Mecánica cuántica estocástica

La mecánica cuántica estocástica es un marco teórico para describir la dinámica de partículas sometidas a procesos aleatorios intrínsecos y a diversas fuerzas externas. Este marco proporciona una derivación de las ecuaciones de difusión asociadas a dichas partículas estocásticas. Es especialmente conocida por su derivación de la ecuación de Schrödinger como la ecuación de Kolmogorov para un tipo específico de difusión conservativa (o unitaria). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La derivación puede basarse en la extremización de una acción en combinación con una prescripción de cuantización . ^{[ 2 ]} Esta prescripción de cuantización puede compararse con la cuantización canónica y la formulación de la integral de trayectoria , y a menudo se la denomina cuantización estocástica de Nelson o estocasticidad. ^{[ 3 ]} Dado que la teoría permite una derivación de la ecuación de Schrödinger, ha dado lugar a la interpretación estocástica de la mecánica cuántica. Esta interpretación ha servido como principal motivación para el desarrollo de la teoría de la mecánica estocástica. ^{[ 1 ]}

En la década de 1930, tanto Erwin Schrödinger como Reinhold Furth reconocieron una similitud entre las ecuaciones de la difusión clásica y el formalismo de la teoría cuántica, pero la primera teoría estocástica relativamente coherente de la mecánica cuántica fue propuesta en 1946 por el físico húngaro Imre Fényes . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Louis de Broglie ^{[ 8 ]} se sintió obligado a incorporar un proceso estocástico subyacente a la mecánica cuántica para hacer que las partículas cambiaran de una onda piloto a otra. ^{[ 7 ]} La teoría de la mecánica cuántica estocástica se atribuye a Edward Nelson , quien descubrió independientemente una derivación de la ecuación de Schrödinger dentro de este marco. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta teoría también fue desarrollada por Davidson, Guerra , Ruggiero, Pavon y otros. ^{[ 7 ]}

La interpretación estocástica interpreta las trayectorias en la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica como las trayectorias de muestra de un proceso estocástico . ^{[ 9 ]} Postula que las partículas cuánticas se localizan en una de estas trayectorias, pero los observadores no pueden predecir con certeza dónde se localiza la partícula. La única forma de localizar la partícula es mediante una medición. Un observador solo puede predecir las probabilidades de los resultados de dicha medición basándose en sus mediciones anteriores y en su conocimiento sobre las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Esta interpretación es bien conocida en el contexto de la mecánica estadística [ ^{9 ]} y, ^en particular, del movimiento browniano . Por lo tanto, según la interpretación estocástica, la mecánica cuántica debería interpretarse de forma similar al movimiento browniano ^{[ 1 ]} . Sin embargo, en el caso del movimiento browniano, la existencia de una medida de probabilidad (denominada medida de Wiener ^{[ 10 ]} ) que define la integral de trayectoria estadística está bien establecida, y esta medida puede generarse mediante un proceso estocástico llamado proceso de Wiener ^{[ 11 ]} . Por otro lado, demostrar la existencia de una medida de probabilidad que defina la integral de trayectoria cuántica presenta dificultades ^{[ 12 ] [ 13 ]} , y no está garantizado que dicha medida de probabilidad pueda generarse mediante un proceso estocástico . La mecánica estocástica es el marco que se ocupa de la construcción de tales procesos estocásticos que generan una medida de probabilidad para la mecánica cuántica.

Para un movimiento browniano , se sabe que las fluctuaciones estadísticas de una partícula browniana suelen ser inducidas por la interacción de la partícula con un gran número de partículas microscópicas. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} En este caso, la descripción de un movimiento browniano en términos del proceso de Wiener se utiliza solo como una aproximación, que ignora la dinámica de las partículas individuales en el fondo. En cambio, describe la influencia de estas partículas de fondo por su comportamiento estadístico.

La interpretación estocástica de la mecánica cuántica es agnóstica respecto al origen de las fluctuaciones cuánticas de una partícula cuántica. Introduce las fluctuaciones cuánticas como resultado de una nueva ley estocástica de la naturaleza denominada hipótesis de fondo. ^{[ 2 ]} Esta hipótesis puede interpretarse como una implementación estricta de la afirmación de que «Dios juega a los dados», pero deja abierta la posibilidad de que este juego de dados sea reemplazado por una teoría de variables ocultas, como en la teoría del movimiento browniano. ^{[ 18 ]}

El resto de este artículo aborda la definición de dicho proceso y la derivación de las ecuaciones de difusión asociadas. Esto se realiza en un contexto general, considerando el movimiento browniano y la mecánica cuántica como casos límite, donde se obtienen, respectivamente, la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger . La derivación se basa en gran medida en herramientas de la mecánica lagrangiana y el cálculo estocástico .

Los postulados de la teoría se pueden resumir en una condición de cuantización estocástica que fue formulada por Nelson. ^{[ 2 ]} Para una teoría no relativista sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Esta condición establece: ^{[ 19 ]}

• La trayectoria de una partícula cuántica se describe mediante la proyección real de una semimartingala compleja :${\displaystyle X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]}$con${\displaystyle Z(t)=C(t)+M(t)}$, dónde${\displaystyle C(t)}$es un proceso de variación finita continua y${\displaystyle M(t)}$es una martingala compleja ,
• La trayectoria extremiza estocásticamente una acción.${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$,
• la martingala${\displaystyle M(t)}$es un proceso continuo con incrementos independientes y momentos finitos . Además, su variación cuadrática está fijada por la relación de estructura.${\displaystyle d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt}$dónde${\displaystyle m}$es la masa de la partícula,${\displaystyle \hbar }$la constante de Planck reducida ,${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C} }$es una constante adimensional, y${\displaystyle \delta ^{ij}}$es el delta de Kronecker , ^{[ 20 ]}
• El proceso invertido en el tiempo existe y está sujeto a las mismas leyes dinámicas.

Utilizando la descomposición${\displaystyle Z=X+{\rm {i}}\,Y}$y el hecho de que${\displaystyle C}$tiene variación finita, se encuentra que la variación cuadrática de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es dado por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt}$

Por lo tanto, según la caracterización de Lévy del movimiento browniano,${\displaystyle X(t)}$y${\displaystyle Y(t)}$describir dos procesos de Wiener correlacionados con una deriva descrita por el proceso de variación finita${\displaystyle C(t)}$, una constante de difusión que escala con${\displaystyle |\alpha |\in [0,\infty )}$y una correlación que depende del ángulo${\displaystyle \phi }$. Los procesos están máximamente correlacionados en el límite cuántico, asociados a${\displaystyle \phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}}$y correspondiente a${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }$, mientras que no están correlacionados en el límite browniano, asociados a${\displaystyle \phi \in \{0,\pi \}}$y correspondiente a${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$,

El término cuantización estocástica para describir este procedimiento de cuantización se introdujo en la década de 1970. ^{[ 21 ]} Actualmente, la cuantización estocástica se refiere más comúnmente a un marco desarrollado por Parisi y Wu en 1981. En consecuencia, el procedimiento de cuantización desarrollado en mecánica estocástica a veces también se denomina cuantización estocástica de Nelson o estocasticidad. ^{[ 3 ]}

El proceso estocástico${\displaystyle Z(t)}$es casi seguro que no es diferenciable en ningún punto, de modo que la velocidad${\displaystyle {\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}}$a lo largo del proceso no está bien definido. Sin embargo, existen campos de velocidad, definidos mediante expectativas condicionales. Estos vienen dados por

${\displaystyle w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$y puede asociarse a la integral de Itô a lo largo del proceso.${\displaystyle Z(t)}$Dado que el proceso no es diferenciable, estas velocidades, en general, no son iguales entre sí. La interpretación física de este hecho es la siguiente: en cualquier momento${\displaystyle t}$La partícula está sometida a una fuerza aleatoria que cambia instantáneamente su velocidad.${\displaystyle w_{-}}$a${\displaystyle w_{+}}$Como los dos campos de velocidad no son iguales, no existe una noción única de velocidad para el proceso.${\displaystyle Z(t)}$. De hecho, cualquier velocidad dada por

${\displaystyle w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}}$

con${\displaystyle a\in [0,1]}$representa una opción válida para la velocidad del proceso${\displaystyle Z(t)}$Esto es particularmente cierto para el caso especial.${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$denotado por${\displaystyle w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}}$, que puede asociarse a la integral de Stratonovich a lo largo de${\displaystyle Z(t)}$.

Desde${\displaystyle Z(t)}$tiene una variación cuadrática no nula , se pueden definir adicionalmente campos de velocidad de segundo orden dados por

${\displaystyle w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].}$

El postulado de reversibilidad temporal impone una relación entre estos dos campos tal que${\displaystyle w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}}$Además, utilizando la relación de estructura mediante la cual se fija la variación cuadrática, se encuentra que${\displaystyle w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$De ello se deduce que en la formulación de Stratonovich la parte de segundo orden de la velocidad se anula, es decir${\displaystyle w_{2,\circ }=0}$.

La parte real e imaginaria de las velocidades se denotan por

${\displaystyle v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.}$

Utilizando la existencia de estos campos de velocidad, se pueden definir formalmente los procesos de velocidad.${\displaystyle W_{\pm }(t)}$por la integral de Itô${\displaystyle \int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)}$De manera similar, se puede definir formalmente un proceso.${\displaystyle W_{\circ }(t)}$mediante la integral de Stratonovich${\displaystyle \int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)}$y un proceso de velocidad de segundo orden${\displaystyle W_{2}(t)}$por la integral de Stieltjes${\displaystyle \int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)}$. Utilizando la relación de estructura, se encuentra que el proceso de velocidad de segundo orden viene dado por${\displaystyle W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}}$Sin embargo, los procesos${\displaystyle W_{\pm }(t)}$y${\displaystyle W_{\circ }(t)}$no están bien definidos: los primeros momentos existen y están dados por${\displaystyle \mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)}$, pero los momentos cuadráticos divergen, es decir${\displaystyle \mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty }$La interpretación física de esta divergencia es que, en la representación de la posición, esta se conoce con precisión, pero la velocidad tiene una incertidumbre infinita.

La condición de cuantización estocástica establece que la trayectoria estocástica debe extremizar una acción estocástica.${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$pero no especifica el lagrangiano estocástico${\displaystyle L}$Este lagrangiano se puede obtener a partir de un lagrangiano clásico utilizando un procedimiento estándar. Aquí, consideramos un lagrangiano clásico de la forma

${\displaystyle L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).}$

Aquí,${\displaystyle (x,v)}$son coordenadas en el espacio de fase (el fibrado tangente ),${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker que describe la métrica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle m}$denota la masa de la partícula,${\displaystyle q}$la carga bajo el potencial vectorial${\displaystyle A}$, y${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$es un potencial escalar. Además, se asume la convención de suma de Einstein .

Una propiedad importante de este lagrangiano es el principio de invariancia de gauge . Esto se puede hacer explícito definiendo una nueva acción.${\displaystyle {\tilde {S}}}$mediante la adición de un término derivado total a la acción original, de tal manera que

${\displaystyle {\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,}$

dónde${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F}$y${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F}$Por lo tanto, dado que la dinámica no debería verse afectada por la adición de una derivada total a la acción, la acción es invariante de gauge bajo la redefinición anterior de los potenciales para una función diferenciable arbitraria.${\displaystyle F}$.

Para construir un lagrangiano estocástico correspondiente a este lagrangiano clásico, se debe buscar una extensión mínima del lagrangiano anterior que respete esta invariancia de gauge. ^{[ 22 ]} En la formulación de Stratonovich de la teoría, esto se puede hacer directamente, ya que el operador diferencial en la formulación de Stratonovich viene dado por

${\displaystyle \int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Por lo tanto, el lagrangiano de Stratonovich se puede obtener reemplazando la velocidad clásica.${\displaystyle v}$por la velocidad compleja${\displaystyle w_{\circ }}$, de tal manera que

${\displaystyle L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.}$

En la formulación de Itô, las cosas son más complicadas, ya que la derivada total viene dada por el lema de Itô :${\displaystyle \int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

Debido a la presencia del término de derivada de segundo orden, se rompe la invariancia de gauge. Sin embargo, esto se puede restaurar añadiendo una derivada del potencial vectorial al lagrangiano. Por lo tanto, el lagrangiano estocástico viene dado por un lagrangiano de la forma

${\displaystyle L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.}$

La acción estocástica se puede definir utilizando el lagrangiano de Stratonovich, que es igual a la acción definida por el lagrangiano de Itô salvo un término divergente: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.}$

El término divergente se puede calcular y viene dado por

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

dónde${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$son números de vuelta que cuentan las vueltas del camino${\displaystyle \gamma (t)}$alrededor del poste en${\displaystyle t=0}$. ^{[ 23 ]}

Dado que el término divergente es constante, no contribuye a las ecuaciones de movimiento. Por esta razón, este término se descartó en los primeros trabajos sobre mecánica estocástica. ^{[ 2 ]} Sin embargo, al descartar este término, la mecánica estocástica no puede explicar la aparición de espectros discretos en la mecánica cuántica. Este problema se conoce como la crítica de Wallstrom, ^{[ 24 ] [ 25 ]} y puede resolverse teniendo en cuenta adecuadamente el término divergente.

También existe una formulación hamiltoniana de la mecánica estocástica. ^{[ 22 ] [ 26 ]} Parte de la definición de momentos canónicos:

${\displaystyle p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,}$

${\displaystyle p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.}$

El hamiltoniano en la formulación de Stratonovich se puede obtener mediante la transformada de Legendre de primer orden :

${\displaystyle H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.}$

En la formulación de Itô, por otro lado, el hamiltoniano se obtiene a través de una transformación de Legendre de segundo orden: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.}$

La acción estocástica puede ser extremada, lo que conduce a una versión estocástica de las ecuaciones de Euler-Lagrange . En la formulación de Stratonovich, estas vienen dadas por

${\displaystyle \int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Para el lagrangiano, analizado en la sección anterior, esto conduce a la siguiente ecuación diferencial estocástica de segundo orden en el sentido de Stratonovich :

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,}$

donde la intensidad del campo viene dada por${\displaystyle F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$Esta ecuación sirve como una versión estocástica de la segunda ley de Newton .

En la formulación de Itô, las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange vienen dadas por

${\displaystyle \int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

Esto conduce a una ecuación diferencial estocástica de segundo orden en el sentido de Itô , dada por una versión estocástica de la segunda ley de Newton en la forma

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.}$

Las ecuaciones de movimiento también se pueden obtener en una generalización estocástica de la formulación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica. En este caso, se comienza definiendo la función principal de Hamilton. Para el lagrangiano${\displaystyle L_{+}}$, esta función se define como

${\displaystyle S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],}$

donde se supone que el proceso${\displaystyle \{X(s):s\in [t,t_{f}]\}}$obedece a las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange. De manera similar, para el Lagrangiano${\displaystyle L_{-}}$La función principal de Hamilton se define como

${\displaystyle S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],}$

donde se supone que el proceso${\displaystyle \{X(s):s\in [t_{0},t]\}}$obedece a las ecuaciones estocásticas de Euler-Lagrange. Debido a la parte divergente de la acción, estas funciones principales están sujetas a la relación de equivalencia.

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Variando las funciones principales con respecto al punto${\displaystyle (x,t)}$Se encuentran las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Estas vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}}$

Nótese que estas ecuaciones tienen el mismo aspecto que en el caso clásico. Sin embargo, el hamiltoniano, en la segunda ecuación de Hamilton-Jacobi, se obtiene ahora mediante una transformada de Legendre de segundo orden. Además, debido a la parte divergente de la acción, existe una tercera ecuación de Hamilton-Jacobi, que adopta la forma de la restricción integral no trivial.

${\displaystyle \oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

Para el lagrangiano dado, las dos primeras ecuaciones de Hamilton-Jacobi dan como resultado:

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}}$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar, dando como resultado:

${\displaystyle \left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.}$

Usando eso${\displaystyle w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$, esta ecuación, sujeta a la condición integral y a la condición inicial${\displaystyle w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)}$o condición terminal${\displaystyle w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)}$, se puede resolver para${\displaystyle w_{\pm }(x,t)}$La solución se puede entonces sustituir en la ecuación de Itô.

${\displaystyle {\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}}$

que se puede resolver para el proceso${\displaystyle \{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$. Por lo tanto, cuando una condición inicial${\displaystyle X(t_{0})=x_{0}}$(para la ecuación dirigida futura etiquetada con${\displaystyle +}$) o condición terminal${\displaystyle X(t_{f})=x_{f}}$(para la ecuación dirigida pasada etiquetada con${\displaystyle -}$) se especifica, se encuentra un proceso estocástico único${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$que describe la trayectoria de la partícula.

El resultado clave de la mecánica estocástica de Nelson es que deriva la ecuación de Schrödinger a partir del proceso estocástico postulado. En esta derivación, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}}$

se combinan, de tal manera que se obtiene la ecuación

${\displaystyle 2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.}$

Posteriormente, se define la función de onda.

${\displaystyle \Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).}$

Dado que las funciones principales de Hamilton son multivaluadas, se encuentra que las funciones de onda están sujetas a las relaciones de equivalencia.

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.}$

Además, las funciones de onda están sujetas a las complejas ecuaciones de difusión.

${\displaystyle -\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,}$

${\displaystyle \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.}$

Así, para cualquier proceso que resuelva los postulados de la mecánica estocástica, se puede construir una función de onda que obedezca estas ecuaciones de difusión. Debido a las relaciones de equivalencia en la función principal de Hamilton, la afirmación opuesta también es cierta: para cualquier solución de estas ecuaciones de difusión complejas, se puede construir un proceso estocástico.${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$Esa es una solución a los postulados de la mecánica estocástica. Un resultado similar ha sido establecido por el teorema de Feynman-Kac .

Finalmente, se puede construir una densidad de probabilidad

${\displaystyle \rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,}$

que describe las probabilidades de transición para el proceso${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$. Más precisamente,${\displaystyle \rho _{+}}$describe la probabilidad de estar en el estado${\displaystyle (x,t)}$dado que el sistema termina en el estado${\displaystyle (x_{f},t_{f})}$Por lo tanto, la ecuación de difusión para${\displaystyle \Psi _{+}}$puede interpretarse como la ecuación inversa de Kolmogorov del proceso${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$. Similarmente, ${\displaystyle \rho _{-}}$describe la probabilidad de estar en el estado${\displaystyle (x,t)}$dado que el sistema termina en el estado${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$, cuando evoluciona hacia atrás en el tiempo. Por lo tanto, la ecuación de difusión para${\displaystyle \Psi _{-}}$puede interpretarse como la ecuación inversa de Kolmogorov del proceso${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$cuando evoluciona hacia el pasado. Al invertir la dirección del tiempo, se encuentra que${\displaystyle \rho _{-}}$describe la probabilidad de estar en el estado${\displaystyle (x,t)}$dado que el sistema comienza en el estado${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$, cuando evoluciona hacia adelante en el tiempo. Por lo tanto, la ecuación de difusión para${\displaystyle \Psi _{-}}$También puede interpretarse como la ecuación directa de Kolmogorov del proceso.${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$cuando evoluciona hacia el futuro.