades regulares tenía una secuencia exacta de localización. Dado que esta secuencia era fundamental para muchos de los hechos del tema, las hipótesis de regularidad impregnaron los primeros trabajos sobre la K -teoría superior.

La primera aplicación de la teoría K algebraica a la topología fue la construcción de la torsión de Whitehead por Whitehead. Una construcción estrechamente relacionada fue encontrada por CTC Wall en 1963. ^{[ 23 ]} Wall encontró que un espacio X dominado por un complejo finito tiene una característica de Euler generalizada que toma valores en un cociente de K ₀ ( Z π ), donde π es el grupo fundamental del espacio. Este invariante se llama obstrucción de finitud de Wall porque X es homotópicamente equivalente a un complejo finito si y solo si el invariante se anula. Laurent Siebenmann en su tesis encontró un invariante similar al de Wall que da una obstrucción a que una variedad abierta sea el interior de una variedad compacta con frontera. ^{[ 24 ]} Si dos variedades con frontera M y N tienen interiores isomorfos (en TOP, PL o DIFF según corresponda), entonces el isomorfismo entre ellas define un h -cobordismo entre M y N .

La torsión de Whitehead fue finalmente reinterpretada de una manera más directamente K -teórica. Esta reinterpretación se produjo a través del estudio de los h- cobordismos . Dos variedades n -dimensionales M y N son h- cobordantes si existe una variedad ( n + 1) -dimensional con frontera W cuya frontera es la unión disjunta de M y N y para la cual las inclusiones de M y N en W son equivalencias homotópicas (en las categorías TOP, PL o DIFF). El teorema de h -cobordismo de Stephen Smale ^{[ 25 ]} afirmó que si n ≥ 5 , W es compacto, y M , N y W son simplemente conexos, entonces W es isomorfo al cilindro M × [0, 1] (en TOP, PL o DIFF según corresponda). Este teorema demostró la conjetura de Poincaré para n ≥ 5 .

Si no se asume que M y N son simplemente conexos, entonces un h -cobordismo no tiene por qué ser un cilindro. El teorema del s -cobordismo, debido independientemente a Mazur, ^{[ 26 ]} Stallings y Barden, ^{[ 27 ]} explica la situación general: Un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusión M ⊂ W se anula. Esto generaliza el teorema del h -cobordismo porque las hipótesis de conexidad simple implican que el grupo de Whitehead relevante es trivial. De hecho, el teorema del s -cobordismo implica que existe una correspondencia biyectiva entre las clases de isomorfismo de los h -cobordismos y los elementos del grupo de Whitehead.

Una pregunta obvia asociada con la existencia de h -cobordismos es su unicidad. La noción natural de equivalencia es la isotopía . Jean Cerf demostró que para variedades lisas simplemente conexas M de dimensión al menos 5, la isotopía de h -cobordismos es la misma que una noción más débil llamada pseudo-isotopía. ^{[ 28 ]} Hatcher y Wagoner estudiaron los componentes del espacio de pseudo-isotopías y lo relacionaron con un cociente de K ₂ ( Z π ). ^{[ 29 ]}

El contexto adecuado para el teorema del s -cobordismo es el espacio clasificador de h- cobordismos. Si M es una variedad CAT, entonces H ^CAT ( M ) es un espacio que clasifica haces de h- cobordismos en M . El teorema del s -cobordismo puede reinterpretarse como la afirmación de que el conjunto de componentes conexas de este espacio es el grupo de Whitehead de π ₁ ( M ). Este espacio contiene estrictamente más información que el grupo de Whitehead; por ejemplo, la componente conexa del cobordismo trivial describe los posibles cilindros en M y, en particular, es la obstrucción a la unicidad de una homotopía entre una variedad y M × [0, 1] . La consideración de estas cuestiones llevó a Waldhausen a introducir su K -teoría algebraica de espacios. ^{[ 30 ]} La K -teoría algebraica de M es un espacio A ( M ) que se define de manera que desempeña esencialmente el mismo papel para los K -grupos superiores que K ₁ ( Z π ₁ ( M )) para M . En particular, Waldhausen demostró que hay un mapa de A ( M ) a un espacio Wh( M ) que generaliza el mapa K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M )) y cuya fibra homotópica es una teoría de homología.

Para desarrollar plenamente la teoría A , Waldhausen realizó avances técnicos significativos en los fundamentos de la teoría K. Waldhausen introdujo las categorías de Waldhausen y, para una categoría de Waldhausen C, ^introdujo una categoría simplicial S _⋅ C (la S es de Segal) definida en términos de cadenas de cofibraciones en C. ^{[ 31} ] Esto liberó los fundamentos de la teoría K de la necesidad de invocar análogos de secuencias exactas.

Quillen sugirió a su estudiante Kenneth Brown que podría ser posible crear una teoría de haces de espectros de la cual la teoría K proporcionaría un ejemplo. El haz de espectros de la teoría K asociaría, a cada subconjunto abierto de una variedad, la teoría K de ese subconjunto abierto. Brown desarrolló dicha teoría para su tesis. Simultáneamente, Gersten tuvo la misma idea. En una conferencia en Seattle en el otoño de 1972, descubrieron juntos una secuencia espectral que converge de la cohomología de haces de${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$, el haz de K _n -grupos en X , al K -grupo del espacio total. Esto ahora se llama la secuencia espectral de Brown-Gersten . ^{[ 32 ]}

Spencer Bloch , influenciado por el trabajo de Gersten sobre haces de grupos K , demostró que en una superficie regular, el grupo de cohomología${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$es isomorfo al grupo de Chow CH ² ( X ) de ciclos de codimensión 2 en X . ^{[ 33 ]} Inspirado por esto, Gersten conjeturó que para un anillo local regular R con cuerpo de fracciones F , K _n ( R ) se inyecta en K _n ( F ) para todo n . Pronto Quillen demostró que esto es cierto cuando R contiene un cuerpo, ^{[ 34 ]} y usando esto demostró que

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

para todo p . Esto se conoce como la fórmula de Bloch . Si bien se han logrado avances en la conjetura de Gersten desde entonces, el caso general sigue abierto.

Lichtenbaum conjeturó que ciertos valores especiales de la función zeta de un cuerpo numérico podrían expresarse en términos de los K -grupos del anillo de enteros del cuerpo. Se sabía que estos valores especiales estaban relacionados con la cohomología étale del anillo de enteros. Por lo tanto, Quillen generalizó la conjetura de Lichtenbaum, prediciendo la existencia de una secuencia espectral como la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en la K -teoría topológica . ^{[ 35 ]} La secuencia espectral propuesta por Quillen partiría de la cohomología étale de un anillo R y, en grados suficientemente altos y tras completarse en un primo l invertible en R , confluiría con la completación l -ádica de la K -teoría de R. En el caso estudiado por Lichtenbaum, la secuencia espectral degeneraría, dando lugar a la conjetura de Lichtenbaum.

La necesidad de localizar en un primo l sugirió a Browder que debería haber una variante de la K -teoría con coeficientes finitos. ^{[ 36 ]} Introdujo los grupos de la K -teoría K _n ( R ; Z / l Z ) que eran espacios vectoriales Z / l Z , y encontró un análogo del elemento de Bott en la K -teoría topológica. Soulé usó esta teoría para construir " clases de Chern étale ", un análogo de las clases de Chern topológicas que tomaban elementos de la K -teoría algebraica a clases en la cohomología étale . ^{[ 37 ]} A diferencia de la K -teoría algebraica, la cohomología étale es altamente computable, por lo que las clases de Chern étale proporcionaron una herramienta eficaz para detectar la existencia de elementos en la K -teoría. William G. Dwyer y Eric Friedlander inventaron entonces un análogo de la K -teoría para la topología étale llamado K -teoría étale. ^{[ 38 ]} Para variedades definidas sobre los números complejos, la teoría K étale es isomorfa a la teoría K topológica . Además, la teoría K étale admitió una sucesión espectral similar a la conjeturada por Quillen. Thomason demostró alrededor de 1980 que, tras invertir el elemento de Bott, la teoría K algebraica con coeficientes finitos se volvió isomorfa a la teoría K étale . ^{[ 39 ]}

Durante los años setenta y principios de los ochenta, la teoría K en variedades singulares aún carecía de fundamentos adecuados. Si bien se creía que la teoría K de Quillen proporcionaba los grupos correctos, se desconocía que estos grupos poseyeran todas las propiedades previstas. Para ello, fue necesario reformular la teoría K algebraica . Esto lo hizo Thomason en una extensa monografía que atribuyó en parte a su difunto amigo Thomas Trobaugh, quien, según él, le dio una idea clave en un sueño. ^{[ 40 ]} Thomason combinó la construcción de la teoría K de Waldhausen con los fundamentos de la teoría de la intersección descritos en el volumen seis del Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie de Grothendieck . Allí, K ₀ se describió en términos de complejos de haces en variedades algebraicas. Thomason descubrió que, al trabajar con categorías derivadas de haces, se podía describir fácilmente cuándo un complejo de haces podía extenderse desde un subconjunto abierto de una variedad a toda la variedad. Aplicando la construcción de la teoría K de Waldhausen a categorías derivadas, Thomason demostró que la teoría K algebraica poseía todas las propiedades esperadas de una teoría de cohomología.

En 1976, R. Keith Dennis descubrió una técnica completamente novedosa para calcular la teoría K basada en la homología de Hochschild . ^{[ 41 ]} Esta se basaba en la existencia del mapa de trazas de Dennis , un homomorfismo de la teoría K a la homología de Hochschild. Si bien el mapa de trazas de Dennis parecía ser exitoso para cálculos de la teoría K con coeficientes finitos, era menos exitoso para cálculos racionales. Goodwillie, motivado por su "cálculo de functores", conjeturó la existencia de una teoría intermedia entre la teoría K y la homología de Hochschild. Llamó a esta teoría homología de Hochschild topológica porque su anillo base debería ser el espectro de la esfera (considerado como un anillo cuyas operaciones están definidas solo hasta homotopía). A mediados de la década de 1980, Bokstedt dio una definición de homología de Hochschild topológica que satisfacía casi todas las propiedades conjeturales de Goodwillie, y esto hizo posible cálculos adicionales de grupos K. ^{[ 42 ]} La versión de Bokstedt del mapa de trazas de Dennis era una transformación de espectros K → THH . Esta transformación se factorizó a través de los puntos fijos de una acción de círculo en THH , lo que sugirió una relación con la homología cíclica . En el curso de la demostración de un análogo algebraico de la teoría K de la conjetura de Novikov , Bokstedt, Hsiang y Madsen introdujeron la homología cíclica topológica, que tenía la misma relación con la homología de Hochschild topológica que la homología cíclica con la homología de Hochschild. ^{[ 43 ]}

El mapa de trazas de Dennis a factores de homología de Hochschild topológica a través de la homología cíclica topológica, proporcionando una herramienta aún más detallada para los cálculos. En 1996, Dundas, Goodwillie y McCarthy demostraron que la homología cíclica topológica tiene, en un sentido preciso, la misma estructura local que la K -teoría algebraica, de modo que si un cálculo en K -teoría o homología cíclica topológica es posible, entonces se derivan muchos otros cálculos "cercanos". ^{[ 44 ]}

El functor K ₀ transforma un anillo A en el grupo de Grothendieck del conjunto de clases de isomorfismo de sus módulos proyectivos finitamente generados , considerado como un monoide bajo suma directa. Cualquier homomorfismo de anillos A → B da como resultado una aplicación K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) al mapear (la clase de) un A -módulo proyectivo M a M ⊗ _A B , lo que convierte a K ₀ en un functor covariante.

Si el anillo A es conmutativo, podemos definir un subgrupo de K ₀ ( A ) como el conjunto

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

dónde  :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

es el mapa que envía cada (clase de a) A -módulo proyectivo M finitamente generado al rango del libre${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$-módulo${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$(este módulo es libre, ya que cualquier módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo local es libre). Este subgrupo${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$se conoce como la teoría K cero reducida de A.

Si B es un anillo sin elemento identidad , podemos extender la definición de K ₀ de la siguiente manera. Sea A = B ⊕ Z la extensión de B a un anillo con unidad obtenido al adjuntar un elemento identidad (0,1). Existe una sucesión exacta corta B → A → Z y definimos K ₀ ( B ) como el núcleo de la aplicación correspondiente K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z . ^{[ 45 ]}

Hyman Bass proporcionó esta definición, que generaliza el grupo de unidades de un anillo: K ₁ ( A ) es la abelianización del grupo lineal general infinito :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Aquí

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\varinjlim \operatorname {GL} (n,A)}$

es el límite directo de la${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$, que se incrusta en${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1)}$como las matrices diagonales por bloques con un añadido${\displaystyle 1}$entrada en la parte inferior derecha, y${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$es su subgrupo conmutador . Definimos una matriz elemental como aquella que es la suma de una matriz identidad y un único elemento fuera de la diagonal (este es un subconjunto de las matrices elementales utilizadas en álgebra lineal ). Entonces, el lema de Whitehead establece que el grupo${\displaystyle \operatorname {E} (A)}$generado por matrices elementales es igual al subgrupo conmutador.${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$De hecho, el grupo${\displaystyle \operatorname {GL} (A)/\operatorname {E} (A)}$fue definido y estudiado por primera vez por Whitehead, ^{[ 52 ]} y se denomina grupo de Whitehead del anillo${\displaystyle A}$.

John Milnor encontró la definición correcta de K ₂ : es el centro del grupo de Steinberg St( A ) de A .

También se puede definir como el núcleo del mapa.

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

o como el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales .

Para un cuerpo, K ₂ está determinado por los símbolos de Steinberg : esto conduce al teorema de Matsumoto.

Se puede calcular que K ₂ es cero para cualquier cuerpo finito. ^{[ 62 ] [ 63 ]} El cálculo de K ₂ ( Q ) es complicado: Tate demostró ^{[ 63 ] [ 64 ]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \bigoplus _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

y señaló que la demostración seguía la primera demostración de Gauss de la Ley de Reciprocidad Cuadrática . ^{[ 65 ] [ 66 ]}

Para cuerpos locales no arquimedianos, el grupo K ₂ ( F ) es la suma directa de un grupo cíclico finito de orden m , digamos, y un grupo divisible K ₂ ( F ) ^m . ^{[ 67 ]}

Tenemos K ₂ ( Z ) = Z /2, ^{[ 68 ]} y en general K ₂ es finito para el anillo de enteros de un cuerpo numérico. ^{[ 69 ]}

Además, tenemos K ₂ ( Z / n ) = Z /2 si n es divisible por 4, y cero en caso contrario. ^{[ 70 ]}

Quillen dio una posible definición de la K -teoría algebraica superior de anillos.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Aquí π _n es un grupo de homotopía , GL( R ) es el límite directo de los grupos lineales generales sobre R para el tamaño de la matriz que tiende a infinito, B es la construcción del espacio clasificador de la teoría de homotopía , y el ^{+ es} la construcción más de Quillen . Originalmente encontró esta idea mientras estudiaba la cohomología de grupos de${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$^{[ 85 ]} y señaló que algunos de sus cálculos estaban relacionados con${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$.

Esta definición solo es válida para n  >  0, por lo que a menudo se define la K -teoría algebraica superior mediante

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

Dado que BGL ( R ) ⁺ es conexo por caminos y K ₀ ( R ) discreto, esta definición no difiere en grados superiores y también se cumple para n  =  0.

La construcción Q ofrece los mismos resultados que la construcción +, pero se aplica en situaciones más generales. Además, la definición es más directa, ya que los grupos K , definidos mediante la construcción Q, son funtoriales por definición. Este hecho no es automático en la construcción +.

Suponer${\displaystyle P}$es una categoría exacta ; asociada a${\displaystyle P}$una nueva categoría${\displaystyle QP}$se define, cuyos objetos son los de${\displaystyle P}$y los morfismos de M ′ a M ″ son clases de isomorfismo de diagramas

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

donde la primera flecha es un epimorfismo admisible y la segunda flecha es un monomorfismo admisible . Nótese los morfismos en${\displaystyle QP}$son análogas a las definiciones de morfismos en la categoría de motivos , donde los morfismos se dan como correspondencias.${\displaystyle Z\subset X\times Y}$de tal manera que

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

es un diagrama donde la flecha de la izquierda es una aplicación de recubrimiento (por lo tanto sobreyectiva) y la flecha de la derecha es inyectiva. Esta categoría se puede convertir en un espacio topológico utilizando la construcción del espacio de clasificación.${\displaystyle BQP}$, que se define como la realización geométrica del nervio de${\displaystyle QP}$. Entonces, el i-ésimo K- grupo de la categoría exacta${\displaystyle P}$entonces se define como

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

con un objeto cero fijo${\displaystyle 0}$. Nótese el espacio de clasificación de un grupoide${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$mueve los grupos de homotopía un grado hacia arriba, de ahí el cambio en los grados para${\displaystyle K_{i}}$ser${\displaystyle \pi _{i+1}}$de un espacio.

Esta definición coincide con la definición anterior de K ₀ ( P ). Si P es la categoría de R -módulos proyectivos finitamente generados , esta definición concuerda con la definición anterior de BGL ⁺ de K _n ( R ) para todo n . De manera más general, para un esquema X , los K -grupos superiores de X se definen como los K -grupos de (la categoría exacta de) haces coherentes localmente libres en X .

También se utiliza la siguiente variante: en lugar de  módulos proyectivos finitamente generados (= localmente libres), se toman módulos finitamente generados. Los K -grupos resultantes se suelen escribir G _n ( R ). Cuando R es un anillo regular noetheriano , entonces la teoría G y la teoría K coinciden. De hecho, la dimensión global de los anillos regulares es finita, es decir, cualquier módulo finitamente generado tiene una resolución proyectiva finita P _* → M , y un argumento simple muestra que la aplicación canónica K ₀ (R) → G ₀ (R) es un isomorfismo , con [ M ]=Σ ± [ P _n ]. Este isomorfismo también se extiende a los K -grupos superiores .

Una tercera construcción de grupos de teoría K es la construcción S , debida a Waldhausen . ^{[ 86 ]} Se aplica a categorías con cofibraciones (también llamadas categorías de Waldhausen ). Este es un concepto más general que las categorías exactas.

El primer cálculo, y uno de los más importantes, de los grupos K algebraicos superiores de un anillo fue realizado por el propio Quillen para el caso de cuerpos finitos :

Si F _q es el cuerpo finito con q elementos, entonces:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 para i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ − 1) Z para i ≥ 1.     

Rick Jardine ( 1993 ) refutó el cálculo de Quillen utilizando diferentes métodos. 

Quillen demostró que si A es el anillo de enteros algebraicos en un cuerpo numérico algebraico F (una extensión finita de los racionales), entonces los K -grupos algebraicos de A son finitamente generados. Armand Borel utilizó esto para calcular K _i ( A ) y K _i ( F ) módulo torsión. Por ejemplo, para los enteros Z , Borel demostró que (módulo torsión)

• K _i ( Z )/tors.=0 para i positivo a menos que i=4k+1 con k positivo
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z para k positivo .

Recientemente se han determinado los subgrupos de torsión de K _{2 i +1} ( Z ), y los órdenes de los grupos finitos K _{4 k +2} ( Z ), pero si estos últimos grupos son cíclicos y si los grupos K _{4 k} ( Z ) se anulan depende de la conjetura de Vandiver sobre los grupos de clases de los enteros ciclotómicos. Véase la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para más detalles.

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