cohomología de grupos

The categorical definition using derived functors can be realized and computed using a standard cochain complex, which some authors also use as a definition.^[1] For ${\displaystyle n\geq 0,}$ let ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$ be the group of all functions from ${\displaystyle G^{n}}$ to M (here ${\displaystyle G^{0}}$ means ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$). Este es un grupo abeliano; sus elementos se denominan n -cocadenas (no homogéneas). Los homomorfismos de cofrontera se definen por

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

Uno puede comprobar que${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$Esto define un complejo de cocadenas cuya cohomología puede calcularse. Se puede demostrar que la definición de cohomología de grupo mencionada anteriormente, en términos de functores derivados, es isomorfa a la cohomología de este complejo.

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Aquí, los grupos de n -cociclos y n -cobordes, respectivamente, se definen como

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Interpretación de los G -módulos como módulos sobre el anillo de grupo${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$se puede observar que

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

es decir, el subgrupo de elementos G -invariantes en M se identifica con el grupo de homomorfismos de${\displaystyle \mathbb {Z} }$, que se trata como el G -módulo trivial (cada elemento de G actúa como la identidad) de M.

Por lo tanto, como los functores Ext son los functores derivados de Hom , existe un isomorfismo natural.

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Estos grupos Ext también se pueden calcular mediante una resolución proyectiva de${\displaystyle \mathbb {Z} }$, la ventaja es que dicha resolución solo depende de G y no de M. Recordamos la definición de Ext de forma más explícita para este contexto. Sea F un proyectivo${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-resolución (por ejemplo, una libre${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-resolución ) de lo trivial${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-módulo${\displaystyle \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

Por ejemplo, siempre se puede tomar la resolución de anillos de grupo,${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$con morfismos

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Recuerda que para${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-módulos N y M , Hom _G ( N , M ) es un grupo abeliano que consta de${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-homomorfismos de N a M. Dado que${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$es un functor contravariante e invierte las flechas, aplicando${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$a F término por término y cayendo${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$produce un complejo de cocadena${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$:

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Los grupos de cohomología${\displaystyle H^{*}(G,M)}$Las cadenas de G con coeficientes en el módulo M se definen como la cohomología del complejo de cocadenas mencionado anteriormente:

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Esta construcción conduce inicialmente a un operador de cofrontera que actúa sobre las cocadenas "homogéneas". Estos son los elementos de${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$, es decir, funciones${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$que obedecen

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

El operador de cofrontera${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$ahora se define naturalmente por, por ejemplo,

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

La relación con el operador de cofrontera d que se definió en la sección anterior, y que actúa sobre las cocadenas "inhomogéneas"${\displaystyle \varphi }$, se obtiene reparametrizando de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

como en la sección anterior.

Otra forma de definir la cohomología de grupos es utilizar teorías de cohomología topológica (como la cohomología simplicial , la cohomología singular o la cohomología de haces ). ^{[ 2 ]}

Más precisamente, los grupos de cohomología definidos anteriormente también pueden expresarse como

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

dónde${\displaystyle BG}$es un espacio de clasificación para${\displaystyle G}$, ese es un espacio cuyo grupo fundamental es${\displaystyle G}$y cuyos grupos de homotopía superiores se desvanecen (generalmente llamados espacio de Eilenberg-MacLane)${\displaystyle K(G,1)}$) ^{[ b ]} . Por ejemplo, clasificar espacios para${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$y${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$son el círculo${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$espacio proyectivo real infinito${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$y espacios de lentes , respectivamente. En general,${\displaystyle BG}$se puede construir como el cociente${\displaystyle EG/G}$, dónde${\displaystyle EG}$es un espacio contraíble en el que${\displaystyle G}$actúa libremente. El espacio${\displaystyle BG}$No es necesario que tengan una descripción geométrica fácilmente manejable, aunque este es el caso de varias clases importantes de grupos, por ejemplo, los grupos hiperbólicos de Gromov y los grupos aritméticos .

En términos más generales, se puede adjuntar a cualquier${\displaystyle G}$-módulo${\displaystyle M}$un sistema de coeficientes locales en${\displaystyle BG}$y el isomorfismo anterior se generaliza a un isomorfismo ^{[ 3 ].}

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

El primer grupo de cohomología es el cociente de los llamados homomorfismos cruzados , es decir, aplicaciones (de conjuntos) f  : G → M que satisfacen f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) para todo a , b en G , módulo los llamados homomorfismos cruzados principales , es decir, aplicaciones f  : G → M dadas por f ( g ) = gm − m para algún m ∈ M fijo . Esto se deduce de la definición de cocadenas anterior.

Si la acción de G sobre M es trivial , entonces lo anterior se reduce a H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), el grupo de homomorfismos de grupo G → M , ya que los homomorfismos cruzados son entonces solo homomorfismos ordinarios y las cofronteras (es decir, los principales homomorfismos cruzados) deben tener imagen idénticamente cero: por lo tanto, solo existe la cofrontera cero.

Por otro lado, consideremos el caso de${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$dónde${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$denota lo no trivial${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-estructura en el grupo aditivo de enteros, que envía a a -a para cada${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$; y donde consideramos${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$como el grupo${\displaystyle \{\pm 1\}}$. Al considerar todos los casos posibles para las imágenes de${\displaystyle \{1,-1\}}$, puede verse que los homomorfismos cruzados constituyen todos los mapas${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$satisfactorio${\displaystyle f_{t}(1)=0}$y${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$para alguna elección arbitraria de entero t . Los homomorfismos cruzados principales deben satisfacer adicionalmente${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$para algún entero m : por lo tanto, todo homomorfismo cruzado${\displaystyle f_{t}}$enviar -1 a un número entero par${\displaystyle t=-2m}$es principal y, por lo tanto:

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

siendo la operación de grupo una suma puntual:${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$, señalando que${\displaystyle f_{0}}$es el elemento identidad .

Si M es un G -módulo trivial (es decir ^, la acción de G sobre M es trivial), el segundo grupo de cohomología H₂ ( G , M ) está en correspondencia biunívoca con el conjunto de extensiones centrales del grupo G por el grupo aditivo de M (salvo una relación de equivalencia natural ). De forma más general, si la acción de G sobre M no es trivial, H₂ ( G , M ) clasifica las clases de isomorfismo de todas las extensiones de grupo ^.${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$de G por M, en la que la acción de G sobre E (por automorfismos internos ), dota (a la imagen de) M con una estructura de G -módulo isomorfa a M.

En el ejemplo de la sección sobre${\displaystyle H^{1}}$inmediatamente arriba,${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$como la única extensión de${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$por${\displaystyle \mathbb {Z} }$con la acción no trivial dada es el grupo diedral infinito , que es una extensión escindida (producto semidirecto) y por lo tanto trivial dentro del${\displaystyle H^{2}}$grupo. De hecho, este es el significado en términos de teoría de grupos del elemento único no trivial de${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})}$.

Un ejemplo de un segundo grupo de cohomología es el grupo de Brauer : es la cohomología del grupo de Galois absoluto de un cuerpo k que actúa sobre los elementos invertibles en una clausura separable :

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

Esto clasifica las álgebras de división sobre k . Véase también.

Para el grupo cíclico finito${\displaystyle G=C_{m}}$del orden${\displaystyle m}$con generador${\displaystyle \sigma }$, el elemento${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$en el grupo asociado anillo es un divisor de cero porque su producto con${\displaystyle N}$, dado por $${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$$ da $${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$$

Esta propiedad puede utilizarse para construir la resolución ^{[ 4 ] [ 5 ]} del trivial${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-módulo${\displaystyle \mathbb {Z} }$a través del complejo $${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$$ dando el cálculo de cohomología de grupo para cualquier${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-módulo${\displaystyle A}$Nótese que el mapa de aumento da el módulo trivial.${\displaystyle \mathbb {Z} }$es${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-estructura por $${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$$

Esta resolución proporciona un cálculo de la cohomología del grupo, ya que existe el isomorfismo de grupos de cohomología. $${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$$ demostrando que aplicando el functor${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$al complejo de arriba (con${\displaystyle \mathbb {Z} }$eliminado ya que esta resolución es un cuasi-isomorfismo ), da el cálculo $${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$ para $${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$$ Por ejemplo, si${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$, el módulo trivial, entonces${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$,${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$, y${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$, por eso$${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$

Los grupos de cohomología del grupo abeliano libre${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$se puede calcular de forma completamente explícita. Un espacio de clasificación para${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$es dado por el${\displaystyle n}$toro dimensional${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$. Utilizando una estructura celular simple para${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$permite calcular que${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {Z} )}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$. Una forma alternativa de llegar a esta fórmula es observar que la${\displaystyle n}$El toro de dimensión - es el producto cartesiano de${\displaystyle n}$círculos y utilice la fórmula de Künneth .

En la práctica, a menudo se calculan los grupos de cohomología utilizando el siguiente hecho: si

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

es una secuencia exacta corta de módulos G , entonces se induce una secuencia exacta larga:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Los llamados homomorfismos de conexión ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

puede describirse en términos de cocadenas no homogéneas de la siguiente manera. ^{[ 10 ]} Si${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$está representado por un n -cociclo${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$entonces${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$está representado por${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$dónde${\displaystyle \psi }$es una n -cocadena${\displaystyle G^{n}\to M}$"levantamiento"${\displaystyle \phi }$(es decir${\displaystyle \phi }$es la composición de${\displaystyle \psi }$con la aplicación sobreyectiva M → N ).

La cohomología de grupos depende contravariantemente del grupo G , en el siguiente sentido: si f  : H → G es un homomorfismo de grupos , entonces tenemos un morfismo inducido naturalmente H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (donde en este último, M se trata como un H -módulo a través de f ). Este mapa se llama mapa de restricción . Si el índice de H en G es finito, también hay un mapa en la dirección opuesta, llamado mapa de transferencia , ^{[ 11 ]}

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

En el grado 0, viene dado por el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Dado un morfismo de G -módulos M → N , se obtiene un morfismo de grupos de cohomología en H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

De forma similar a otras teorías de cohomología en topología y geometría, como la cohomología singular o la cohomología de De Rham , la cohomología de grupos disfruta de una estructura de producto: existe un mapa natural llamado producto de copa :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

para cualesquiera dos G -módulos M y N. Esto produce una estructura de anillo anticonmutativa graduada en${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$donde R es un anillo como${\displaystyle \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$Para un grupo finito G , la parte par de este anillo de cohomología en característica p ,${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$contiene mucha información sobre el grupo la estructura de G , por ejemplo la dimensión de Krull de este anillo es igual al rango máximo de un subgrupo abeliano.${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$. ^{[ 12 ]}

Por ejemplo, sea G el grupo con dos elementos, bajo la topología discreta. El espacio proyectivo real${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$es un espacio de clasificación para G. Sea${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$el campo de dos elementos. Entonces

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

un k -álgebra polinomial en un solo generador, ya que este es el anillo de cohomología celular de${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Si M = k es un cuerpo, entonces H* ( G ; k ) es un álgebra k graduada y la cohomología de un producto de grupos está relacionada con las de los grupos individuales mediante una fórmula de Künneth :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Por ejemplo, si G es un 2-grupo abeliano elemental de rango r , y${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$Entonces, la fórmula de Künneth muestra que la cohomología de G es un álgebra k polinomial generada por r clases en H ¹ ( G ; k ).,

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

En cuanto a otras teorías de cohomología, como la cohomología singular , la cohomología de grupo y la homología están relacionadas entre sí mediante una secuencia exacta corta ^{[ 13 ].}

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

donde A está dotado de la acción trivial G y el término de la izquierda es el primer grupo Ext .

Dado un grupo A que es un subgrupo de dos grupos G ₁ y G ₂ , la homología del producto amalgamado es${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$(con coeficientes enteros) se encuentra en una larga secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

La homología de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$se puede calcular usando esto:

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Esta misma secuencia también se puede aplicar para demostrar que la homología de la${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$y el grupo lineal especial${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$estar de acuerdo para un campo infinito k . ^{[ 14 ]}

La sucesión espectral de Hochschild-Serre relaciona la cohomología de un subgrupo normal N de G y el cociente G/N con la cohomología del grupo G (para grupos (pro)finitos G ). A partir de ella, se obtiene la sucesión exacta de restricción de inflación .

Hay una forma de calcular el producto semidirecto de grupos utilizando la topología de las fibraciones y las propiedades de los espacios de Eilenberg-Maclane. Recordemos que para un producto semidirecto de grupos${\displaystyle G=N\rtimes H}$Existe una secuencia corta y exacta de grupos asociada.

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Utilizando los espacios de Eilenberg-Maclane asociados, existe una fibración de Serre.

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

que se puede someter a una secuencia espectral de Serre . Esto da como resultado una${\displaystyle E_{2}}$-página

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

que proporciona información sobre la cohomología de grupo de${\displaystyle G}$de los grupos de cohomología de grupo de${\displaystyle H,N}$. Nótese que este formalismo puede aplicarse de una manera puramente teórica de grupos utilizando la secuencia espectral de Lyndon–Hochschild–Serre .

Los grupos de cohomología H ⁿ ( G , M ) de grupos finitos G son todos de torsión para todo n ≥ 1. De hecho, por el teorema de Maschke , la categoría de representaciones de un grupo finito es semisimple sobre cualquier cuerpo de característica cero (o, más generalmente, sobre cualquier cuerpo cuya característica no divida el orden del grupo); por lo tanto, al considerar la cohomología de grupo como un functor derivado en esta categoría abeliana , se obtiene que es cero. El otro argumento es que, sobre un cuerpo de característica cero, el álgebra de grupo de un grupo finito es una suma directa de álgebras de matrices (posiblemente sobre álgebras de división que son extensiones del cuerpo original), mientras que un álgebra de matrices es Morita equivalente a su cuerpo base y, por lo tanto, tiene cohomología trivial.

Si el orden de G es invertible en un G -módulo M (por ejemplo, si M es un${\displaystyle \mathbb {Q} }$- espacio vectorial ), el mapa de transferencia se puede utilizar para mostrar que${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$para${\displaystyle n\geqslant 1.}$Una aplicación típica de este hecho es la siguiente: la secuencia de cohomología exacta larga de la secuencia exacta corta (donde los tres grupos tienen una acción G trivial).

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

produce un isomorfismo

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

Los grupos de cohomología de Tate combinan tanto la homología como la cohomología de un grupo finito G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$es inducido por el mapa de norma:

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

La cohomología de Tate posee características similares, como secuencias exactas largas y estructuras de producto. Una aplicación importante se encuentra en la teoría de cuerpos de clases ; véase formación de clases .

Cohomología de Tate de grupos cíclicos finitos ,${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$es 2-periódica en el sentido de que existen isomorfismos.

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Un criterio necesario y suficiente para una cohomología d -periódica es que los únicos subgrupos abelianos de G sean cíclicos. ^{[ 15 ]} Por ejemplo, cualquier producto semidirecto${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$tiene esta propiedad para enteros coprimos n y m .

La K-teoría algebraica está estrechamente relacionada con la cohomología de grupos: en la construcción + de la K-teoría de Quillen, la K- teoría de un anillo R se define como los grupos de homotopía de un espacio${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$Aquí${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$es el grupo lineal general infinito . El espacio${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$tiene la misma homología que${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$es decir , la homología de grupo de GL( R ). En algunos casos, los resultados de estabilidad afirman que la secuencia de grupos de cohomología

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

se vuelve estacionario para n suficientemente grande , reduciendo así el cálculo de la cohomología del grupo lineal general infinito al de algún${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$. Dichos resultados se han establecido cuando R es un cuerpo ^{[ 16 ]} o para anillos de enteros en un cuerpo numérico . ^{[ 17 ]}

El fenómeno de la homología de grupo de una serie de grupos${\displaystyle G_{n}}$La estabilización se denomina estabilidad homológica . Además del caso${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$Como ya se mencionó, esto se aplica a otros grupos, como grupos simétricos o grupos de clases de mapeo .

En mecánica cuántica a menudo tenemos sistemas con un grupo de simetría${\displaystyle G.}$Esperamos una acción de${\displaystyle G}$en el espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$mediante matrices unitarias${\displaystyle U(g).}$Podríamos esperar${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$pero las reglas de la mecánica cuántica solo requieren

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

dónde${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$es una fase. Esta representación proyectiva de${\displaystyle G}$También puede considerarse como una representación convencional de una extensión de grupo.${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$por${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$tal como lo describe la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Requeriendo asociatividad

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

conduce a

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

que reconocemos como la declaración de que${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$es decir que${\displaystyle \omega }$es un cociclo que toma valores en${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$Podemos preguntarnos si podemos eliminar las fases redefiniéndolas

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

lo cual cambia

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Esto lo reconocemos como un cambio${\displaystyle \omega }$por una cofrontera${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$Por lo tanto, las distintas representaciones proyectivas se clasifican por:${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$Nótese que si permitimos que el grupo actúe sobre las fases mismas (por ejemplo, la inversión del tiempo conjugaría complejamente la fase), entonces el primer término en cada una de las operaciones de cofrontera tendrá un${\displaystyle g_{1}}$actuando sobre ella como en las definiciones generales de cofrontera en las secciones anteriores. Por ejemplo,${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Dado un grupo topológico G , es decir, un grupo dotado de una topología tal que el producto y el inverso son aplicaciones continuas, es natural considerar G -módulos continuos, es decir, requiriendo que la acción

${\displaystyle G\times M\to M}$

es una aplicación continua. Para tales módulos, se puede considerar nuevamente el functor derivado de${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$Un caso especial que se presenta en álgebra y teoría de números es cuando G es profinito , por ejemplo, el grupo de Galois absoluto de un cuerpo. La cohomología resultante se llama cohomología de Galois .

Utilizando los G -invariantes y las 1-cocadenas, se puede construir la cohomología de grupo cero y primera para un grupo G con coeficientes en un grupo no abeliano. Específicamente, un G - grupo es un grupo A (no necesariamente abeliano) junto con una acción de G.

La cohomología cero de G con coeficientes en A se define como el subgrupo

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

de elementos de A fijados por G.

La primera cohomología de G con coeficientes en A se define como 1-cociclos módulo una relación de equivalencia en lugar de por 1-cofronteras. La condición para un mapa${\displaystyle \varphi }$ser un 1-cociclo es que${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$y${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$si existe una a en A tal que${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$. En general,${\displaystyle H^{1}(G,A)}$no es un grupo cuando A no es abeliano. En cambio, tiene la estructura de un conjunto apuntado ; exactamente la misma situación surge en el grupo de homotopía 0 .${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$que, para un espacio topológico general, no es un grupo, sino un conjunto con punto. Cabe destacar que un grupo es, en particular, un conjunto con punto, cuyo elemento identidad es el punto distinguido.