Teoría estocástica de carteras

La teoría estocástica de carteras ( SPT ) es una teoría matemática para analizar la estructura del mercado de valores y el comportamiento de las carteras, introducida por E. Robert Fernholz en 2002. Es descriptiva, a diferencia de normativa, y es coherente con el comportamiento observado en los mercados reales. La SPT carece de los supuestos normativos que sirven de base a teorías anteriores como la teoría moderna de carteras (MPT) y el modelo de valoración de activos de capital (CAPM).

La teoría SPT utiliza procesos aleatorios de tiempo continuo (en particular, semimartingalas continuas) para representar los precios de los valores individuales. También se han incorporado a la teoría procesos con discontinuidades, como saltos (*afirmación no verificable por falta de citación).

La SPT considera acciones y mercados bursátiles , pero sus métodos también pueden aplicarse a otras clases de activos . Una acción se representa mediante su proceso de precios, generalmente en representación logarítmica . En este caso, el mercado es una colección de procesos de precios de acciones.${\displaystyle X_{i},}$para${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$cada una definida por una semimartingala continua

${\displaystyle d\log X_{i}(t)=\gamma _{i}(t)\,dt+\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\,dW_{\nu }(t)}$

dónde${\displaystyle W:=(W_{1},\dots,W_{d})}$es un${\displaystyle n}$Proceso de movimiento browniano (Wiener) -dimensional con${\displaystyle d\geq n}$y los procesos${\displaystyle \gamma _{i}}$y${\displaystyle \xi _{i\nu }}$son progresivamente medibles con respecto a la filtración browniana. ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$En esta representación${\displaystyle \gamma _{i}(t)}$se denomina tasa de crecimiento (compuesto) de${\displaystyle X_{i},}$y la covarianza entre${\displaystyle \log X_{i}}$y${\displaystyle \log X_{j}}$es${\displaystyle \sigma _{ij}(t)=\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\xi _{j\nu }(t).}$ Con frecuencia se asume que, para todos${\displaystyle i,}$el proceso${\displaystyle \xi _{i,1}^{2}(t)+\cdots +\xi _{id}^{2}(t)}$es positivo, localmente integrable al cuadrado y no crece demasiado rápido como${\displaystyle t\rightarrow \infty .}$

La representación logarítmica es equivalente a la representación aritmética clásica que utiliza la tasa de retorno.${\displaystyle \alpha _{i}(t),}$Sin embargo, la tasa de crecimiento puede ser un indicador significativo del rendimiento a largo plazo de un activo financiero, mientras que la tasa de retorno tiene un sesgo alcista. La relación entre la tasa de retorno y la tasa de crecimiento es

${\displaystyle \alpha _{i}(t)=\gamma _{i}(t)+{\frac {\sigma _{ii}(t)}{2}}}$

La convención habitual en SPT es asumir que cada acción tiene una sola acción en circulación, por lo que${\displaystyle X_{i}(t)}$ representa la capitalización total de la${\displaystyle i}$-acciones en ese momento${\displaystyle t,}$y ${\displaystyle X(t)=X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}$es la capitalización total del mercado. Los dividendos pueden incluirse en esta representación, pero se omiten aquí por simplicidad.

Una estrategia de inversión${\displaystyle \pi =(\pi _ {1},\cdots,\pi _ {n})}$es un vector de procesos acotados y progresivamente medibles; la cantidad${\displaystyle \pi _{i}(t)}$representa la proporción de la riqueza total invertida en el${\displaystyle i}$-acciones en ese momento${\displaystyle t}$, y${\displaystyle \pi _{0}(t):=1-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)}$es la proporción acumulada (invertida en un mercado monetario con tasa de interés cero). Los pesos negativos corresponden a posiciones cortas. La estrategia de efectivo${\displaystyle \kappa \equiv 0(\kappa _ {0}\equiv 1)}$Mantiene toda la riqueza en el mercado monetario. Una estrategia${\displaystyle \pi }$se llama cartera , si está totalmente invertida en el mercado de valores , es decir${\displaystyle \pi _{1}(t)+\cdots +\pi _{n}(t)=1}$se mantiene, en todo momento.

El proceso de valor${\displaystyle Z_{\pi }}$de una estrategia${\displaystyle \pi }$siempre es positivo y satisface

${\displaystyle d\log Z_{\pi }(t)=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\,d\log X_{i}(t)+\gamma _{\pi }^{*}(t)\,dt}$

donde el proceso${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}}$se denomina proceso de tasa de crecimiento excesivo y está dado por

${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}(t):={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\sigma _{ii}(t)-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\pi _{i}(t)\pi _{j}(t)\sigma _{ij}(t)}$

Esta expresión es no negativa para una cartera con ponderaciones no negativas.${\displaystyle \pi _{i}(t)}$y se ha utilizado en la optimización cuadrática de carteras de acciones, un caso especial de la cual es la optimización con respecto a la función de utilidad logarítmica.

Los procesos de ponderación del mercado ,

${\displaystyle \mu _{i}(t):={\frac {X_{i}(t)}{X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}}}$

dónde${\displaystyle i=1,\dots ,n}$definir la cartera de mercado${\displaystyle \mu }$Con la condición inicial${\displaystyle Z_{\mu }(0)=X(0),}$El proceso de valor asociado satisfará${\displaystyle Z_{\mu }(t)=X(t)}$a pesar de${\displaystyle t.}$

Se pueden imponer diversas condiciones a un mercado, a veces para modelar mercados reales y otras veces para enfatizar ciertos tipos de comportamiento hipotético del mercado. Algunas condiciones comúnmente invocadas son:

1. Un mercado es no degenerado si los valores propios de la matriz de covarianza${\displaystyle (\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}}$están acotados lejos de cero. Tiene varianza acotada si los valores propios están acotados.
2. Un mercado es coherente si${\displaystyle \operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }t^{-1}\log(\mu _{i}(t))=0}$a pesar de${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
3. Un mercado es diverso en${\displaystyle [0,T]}$si existe${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que${\displaystyle \mu _{\max }(t)\leq 1-\varepsilon }$para${\displaystyle t\in [0,T].}$
4. Un mercado es débilmente diverso en${\displaystyle [0,T]}$si existe${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mu _{\max }(t)\,dt\leq 1-\varepsilon }$

La diversidad y la escasa diversidad son condiciones bastante débiles, y los mercados suelen ser mucho más diversos de lo que se pondría a prueba con estos extremos. Una medida de la diversidad del mercado es la entropía del mercado , definida por

${\displaystyle S(\mu (t))=-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\log(\mu _{i}(t)).}$

Consideramos el proceso vectorial${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\dots ,\mu _{(n)}(t)),}$con${\displaystyle 0\leq t<\infty }$de ponderaciones de mercado clasificadas

${\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)=:\mu _{(1)}(t)\geq \mu _{(2)}(t)\geq \cdots \mu _{(n)}(t):=\min _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)}$

donde los empates se resuelven “lexicográficamente”, siempre a favor del índice más bajo. Los logaritmos de las brechas

${\displaystyle G^{(k,k+1)}(t):=\log(\mu _{(k)}(t)/\mu _{(k+1)}(t)),}$

dónde${\displaystyle 0\leq t<\infty }$y${\displaystyle k=1,\dots ,n-1}$son semimartingalas continuas y no negativas; las denotamos por${\displaystyle \Lambda ^{(k,k+1)}(t)=L^{G^{(k,k+1)}}(t;0)}$sus horas locales en el origen. Estas cantidades miden la cantidad de rotación entre rangos.${\displaystyle k}$y${\displaystyle k+1}$durante el intervalo de tiempo${\displaystyle [0,t]}$.

Un mercado se denomina estocásticamente estable si${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\cdots ,\mu _{(n)}(t))}$converge en distribución como${\displaystyle t\rightarrow \infty }$a un vector aleatorio${\displaystyle (M_{(1)},\cdots ,M_{(n)})}$con valores en la cámara de Weyl${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid x_{1}>x_{2}>\dots >x_{n}{\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=1\}}$ del simplex unitario, y si la ley fuerte de los grandes números

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\Lambda ^{(k,k+1)}(t)}{t}}=\lambda ^{(k,k+1)}>0}$

se cumple para constantes reales adecuadas${\displaystyle \lambda ^{(1,2)},\dots ,\lambda ^{(n-1,n)}.}$

Dadas dos estrategias de inversión cualesquiera${\displaystyle \pi ,\rho }$y un número real${\displaystyle T>0}$, decimos que${\displaystyle \pi }$es arbitraje relativo a${\displaystyle \rho }$más allá del horizonte temporal${\displaystyle [0,T]}$, si${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)\geq Z_{\rho }(T))\geq 1}$ y${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))>0}$ambas se cumplen; este arbitraje relativo se denomina “fuerte” si${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))=1.}$ Cuando${\displaystyle \rho }$es${\displaystyle \kappa \equiv 0,}$Recuperamos la definición habitual de arbitraje en relación con el efectivo. Decimos que una estrategia dada${\displaystyle \nu }$tiene la propiedad numerario , si para cualquier estrategia${\displaystyle \pi }$la proporción${\displaystyle Z_{\pi }/Z_{\nu }}$es un${\displaystyle \mathbb {P} }$−supermartingala. En tal caso, el proceso${\displaystyle 1/Z_{\nu }}$Se le denomina un “deflactor” para el mercado.

No es posible realizar arbitraje , en ningún horizonte temporal dado , en relación con una estrategia.${\displaystyle \nu }$que tiene la propiedad de numerario (ya sea con respecto a la medida de probabilidad subyacente)${\displaystyle \mathbb {P} }$, o con respecto a cualquier otra medida de probabilidad que sea equivalente a${\displaystyle \mathbb {P} }$). Una estrategia${\displaystyle \nu }$con la propiedad numerario maximiza la tasa de crecimiento asintótico de la inversión, en el sentido de que

${\displaystyle \limsup _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\pi }(T)}{Z_{\nu }(T)}}\right)\leq 0}$

es válido para cualquier estrategia.${\displaystyle \pi }$; también maximiza la utilidad logarítmica esperada de la inversión, en el sentido de que para cualquier estrategia${\displaystyle \pi }$y número real${\displaystyle T>0}$tenemos

${\displaystyle \mathbb {E} [\log(Z_{\pi }(T)]\leq \mathbb {E} [\log(Z_{\nu }(T))].}$

Si el vector${\displaystyle \alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\cdots ,\alpha _{n}(t))'}$de tasas de retorno instantáneas y la matriz${\displaystyle \sigma (t)=(\sigma (t))_{1\leq i,j\leq n}}$de covarianzas instantáneas, son conocidas, entonces la estrategia

${\displaystyle \nu (t)=\arg \max _{p\in \mathbb {R} ^{n}}(p'\alpha (t)-{\tfrac {1}{2}}p'\alpha (t)p)\qquad {\text{ for all }}0\leq t<\infty }$

tiene la propiedad de numerario siempre que se alcance el máximo indicado.

El estudio de la cartera de numerarios vincula la SPT con el llamado enfoque de referencia de las finanzas matemáticas , que toma dicha cartera de numerarios como un dato dado y proporciona una forma de valorar los derechos contingentes, sin ninguna otra suposición.

Una medida de probabilidad${\displaystyle \mathbb {Q} }$se denomina medida de martingala equivalente (EMM) en un horizonte temporal determinado.${\displaystyle [0,T]}$, si tiene los mismos conjuntos nulos que${\displaystyle \mathbb {P} }$en${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$y si los procesos${\displaystyle X_{1}(t),\dots ,X_{n}(t)}$con${\displaystyle 0\leq t\leq T}$son todos${\displaystyle \mathbb {Q} }$−martingalas. Suponiendo que exista tal EMM, el arbitraje no es posible en${\displaystyle [0,T]}$en relación con el efectivo${\displaystyle \kappa }$o a la cartera de mercado${\displaystyle \mu }$(o, de forma más general, en relación con cualquier estrategia)${\displaystyle \rho }$cuyo proceso de riqueza${\displaystyle Z_{\rho }}$es una martingala bajo algún EMM). Por el contrario, si${\displaystyle \pi ,\rho }$son carteras y una de ellas es arbitraje relativo a la otra en${\displaystyle [0,T]}$Entonces, ningún EMM puede existir en este horizonte.

Supongamos que se nos da una función suave.${\displaystyle G:U\rightarrow (0,\infty )}$en algún barrio ${\displaystyle U}$del simplex unitario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Nosotros llamamos

${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {G} }(t):=\mu _{i}(t)\left(D_{i}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))+1-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}(t)D_{j}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))\right)\qquad {\text{ for }}1\leq i\leq n}$

la cartera generada por la función${\displaystyle \mathbb {G} }$Se puede demostrar que todos los pesos de esta cartera son no negativos, si su función generadora${\displaystyle \mathbb {G} }$es cóncava. En condiciones suaves, el rendimiento relativo de esta cartera generada funcionalmente${\displaystyle \pi _{\mathbb {G} }}$con respecto a la cartera de mercado${\displaystyle \mu }$, viene dado por la descomposición FG

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\pi ^{\mathbb {G} }}(T)}{Z_{\mu }(T)}}\right)=\log \left({\frac {\mathbb {G} (\mu (T))}{\mathbb {G} (\mu (0))}}\right)+\int _{0}^{T}g(t)\,dt}$

que no implica integrales estocásticas. Aquí la expresión

${\displaystyle g(t):={\frac {-1}{2\mathbb {G} (\mu (t))}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}D_{ij}^{2}\mathbb {G} (\mu (t))\mu _{i}(t)\mu _{j}(t)\tau _{ij}^{\mu }(t)}$

se denomina proceso de deriva de la cartera (y es una cantidad no negativa si la función generadora${\displaystyle \mathbb {G} }$es cóncava); y las cantidades

${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }(t):=\sum _{\nu =1}^{n}(\xi _{i\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t))(\xi _{j\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t)),\qquad \xi _{i\nu }(t):=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\xi _{i\nu }(t)}$

con${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$se denominan covarianzas relativas entre${\displaystyle \log(X_{i})}$y${\displaystyle \log(X_{j})}$con respecto al mercado.

Consideremos el ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas.

${\displaystyle d\log(X_{i}(t))={\frac {\alpha }{2\mu _{i}(t)}}\,dt+{\frac {\sigma }{\mu _{i}(t)}}\,dW_{i}(t)}$

con${\displaystyle 1\leq i\leq n}$dadas constantes reales${\displaystyle \alpha \geq 0}$y un${\displaystyle n}$movimiento browniano dimensional ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{n}).}$Del trabajo de Bass y Perkins (2002) se desprende que este sistema posee una solución débil, cuya distribución es única. Fernholz y Karatzas (2005) muestran cómo construir esta solución en términos de procesos de Bessel al cuadrado escalados y con variación temporal , y demuestran que el sistema resultante es coherente.

La capitalización bursátil total${\displaystyle X}$Aquí se comporta como un movimiento browniano geométrico con deriva y tiene la misma tasa de crecimiento constante que la acción más grande; mientras que la tasa de crecimiento excedente de la cartera de mercado es una constante positiva. Por otro lado, los pesos relativos del mercado${\displaystyle \mu _{i}}$ con${\displaystyle 1\leq i\leq n}$tienen la dinámica de procesos Wright-Fisher multialélicos . Este modelo es un ejemplo de un mercado no diverso con varianzas ilimitadas, en el que existen fuertes oportunidades de arbitraje con respecto a la cartera de mercado.${\displaystyle \mu }$Existen en horizontes temporales arbitrarios , como demostraron Banner y Fernholz (2008). Además, Pal (2012) derivó la densidad conjunta de ponderaciones de mercado en momentos fijos y en ciertos momentos de parada.

Fijamos un número entero${\displaystyle m\in \{2,\dots ,n-1\}}$y construir dos carteras ponderadas por capitalización: una compuesta por los principales${\displaystyle m}$acciones, denotadas${\displaystyle \zeta }$y una que consta de la parte inferior${\displaystyle n-m}$acciones, denotadas${\displaystyle \eta }$. Más específicamente,

${\displaystyle \zeta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=1}^{m}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=1}^{m}\mu _{(l)}(t)}}\qquad {\text{ and }}\eta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=m+1}^{n}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=m+1}^{n}\mu _{(l)}(t)}}}$

para${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$Fernholz (1999), (2002) demostró que el rendimiento relativo de la cartera de acciones grandes con respecto al mercado se da como

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\zeta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(1)}(T)+\cdots +\mu _{(m)}(T)}{\mu _{(1)}(0)+\cdots +\mu _{(m)}(0)}}\right)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m)}(t)}{\mu _{(1)}(t)+\cdots +\mu _{(m)}(t)}}\,d\Lambda ^{(m,m+1)}(t).}$

De hecho, si no hay rotación en el puesto m durante el intervalo${\displaystyle [0,T]}$, las fortunas de${\displaystyle \zeta }$en relación con el mercado se determinan únicamente sobre la base de cómo la capitalización total de este subuniverso del${\displaystyle m}$mayores cotizaciones bursátiles, en ese momento${\displaystyle T}$versus tiempo 0; siempre que haya rotación en el${\displaystyle m}$-rango sin embargo,${\displaystyle \zeta }$Tiene que vender con pérdidas una acción que queda "relegada" a la liga inferior y comprar una acción que ha aumentado de valor y ha sido promocionada. Esto explica la "fuga" que se evidencia en el último término, una integral con respecto al proceso de rotación acumulativa.${\displaystyle \Lambda ^{(m,m+1)}}$del peso relativo en la cartera de grandes capitalizaciones${\displaystyle \zeta }$de las acciones que ocupan el puesto m.

Con la cartera, la situación es la inversa.${\displaystyle \eta }$de acciones pequeñas, que pueden vender con ganancias acciones que están siendo promovidas a la liga de "alta capitalización" y comprar acciones relativamente baratas que están siendo relegadas:

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(m+1)}(T)+\cdots +\mu _{(n)}(T)}{\mu _{(m+1)}(0)+\cdots +\mu _{(n)}(0)}}\right)+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m+1)}(t)}{\mu _{(m+1)}(t)+\cdots +\mu _{(n)}(t)}}.}$

De estas dos expresiones se desprende claramente que, en un mercado coherente y estocásticamente estable , la cartera ponderada por capitalización bursátil de pequeña capitalización${\displaystyle \zeta }$tenderá a superar en rendimiento a su contraparte de gran capitalización.${\displaystyle \eta }$, al menos en horizontes temporales amplios y; en particular, tenemos bajo esas condiciones

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\lambda ^{(m,m+1)}\mathbb {E} \left({\frac {M_{(1)}}{M_{(1)}+\cdots +M_{(m)}}}+{\frac {M_{(m+1)}}{M_{(m+1)}+\cdots +M_{(n)}}}\right)>0.}$

Esto cuantifica el llamado efecto tamaño . En Fernholz (1999, 2002), construcciones como estas se generalizan para incluir carteras generadas funcionalmente basadas en ponderaciones de mercado clasificadas.

Los modelos de primer y segundo orden son modelos híbridos de Atlas que reproducen parte de la estructura de los mercados bursátiles reales. Los modelos de primer orden solo tienen parámetros basados ​​en rangos, mientras que los de segundo orden tienen parámetros basados ​​tanto en rangos como en nombres.

Supongamos que${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$es un mercado coherente y que los límites

${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{k}^{2}=\lim _{t\to \infty }t^{-1}\langle \log \mu _{(k)}\rangle (t)}$

y

${\displaystyle \mathbf {g} _{k}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{r_{t}(i)=k\}}\,d\log \mu _{i}(t)}$

existen para${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, dónde${\displaystyle r_{t}(i)}$es el rango de${\displaystyle X_{i}(t)}$Luego, el modelo Atlas${\displaystyle {\widehat {X}}_{1},\ldots ,{\widehat {X}}_{n}}$definido por

${\displaystyle d\log {\widehat {X}}_{i}(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {g} _{k}\,\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dt+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {\sigma } _{k}\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dW_{i}(t),}$

dónde${\displaystyle {\hat {r}}_{t}(i)}$es el rango de${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}(t)}$y${\displaystyle (W_{1},\ldots ,W_{n})}$es un${\displaystyle n}$El proceso de movimiento browniano de -dimensiones es el modelo de primer orden para el mercado original,${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

En condiciones razonables, la curva de distribución de capital para un modelo de primer orden estará cerca de la del mercado original. Sin embargo, un modelo de primer orden es ergódico en el sentido de que cada acción gasta asintóticamente ${\displaystyle (1/n)}$-de su tiempo en cada rango, una propiedad que no está presente en los mercados reales. Para variar la proporción de tiempo que una acción pasa en cada rango, es necesario utilizar algún tipo de modelo Atlas híbrido con parámetros que dependan tanto del rango como del nombre. Fernholz, Ichiba y Karatzas (2013) hicieron un esfuerzo en esta dirección, al introducir un modelo de segundo orden para el mercado con parámetros de crecimiento basados ​​en el rango y el nombre, y parámetros de varianza que dependían únicamente del rango.

• Fernholz, ER (2002). Teoría de la cartera estocástica . Nueva York: Springer-Verlag.