5-símplex estericados

En geometría de cinco dimensiones , un 5-símplex estericizado es un 5-politopo uniforme convexo con truncamientos de cuarto orden ( estericación ) del 5-símplex regular .

Existen seis estericaciones únicas del 5-símplex, incluidas permutaciones de truncamientos, cantelaciones y runcinaciones. El 5-símplex esterificado más simple también se denomina 5-símplex expandido , con el primer y el último nodo en forma de anillo, por ser construible mediante una operación de expansión aplicada al 5-símplex regular. La forma más alta, el 5-símplex esterificado antitruncado, se denomina de manera más sencilla 5-símplex omnitruncado con todos los nodos en forma de anillo.

Un 5-símplex estericable se puede construir mediante una operación de expansión aplicada al 5-símplex regular , y por lo tanto también se lo denomina a veces 5-símplex expandido . Tiene 30 vértices , 120 aristas , 210 caras (120 triángulos y 90 cuadrados ), 180 celdas (60 tetraedros y 120 prismas triangulares ) y 62 4-caras (12 5-celdas , 30 prismas tetraédricos y 20 duoprismas 3-3 ).

• 5-símplex expandido
• Hexateron estericado
• Dodecaterón celulado pequeño (acrónimo: scad) (Jonathan Bowers) ^[1]

La sección transversal máxima del hexaterón esterificado con un hiperplano de 4 dimensiones es una 5-celda runcinada . Esta sección transversal divide el hexaterón esterificado en dos hipercúpulas pentacorales que constan de 6 5-celdas , 15 prismas tetraédricos y 10 duoprismas 3-3 cada una.

Los vértices del 5-símplex estericizado se pueden construir en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,1,1,1,1,2). Esto representa la faceta ortante positiva del 6-ortoplex estericizado .

Una segunda construcción en el espacio 6, desde el centro de un ortoplex 6 rectificado, se da mediante permutaciones de coordenadas de:

(1,-1,0,0,0,0)

Las coordenadas cartesianas en el espacio 5 para los vértices normalizados de un hexaterón estericulado centrado en el origen son:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ 0,\ \pm 1,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ \pm 1/2,\ 0,\ \pm {\sqrt {1/2}},\ 0\right)}$

Sus 30 vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple A ₅ . También es la figura de vértice del panal 5-símplex .

• Hexateron esteritruncado
• Hexateron celiprismado (acrónimo: cappix) (Jonathan Bowers) ^[2]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 180 permutaciones de:

(0,1,1,1,2,3)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex esteritruncado .

• Hexateron estericantelado
• Dodecateron celirrombado (Acrónimo: card) (Jonathan Bowers) ^[3]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio de 6, como permutaciones de:

(0,1,1,2,2,3)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex estericantelado .

• Hexateron antitruncado esterico
• Hexateron hombatado de Cellicreator (acrónimo: cograx) (Jonathan Bowers) ^[4]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 360 permutaciones de:

(0,1,1,2,3,4)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex estericoantitruncado .

• Hexateron esteriruncitruncado
• Dodecaterón truncado de celiprisma (acrónimo: captid) (Jonathan Bowers) ^[5]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 360 permutaciones de:

(0,1,2,2,3,4)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex esteriruncitruncado .

El 5-símplex omnitruncado tiene 720 vértices , 1800 aristas , 1560 caras (480 hexágonos y 1080 cuadrados ), 540 celdas (360 octaedros truncados , 90 cubos y 90 prismas hexagonales ) y 62 4-caras (12 5-celdas omnitruncadas , 30 prismas octaédricos truncados y 20 duoprismas 6-6 ).

• Steriruncicantitruncated 5-simplex (Full description of omnitruncation for 5-polytopes by Johnson)
• Omnitruncated hexateron
• Great cellated dodecateron (Acronym: gocad) (Jonathan Bowers)^[6]

The vertices of the omnitruncated 5-simplex can be most simply constructed on a hyperplane in 6-space as permutations of (0,1,2,3,4,5). These coordinates come from the positive orthant facet of the steriruncicantitruncated 6-orthoplex, t_0,1,2,3,4{3⁴,4}, .

The omnitruncated 5-simplex is the permutohedron of order 6. It is also a zonotope, the Minkowski sum of six line segments parallel to the six lines through the origin and the six vertices of the 5-simplex.

The omnitruncated 5-simplex honeycomb is constructed by omnitruncated 5-simplex facets with 3 facets around each ridge. It has Coxeter-Dynkin diagram of .

The full snub 5-simplex or omnisnub 5-simplex, defined as an alternation of the omnitruncated 5-simplex is not uniform, but it can be given Coxeter diagram and symmetry [[3,3,3,3]]⁺, and constructed from 12 snub 5-cells, 30 snub tetrahedral antiprisms, 20 3-3 duoantiprisms, and 360 irregular 5-cells filling the gaps at the deleted vertices.

These polytopes are a part of 19 uniform 5-polytopes based on the [3,3,3,3] Coxeter group, all shown here in A₅ Coxeter plane orthographic projections. (Vertices are colored by projection overlap order, red, orange, yellow, green, cyan, blue, purple having progressively more vertices)

• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D.
• Klitzing, Richard. "5D uniform polytopes (polytera)". x3o3o3o3x - scad, x3x3o3o3x - cappix, x3o3x3o3x - card, x3x3x3o3x - cograx, x3x3o3x3x - captid, x3x3x3x3x - gocad

• Glossary for hyperspace, George Olshevsky.
• Polytopes of Various Dimensions
• Multi-dimensional Glossary