Teoría de De Broglie-Bohm

El experimento de la doble rendija ilustra la dualidad onda-partícula . En él, un haz de partículas (como electrones) atraviesa una barrera con dos rendijas. Si se coloca una pantalla detectora al otro lado de la barrera, el patrón de partículas detectadas muestra franjas de interferencia características de ondas que llegan a la pantalla desde dos fuentes (las dos rendijas); sin embargo, el patrón de interferencia está formado por puntos individuales que corresponden a partículas que han llegado a la pantalla. El sistema parece exhibir el comportamiento tanto de ondas (patrones de interferencia) como de partículas (puntos en la pantalla).

Si se modifica este experimento cerrando una de las rendijas, no se observa ningún patrón de interferencia. Por lo tanto, el estado de ambas rendijas afecta los resultados finales. También se puede disponer un detector mínimamente invasivo en una de las rendijas para detectar por cuál pasó la partícula. Al hacerlo, el patrón de interferencia desaparece. ^{[ 5 ]}

En la teoría de De Broglie-Bohm, la función de onda se define en ambas rendijas, pero cada partícula tiene una trayectoria bien definida que pasa por exactamente una de ellas. La posición final de la partícula en la pantalla del detector y la rendija por la que pasa están determinadas por su posición inicial. Dicha posición inicial es desconocida e incontrolable para el experimentador, por lo que se observa una aparente aleatoriedad en el patrón de detección. En sus trabajos de 1952, Bohm utilizó la función de onda para construir un potencial cuántico que, al incorporarse a las ecuaciones de Newton, proporcionaba las trayectorias de las partículas que se desplazaban a través de las dos rendijas. En efecto, la función de onda interfiere consigo misma y guía las partículas mediante el potencial cuántico, de manera que estas evitan las regiones donde la interferencia es destructiva y son atraídas hacia las regiones donde es constructiva, lo que da como resultado el patrón de interferencia en la pantalla del detector.

Para explicar el comportamiento cuando se detecta que la partícula atraviesa una rendija, es necesario comprender el papel de la función de onda condicional y cómo esta provoca el colapso de la función de onda; esto se explica más adelante. La idea básica es que el entorno que registra la detección separa efectivamente los dos paquetes de ondas en el espacio de configuración.

La teoría de De Broglie-Bohm describe una onda piloto.${\displaystyle \psi (q,t)\in \mathbb {C} }$en un espacio de configuración${\displaystyle Q}$y trayectorias${\displaystyle q(t)\in Q}$de partículas como en la mecánica clásica pero definidas por la mecánica no newtoniana. ^{[ 6 ]} En cada instante de tiempo existe no solo una función de onda, sino también una configuración bien definida de todo el universo (es decir, el sistema tal como lo definen las condiciones de contorno utilizadas para resolver la ecuación de Schrödinger).

La teoría de De Broglie-Bohm trabaja con posiciones y trayectorias de partículas como la mecánica clásica, pero la dinámica es diferente. En la mecánica clásica, las aceleraciones de las partículas son impartidas directamente por fuerzas que existen en el espacio físico tridimensional. En la teoría de De Broglie-Bohm, el campo cuántico "ejerce un nuevo tipo de fuerza "cuántico-mecánica"". ^{[ 7 ] : 76} Bohm hipotetizó que cada partícula tiene una "estructura interna compleja y sutil" que le proporciona la capacidad de reaccionar a la información proporcionada por la función de onda mediante el potencial cuántico. ^{[ 8 ]} Además, a diferencia de la mecánica clásica, las propiedades físicas (por ejemplo, masa, carga) se distribuyen a lo largo de la función de onda en la teoría de De Broglie-Bohm, no se localizan en la posición de la partícula. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La función de onda en sí misma, y ​​no las partículas, determina la evolución dinámica del sistema: las partículas no actúan sobre la función de onda. Como lo expresaron Bohm y Hiley, «la ecuación de Schrödinger para el campo cuántico no tiene fuentes, ni ninguna otra forma por la cual el campo pueda verse afectado directamente por la condición de las partículas [...] la teoría cuántica puede entenderse completamente en términos de la suposición de que el campo cuántico no tiene fuentes ni otras formas de dependencia de las partículas». ^{[ 11 ]} P. Holland considera que esta falta de acción recíproca de partículas y función de onda es una «entre las muchas propiedades no clásicas que exhibe esta teoría». ^{[ 12 ]} Holland más tarde la denominó una mera falta aparente de reacción inversa, debido a la incompletitud de la descripción. ^{[ 13 ]}

En lo que sigue a continuación, la configuración para una partícula que se mueve en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Se da a continuación la configuración para N partículas que se mueven en 3 dimensiones. En el primer caso, el espacio de configuración y el espacio real son iguales, mientras que en el segundo, el espacio real sigue siendo${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$pero el espacio de configuración se convierte en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$Si bien las posiciones de las partículas se encuentran en el espacio real, el campo de velocidad y la función de onda están en el espacio de configuración, que es como las partículas se entrelazan entre sí en esta teoría.

Las extensiones de esta teoría incluyen el espín y espacios de configuración más complejos.

Utilizamos variaciones de${\displaystyle \mathbf {Q} }$para las posiciones de las partículas, mientras que${\displaystyle \psi }$representa la función de onda de valor complejo en el espacio de configuración.

Para una partícula única sin espín que se mueve en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la velocidad de la partícula es

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).}$

Para muchas partículas etiquetadas${\displaystyle \mathbf {Q} _ {k}}$para el${\displaystyle k}$-ésima partícula sus velocidades son

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).}$

El hecho principal a tener en cuenta es que este campo de velocidad depende de las posiciones reales de todos los${\displaystyle N}$partículas en el universo. Como se explica a continuación, en la mayoría de las situaciones experimentales, la influencia de todas esas partículas puede encapsularse en una función de onda efectiva para un subsistema del universo.

La ecuación de Schrödinger de una partícula rige la evolución temporal de una función de onda de valor complejo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$La ecuación representa una versión cuantizada de la energía total de un sistema clásico que evoluciona bajo una función potencial de valor real.${\displaystyle V}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .}$

Para muchas partículas, la ecuación es la misma excepto que${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle V}$ahora están en el espacio de configuración,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi .}$

Esta es la misma función de onda que en la mecánica cuántica convencional.

En los trabajos originales de Bohm, ^{[ 14 ]} discute cómo la teoría de De Broglie-Bohm da como resultado los resultados de medición habituales de la mecánica cuántica. La idea principal es que esto es cierto si las posiciones de las partículas satisfacen la distribución estadística dada por${\displaystyle |\psi |^{2}}$. Y esa distribución está garantizada para ser verdadera en todo momento por la ecuación rectora si la distribución inicial de las partículas satisface${\displaystyle |\psi |^{2}}$.

Para un experimento dado, se puede postular que esto es cierto y verificarlo experimentalmente. Pero, como argumentan Dürr et al., ^{[ 15 ]} es necesario argumentar que esta distribución para subsistemas es típica. Los autores argumentan que${\displaystyle |\psi |^{2}}$, en virtud de su equivariancia bajo la evolución dinámica del sistema, es la medida apropiada de tipicidad para las condiciones iniciales de las posiciones de las partículas. Los autores luego demuestran que la gran mayoría de las posibles configuraciones iniciales darán lugar a estadísticas que obedecen la regla de Born (es decir,${\displaystyle |\psi |^{2}}$) para los resultados de la medición. En resumen, en un universo regido por la dinámica de De Broglie-Bohm, el comportamiento de la regla de Born es típico.

La situación es, por lo tanto, análoga a la de la física estadística clásica. Una condición inicial de baja entropía evolucionará, con una probabilidad abrumadoramente alta, hacia un estado de mayor entropía: el comportamiento típico es consistente con la segunda ley de la termodinámica . Existen condiciones iniciales anómalas que darían lugar a violaciones de la segunda ley; sin embargo, en ausencia de evidencia muy detallada que respalde la realización de una de esas condiciones, sería bastante irrazonable esperar algo distinto al aumento uniforme de entropía observado. De manera similar, en la teoría de De Broglie-Bohm, existen condiciones iniciales anómalas que producirían estadísticas de medición que violan la regla de Born (contradiciendo las predicciones de la teoría cuántica estándar), pero el teorema de tipicidad muestra que, a falta de una razón específica para creer que una de esas condiciones iniciales especiales se realizó realmente, el comportamiento de la regla de Born es lo que cabe esperar.

Es en este sentido cualificado que la regla de Born es, para la teoría de De Broglie-Bohm, un teorema en lugar de (como en la teoría cuántica ordinaria) un postulado adicional .

También se puede demostrar que una distribución de partículas que no se distribuye según la regla de Born (es decir, una distribución "fuera del equilibrio cuántico") y que evoluciona bajo la dinámica de De Broglie-Bohm tiene una probabilidad abrumadoramente alta de evolucionar dinámicamente hacia un estado distribuido como${\displaystyle |\psi |^{2}}$. ^{[ 16 ]}

En la formulación de la teoría de De Broglie-Bohm, solo existe una función de onda para todo el universo (que siempre evoluciona según la ecuación de Schrödinger). Aquí, el "universo" es simplemente el sistema limitado por las mismas condiciones de contorno utilizadas para resolver la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, una vez formulada la teoría, es conveniente introducir una noción de función de onda también para los subsistemas del universo. Escribamos la función de onda del universo como${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})}$, dónde${\displaystyle q^{\text{I}}}$denota las variables de configuración asociadas a algún subsistema (I) del universo, y${\displaystyle q^{\text{II}}}$denota las variables de configuración restantes. Denotemos respectivamente por${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$y${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$la configuración real del subsistema (I) y del resto del universo. Para simplificar, aquí solo consideramos el caso sin espín. La función de onda condicional del subsistema (I) se define por

${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).}$

Se deduce inmediatamente del hecho de que${\displaystyle Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))}$satisface la ecuación guía que también la configuración${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$satisface una ecuación rectora idéntica a la presentada en la formulación de la teoría, con la función de onda universal${\displaystyle \psi }$reemplazado por la función de onda condicional${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$. Además, el hecho de que${\displaystyle Q(t)}$es aleatorio con densidad de probabilidad dada por el módulo cuadrado de${\displaystyle \psi (t,\cdot )}$implica que la densidad de probabilidad condicional de${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$dado${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$viene dado por el módulo al cuadrado de la función de onda condicional (normalizada)${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,\cdot )}$(en la terminología de Dürr et al. ^{[ 17 ]} este hecho se denomina fórmula fundamental de probabilidad condicional ).

A diferencia de la función de onda universal, la función de onda condicional de un subsistema no siempre evoluciona según la ecuación de Schrödinger, pero en muchas situaciones sí lo hace. Por ejemplo, si la función de onda universal se factoriza como

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),}$

entonces la función de onda condicional del subsistema (I) es (salvo un factor escalar irrelevante) igual a${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$(esto es lo que la teoría cuántica estándar consideraría como la función de onda del subsistema (I)). Si, además, el hamiltoniano no contiene un término de interacción entre los subsistemas (I) y (II), entonces${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$satisface una ecuación de Schrödinger. De forma más general, supongamos que la función de onda universal${\displaystyle \psi }$puede escribirse en la forma

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),}$

dónde${\displaystyle \phi }$resuelve la ecuación de Schrödinger y,${\displaystyle \phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0}$a pesar de${\displaystyle t}$y${\displaystyle q^{\text{I}}}$. Entonces, nuevamente, la función de onda condicional del subsistema (I) es (salvo un factor escalar irrelevante) igual a${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$y si el hamiltoniano no contiene un término de interacción entre los subsistemas (I) y (II), entonces${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$Satisface una ecuación de Schrödinger.

El hecho de que la función de onda condicional de un subsistema no siempre evolucione según la ecuación de Schrödinger está relacionado con el hecho de que la regla de colapso habitual de la teoría cuántica estándar surge del formalismo de Bohm cuando se consideran las funciones de onda condicionales de los subsistemas.

La teoría de la onda piloto es explícitamente no local, lo que entra en aparente conflicto con la relatividad especial . Existen diversas extensiones de la mecánica "tipo Bohm" que intentan resolver este problema. El propio Bohm presentó en 1953 una extensión de la teoría que satisface la ecuación de Dirac para una sola partícula. Sin embargo, esta no era extensible al caso de muchas partículas porque utilizaba un tiempo absoluto. ^{[ 18 ]}

En la década de 1990 surgió un renovado interés por construir extensiones invariantes de Lorentz de la teoría de Bohm; véase Bohm y Hiley: El Universo Indiviso ^{[ 19 ] [ 20 ]} y las referencias allí citadas. Otro enfoque lo presentan Dürr et al. ^{[ 21 ]} , quienes utilizan modelos de Bohm-Dirac y una foliación del espacio-tiempo invariante de Lorentz.

Así, Dürr et al. (1999) demostraron que es posible restaurar formalmente la invariancia de Lorentz para la teoría de Bohm-Dirac mediante la introducción de una estructura adicional. Este enfoque aún requiere una foliación del espacio-tiempo. Si bien esto entra en conflicto con la interpretación estándar de la relatividad, la foliación preferida, aunque no observable, no genera conflictos empíricos con la relatividad. En 2013, Dürr et al. sugirieron que la foliación requerida podría estar determinada covariantemente por la función de onda. ^{[ 22 ]}

La relación entre no localidad y foliación preferida se puede comprender mejor de la siguiente manera. En la teoría de De Broglie-Bohm, la no localidad se manifiesta como el hecho de que la velocidad y la aceleración de una partícula dependen de las posiciones instantáneas de todas las demás partículas. Por otro lado, en la teoría de la relatividad, el concepto de instantaneidad no tiene un significado invariante. Por lo tanto, para definir las trayectorias de las partículas, se necesita una regla adicional que defina qué puntos del espacio-tiempo deben considerarse instantáneos. La forma más sencilla de lograr esto es introducir manualmente una foliación preferida del espacio-tiempo, de modo que cada hipersuperficie de la foliación defina una hipersuperficie de igual tiempo.

Inicialmente, se había considerado imposible establecer una descripción de las trayectorias de los fotones en la teoría de De Broglie-Bohm en vista de las dificultades de describir los bosones relativísticamente. ^{[ 23 ]} En 1996, Partha Ghose presentó una descripción cuántico-mecánica relativista de los bosones de espín 0 y espín 1 a partir de la ecuación de Duffin-Kemmer-Petiau , estableciendo trayectorias bohmianas para bosones masivos y para bosones sin masa (y por lo tanto fotones ). ^{[ 23 ]} En 2001, Jean-Pierre Vigier enfatizó la importancia de derivar una descripción bien definida de la luz en términos de trayectorias de partículas en el marco de la mecánica bohmiana o la mecánica estocástica de Nelson. ^{[ 24 ]} Ese mismo año, Ghose desarrolló trayectorias de fotones bohmianas para casos específicos. ^{[ 25 ]} Experimentos posteriores de medición débil arrojaron trayectorias que coinciden con las trayectorias predichas. ^{[ 26 ] [ 27 ]} La importancia de estos hallazgos experimentales es controvertida. ^{[ 28 ]}

Chris Dewdney y G. Horton han propuesto una formulación funcional de onda covariante relativista de la teoría cuántica de campos de Bohm ^{[ 29 ] [ 30 ]} y la han extendido a una forma que permite la inclusión de la gravedad. ^{[ 31 ]}

Roderick I. Sutherland, de la Universidad de Sídney, ha desarrollado un formalismo lagrangiano para la onda piloto y sus beables . Este formalismo se basa en las mediciones débiles retrocausales de Yakir Aharonov para explicar el entrelazamiento de muchas partículas de forma relativista especial, sin necesidad de un espacio de configuración. La idea básica ya fue publicada por Olivier Costa de Beauregard en la década de 1950 y también es utilizada por John Cramer en su interpretación transaccional, a excepción de los beables que existen entre las mediciones del operador de proyección fuerte de von Neumann. El lagrangiano de Sutherland incluye una interacción bidireccional de acción-reacción entre la onda piloto y los beables. Por lo tanto, se trata de una teoría postcuántica no estadística con condiciones de contorno finales que violan los teoremas de no señal de la teoría cuántica. Así como la relatividad especial es un caso límite de la relatividad general cuando la curvatura del espaciotiempo se anula, también la teoría cuántica de señalización sin entrelazamiento estadístico con la regla de Born es un caso límite del lagrangiano de acción-reacción postcuántico cuando la reacción se establece en cero y la condición de contorno final se integra. ^{[ 32 ]}

Para incorporar el espín , la función de onda se convierte en un vector complejo. El espacio de valores se llama espacio de espín; para una partícula de espín 1/2 , el espacio de espín puede tomarse como${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$La ecuación guía se modifica tomando productos internos en el espacio de espín para reducir los vectores complejos a números complejos. La ecuación de Schrödinger se modifica añadiendo un término de espín de Pauli :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle m_{k},e_{k},\mu _{k}}$— la masa, la carga y el momento magnético del${\displaystyle k}$partícula -ésima
• ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$— el operador de giro apropiado que actúa en el${\displaystyle k}$–espacio de espín de la partícula -
• ${\displaystyle s_{k}}$— número cuántico de espín del${\displaystyle k}$–partícula (${\displaystyle s_{k}=1/2}$para el electrón)
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es potencial vectorial en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$es el campo magnético en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})}$es la derivada covariante, que involucra el potencial vectorial, atribuido a las coordenadas de${\displaystyle k}$–-ésima partícula (en unidades del SI )
• ${\displaystyle \psi }$— la función de onda definida en el espacio de configuración multidimensional; por ejemplo, un sistema que consta de dos partículas de espín 1/2 y una partícula de espín 1 tiene una función de onda de la forma$${\displaystyle \psi$$ :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},} donde${\displaystyle \otimes }$es un producto tensorial , por lo que este espacio de espín es de 12 dimensiones.
• ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el producto interno en el espacio de espín${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$:$${\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}$$

En Dürr et al., ^{[ 33 ] [ 34 ]} los autores describen una extensión de la teoría de De Broglie-Bohm para manejar operadores de creación y aniquilación , a la que se refieren como "teorías cuánticas de campos de tipo Bell". La idea básica es que el espacio de configuración se convierte en el espacio (disjunto) de todas las configuraciones posibles de cualquier número de partículas. Durante parte del tiempo, el sistema evoluciona de forma determinista bajo la ecuación guía con un número fijo de partículas. Pero bajo un proceso estocástico , las partículas pueden crearse y aniquilarse. La distribución de los eventos de creación está dictada por la función de onda. La función de onda misma evoluciona en todo momento sobre todo el espacio de configuración de múltiples partículas.

Hrvoje Nikolić ^{[ 35 ]} introduce una teoría determinista de De Broglie-Bohm sobre la creación y destrucción de partículas, según la cual las trayectorias de las partículas son continuas, pero los detectores de partículas se comportan como si las partículas se hubieran creado o destruido incluso cuando no se produce una verdadera creación o destrucción de partículas.

Para extender la teoría de De Broglie-Bohm al espacio curvo ( variedades riemannianas en lenguaje matemático), basta con observar que todos los elementos de estas ecuaciones tienen sentido, como los gradientes y los laplacianos . Por lo tanto, utilizamos ecuaciones con la misma forma que las anteriores. Se pueden aplicar condiciones topológicas y de contorno para complementar la evolución de la ecuación de Schrödinger.

Para una teoría de De Broglie-Bohm en un espacio curvo con espín, el espacio de espín se convierte en un fibrado vectorial sobre el espacio de configuración, y el potencial en la ecuación de Schrödinger se convierte en un operador autoadjunto local que actúa sobre ese espacio. ^{[ 36 ]} Las ecuaciones de campo para la teoría de De Broglie-Bohm en el caso relativista con espín también se pueden dar para espaciotiempos curvos con torsión. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

En un espaciotiempo general con curvatura y torsión, la ecuación rectora para la cuadrivelocidad${\displaystyle u^{i}}$de una partícula fermiónica elemental es$${\displaystyle u^{i}={\frac {e_{\mu }^{i}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }{{\bar {\psi }}\psi }},}$$donde la función de onda${\displaystyle \psi }$es un espinor ,${\displaystyle {\bar {\psi }}}$es el adjunto correspondiente ,${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son las matrices de Dirac y${\displaystyle e_{\mu }^{i}}$es una tétrada . ^{[ 39 ]} Si la función de onda se propaga según la ecuación de Dirac curva , entonces la partícula se mueve según las ecuaciones de movimiento de Mathisson-Papapetrou , que son una extensión de la ecuación geodésica . Esta dualidad onda-partícula relativista se deriva de las leyes de conservación para el tensor de espín y el tensor energía-momento , ^{[ 39 ]} y también de la ecuación de movimiento de la imagen de Heisenberg covariante . ^{[ 40 ]}

La interpretación causal de la mecánica cuántica de De Broglie y Bohm fue posteriormente extendida por Bohm, Vigier, Hiley, Valentini y otros para incluir propiedades estocásticas. Bohm y otros físicos, incluido Valentini, consideran que la regla de Born vincula${\displaystyle R}$a la función de densidad de probabilidad${\displaystyle \rho =R^{2}}$como representativo no de una ley fundamental, sino como resultado de que un sistema haya alcanzado el equilibrio cuántico durante el transcurso del desarrollo temporal bajo la ecuación de Schrödinger . Se puede demostrar que, una vez alcanzado el equilibrio, el sistema permanece en dicho equilibrio durante el transcurso de su evolución posterior: esto se deduce de la ecuación de continuidad asociada con la evolución de Schrödinger de${\displaystyle \psi }$. ^{[ 42 ]} Es menos sencillo demostrar si se alcanza tal equilibrio y cómo se alcanza en primer lugar.

Antony Valentini ^{[ 43 ]} ha extendido la teoría de De Broglie-Bohm para incluir la no localidad de la señal, lo que permitiría utilizar el entrelazamiento como un canal de comunicación independiente sin una señal clásica secundaria de "clave" para "desbloquear" el mensaje codificado en él. Esto contradice la teoría cuántica ortodoxa, pero tiene la ventaja de hacer observables, en principio, los universos paralelos de la teoría de la inflación caótica .

A diferencia de la teoría de De Broglie-Bohm, en la teoría de Valentini la evolución de la función de onda también depende de las variables ontológicas. Esto introduce una inestabilidad, un bucle de retroalimentación que expulsa a las variables ocultas de la "muerte térmica subcuántica". La teoría resultante se vuelve no lineal y no unitaria. Valentini argumenta que las leyes de la mecánica cuántica son emergentes y forman un "equilibrio cuántico" análogo al equilibrio térmico en la dinámica clásica, de modo que, en principio, se pueden observar y explotar otras distribuciones de " no equilibrio cuántico ", para las cuales se violan las predicciones estadísticas de la teoría cuántica. Se argumenta, de forma controvertida, que la teoría cuántica es simplemente un caso especial de una física no lineal mucho más amplia, una física en la que es posible la señalización no local ( superlumínica ) y en la que se puede violar el principio de incertidumbre. ^{[ 44 ] [ 45 ]}

Han aparecido variantes más complejas de este tipo de enfoque, por ejemplo la hipótesis de las tres ondas ^{[ 46 ] [ 47 ]} de Ryszard Horodecki , así como otras combinaciones complejas de ondas de De Broglie y Compton. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]} Hasta la fecha no hay evidencia de que sean útiles.

Según la teoría cuántica convencional, no es posible medir directamente el espín o la polarización de una partícula; en su lugar, se mide la componente en una dirección. El resultado de una sola partícula puede ser 1, lo que significa que la partícula está alineada con el aparato de medición, o -1, lo que significa que está alineada en la dirección opuesta. Un conjunto de partículas preparadas mediante un polarizador para estar en el estado 1 se medirá polarizado en el estado 1 en un aparato posterior. Un conjunto polarizado que pasa a través de un polarizador colocado en ángulo con respecto al primer paso dará como resultado algunos valores de 1 y otros de -1 con una probabilidad que depende de la alineación relativa. Para una explicación completa de esto, consulte el experimento de Stern-Gerlach .

En la teoría de De Broglie-Bohm, los resultados de un experimento de espín no pueden analizarse sin cierto conocimiento de la configuración experimental. Es posible ^{[ 52 ]} modificar la configuración de modo que la trayectoria de la partícula no se vea afectada, pero que la partícula con una configuración se registre como espín hacia arriba, mientras que en la otra se registre como espín hacia abajo. Por lo tanto, para la teoría de De Broglie-Bohm, el espín de la partícula no es una propiedad intrínseca de la partícula; en cambio, el espín está, por así decirlo, en la función de onda de la partícula en relación con el dispositivo particular que se utiliza para medir el espín. Esto es una ilustración de lo que a veces se denomina contextualidad y está relacionado con el realismo ingenuo sobre los operadores. ^{[ 53 ]} Interpretativamente, los resultados de la medición son una propiedad determinista del sistema y su entorno, que incluye información sobre la configuración experimental, incluido el contexto de las observables medidas simultáneamente; en ningún sentido el sistema en sí mismo posee la propiedad que se está midiendo, como habría sido el caso en la física clásica.

La teoría de De Broglie-Bohm ofrece resultados prácticamente idénticos a los de la mecánica cuántica (no relativista). Considera la función de onda como un objeto fundamental, ya que describe el movimiento de las partículas. Esto implica que ningún experimento puede distinguir entre ambas teorías. Esta sección expone las ideas sobre cómo surge el formalismo cuántico estándar a partir de la mecánica cuántica. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Se ha ideado una versión especializada del experimento de la doble rendija para probar las características de las predicciones de trayectoria. ^{[ 60 ]} Los resultados de uno de estos experimentos coincidieron con las predicciones de la mecánica cuántica estándar y discreparon con las predicciones de Bohm cuando estas entraban en conflicto. ^{[ 61 ]} Estas conclusiones han sido objeto de debate. ^{[ 62 ] [ 63 ]}

El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que cuando se realizan dos mediciones complementarias de ciertos pares ^{[ a ]} de observables , existe un límite para el producto de su precisión. Como ejemplo, si se mide la posición con una precisión de${\displaystyle \Delta x}$y el impulso con una precisión de${\displaystyle \Delta p}$, entonces${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2.}$^{[ 64 ]}

En la teoría de De Broglie-Bohm, siempre existe una condición de hecho respecto a la posición y el momento de una partícula. Cada partícula posee una trayectoria bien definida, así como una función de onda. Los observadores tienen un conocimiento limitado de dicha trayectoria (y, por lo tanto, de la posición y el momento). Es precisamente la falta de conocimiento de la trayectoria de la partícula lo que explica la relación de incertidumbre. Lo que se puede saber sobre una partícula en un momento dado se describe mediante la función de onda. Dado que la relación de incertidumbre puede derivarse de la función de onda en otras interpretaciones de la mecánica cuántica, también puede derivarse (en el sentido epistémico mencionado anteriormente) en la teoría de De Broglie-Bohm.

Dicho de otro modo, las posiciones de las partículas solo se conocen estadísticamente. Al igual que en la mecánica clásica , las observaciones sucesivas de las posiciones de las partículas refinan el conocimiento del experimentador sobre sus condiciones iniciales . Así, con cada observación, las condiciones iniciales se vuelven cada vez más restrictivas. Este formalismo es coherente con el uso habitual de la ecuación de Schrödinger.

Para la derivación de la relación de incertidumbre, véase el principio de incertidumbre de Heisenberg , teniendo en cuenta que este artículo describe el principio desde el punto de vista de la interpretación de Copenhague .

La teoría de De Broglie-Bohm puso de relieve el problema de la no localidad : inspiró a John Stewart Bell a demostrar su ahora famoso teorema , ^{[ 65 ]} que a su vez condujo a las pruebas de Bell .

En la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen , los autores describen un experimento mental que se podría realizar con un par de partículas que han interactuado, cuyos resultados interpretaron como una indicación de que la mecánica cuántica es una teoría incompleta. ^{[ 66 ]}

Décadas más tarde, John Bell demostró el teorema de Bell (véase la página  14 en Bell ^{[ 51 ]} ), en el que mostró que, para que coincidan con las predicciones empíricas de la mecánica cuántica, todas esas completaciones de la mecánica cuántica con "variables ocultas" deben ser no locales (como la interpretación de Bohm) o renunciar al supuesto de que los experimentos producen resultados únicos (véase la definición contrafactual y la interpretación de los muchos mundos ). En particular, Bell demostró que cualquier teoría local con resultados únicos debe hacer predicciones empíricas que satisfagan una restricción estadística llamada "desigualdad de Bell".

Alain Aspect realizó una serie de pruebas de la desigualdad de Bell utilizando fotones entrelazados por polarización. Los resultados de Aspect demuestran experimentalmente que la desigualdad de Bell se viola, lo que significa que las predicciones cuántico-mecánicas relevantes son correctas. En estas pruebas de Bell, se crean pares de partículas entrelazadas; luego, las partículas se separan y viajan a dispositivos de medición remotos. La orientación de los dispositivos de medición puede cambiarse mientras las partículas están en vuelo, lo que demuestra la aparente no localidad del efecto. ^{[ 65 ] [ 67 ]}

La teoría de De Broglie-Bohm realiza las mismas predicciones empíricamente verificadas para las pruebas de Bell que la mecánica cuántica ordinaria. La teoría de De Broglie-Bohm es no relativista y manifiestamente no local. A menudo se la critica o rechaza por este motivo; la postura de Bell era: «Un mérito de la versión de De Broglie-Bohm es que pone de manifiesto esta [no localidad] de forma tan explícita que no puede ignorarse». ^{[ 68 ]}

La teoría de De Broglie-Bohm describe la física en las pruebas de Bell de la siguiente manera: para comprender la evolución de las partículas, necesitamos establecer una ecuación de onda para ambas partículas; la orientación del aparato afecta la función de onda. Las partículas en el experimento siguen la guía de la función de onda. Es la función de onda la que lleva el efecto más rápido que la luz de cambiar la orientación del aparato. Maudlin proporciona un análisis de qué tipo exacto de no localidad está presente y cómo es compatible con la relatividad. ^{[ 69 ]} Bell ha demostrado que la no localidad no permite la comunicación superlumínica .

La formulación de Bohm de la teoría de De Broglie-Bohm en una versión de apariencia clásica tiene la ventaja de que la aparición del comportamiento clásico parece ser inmediata para cualquier situación en la que el potencial cuántico sea despreciable, como señaló Bohm en 1952. Los métodos modernos de decoherencia son relevantes para el análisis de este límite. Véase Allori et al. ^{[ 70 ]} para conocer los pasos hacia un análisis riguroso.

El trabajo de Robert E. Wyatt a principios de la década de 2000 intentó utilizar las "partículas" de Bohm como una malla adaptativa que sigue la trayectoria real de un estado cuántico en el tiempo y el espacio. En el método de "trayectoria cuántica", se muestrea la función de onda cuántica con una malla de puntos de cuadratura. Luego, se hacen evolucionar los puntos de cuadratura en el tiempo según las ecuaciones de movimiento de Bohm. En cada paso de tiempo, se resintetiza la función de onda a partir de los puntos, se recalculan las fuerzas cuánticas y se continúa el cálculo. Este enfoque ha sido adaptado, extendido y utilizado por varios investigadores de la comunidad de física química como una forma de calcular la dinámica molecular semiclasica y cuasiclásica. Un número de 2007 de The Journal of Physical Chemistry A estuvo dedicado al profesor Wyatt y su trabajo sobre "dinámica bohmiana computacional". ^{[ 71 ]}

El grupo de Eric R. Bittner ^{[ 72 ]} en la Universidad de Houston ha desarrollado una variante estadística de este enfoque que utiliza la técnica de muestreo bayesiano para muestrear la densidad cuántica y calcular el potencial cuántico en una malla de puntos sin estructura. Esta técnica se utilizó recientemente para estimar los efectos cuánticos en la capacidad calorífica de pequeños cúmulos Ne _n para n ≈ 100.

Persisten dificultades al utilizar el enfoque de Bohm, asociadas principalmente con la formación de singularidades en el potencial cuántico debido a nodos en la función de onda cuántica. En general, los nodos que se forman debido a efectos de interferencia conducen al caso en el que${\displaystyle R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .}$Esto genera una fuerza infinita sobre las partículas de la muestra, obligándolas a alejarse del nodo y, a menudo, a cruzar la trayectoria de otros puntos de la muestra (lo que viola la univalencia). Se han desarrollado diversos métodos para superar este problema; sin embargo, aún no se ha encontrado una solución general.

Estos métodos, al igual que la formulación de Hamilton-Jacobi de Bohm, no se aplican a situaciones en las que es necesario tener en cuenta la dinámica completa del espín.

Las propiedades de las trayectorias en la teoría de De Broglie-Bohm difieren significativamente de las trayectorias cuánticas de Moyal , así como de las trayectorias cuánticas obtenidas al desenrollar un sistema cuántico abierto.

La teoría de la onda piloto apareció por primera vez en el artículo de De Broglie de 1927, Mecánica ondulatoria y la estructura atómica de la materia y de la radiación . La mayor parte del artículo describe las partículas como singularidades de ondas en el espacio tridimensional, con el movimiento de las partículas determinado por otra onda continua que coincide con la de la teoría cuántica de Schrödinger. Basándose en la unificación de los principios de Maupertuis y Fermat, las velocidades de las partículas obedecen a una dinámica de primer orden dada por la fase de la onda continua.${\displaystyle m_{i}\mathbf {v} _{i}=\nabla _{i}\phi .}$Finaliza el artículo señalando que el aspecto de singularidad es independiente de la mecánica de la onda piloto. ^{[ 86 ] : 55}

De Broglie presentó su teoría de la onda piloto en la Conferencia Solvay de 1927, ^{[ 87 ]} omitiendo el aspecto de las singularidades al postular simplemente la onda piloto. ^{[ 86 ] : 66} Al final de la presentación, Wolfgang Pauli señaló que no era compatible con una técnica semiclasica que Fermi había adoptado previamente en el caso de la dispersión inelástica. Contrariamente a una leyenda popular, de Broglie en realidad dio la refutación correcta de que la técnica particular no podía generalizarse para el propósito de Pauli, aunque la audiencia podría haberse perdido en los detalles técnicos y la manera suave de de Broglie dejó la impresión de que la objeción de Pauli era válida. Finalmente, fue persuadido a abandonar esta teoría porque estaba "desalentado por las críticas que [ella] suscitó". ^{[ 88 ]} La teoría de De Broglie ya se aplica a múltiples partículas sin espín, pero carece de una teoría de medición adecuada, ya que nadie entendía la decoherencia cuántica en ese momento.

Peter R. Holland ha señalado que, a principios de 1927, Einstein había presentado un preimpreso con una propuesta similar, pero, al no estar convencido, lo retiró antes de su publicación. ^{[ 89 ]} Según Holland, la falta de comprensión de puntos clave de la teoría de De Broglie-Bohm ha llevado a la confusión, siendo el punto clave "que las trayectorias de un sistema cuántico de muchos cuerpos están correlacionadas no porque las partículas ejerzan una fuerza directa entre sí ( a la Coulomb), sino porque todas son afectadas por una entidad —descrita matemáticamente por la función de onda o funciones de la misma— que se encuentra más allá de ellas". ^{[ 90 ]} Esta entidad es el potencial cuántico .

David Bohm, insatisfecho con la ortodoxia imperante, redescubrió la teoría de la onda piloto de De Broglie en 1952. Las sugerencias de Bohm no fueron entonces ampliamente aceptadas, en parte debido a razones ajenas a su contenido, como sus afiliaciones comunistas juveniles . ^{[ 91 ]} La teoría de De Broglie-Bohm fue considerada inaceptable por la mayoría de los teóricos convencionales, principalmente debido a su explícita no localidad. Sobre la teoría, John Stewart Bell , autor del teorema de Bell de 1964 , escribió en 1982:

Bohm demostró explícitamente cómo se podían introducir parámetros en la mecánica ondulatoria no relativista, transformando así la descripción indeterminista en determinista. Más importante aún, en mi opinión, se podía eliminar la subjetividad de la versión ortodoxa, la necesaria referencia al "observador".

Pero ¿por qué Born no me había hablado de esta «onda piloto»? ¿Aunque solo fuera para señalar su error? ¿Por qué von Neumann no la tuvo en cuenta? Más extraordinario aún, ¿por qué se siguieron presentando pruebas de «imposibilidad» después de 1952, e incluso tan recientemente como en 1978?... ¿Por qué se ignora la concepción de la onda piloto en los libros de texto? ¿No debería enseñarse, no como la única vía, sino como un antídoto contra la complacencia imperante? ¿Para mostrarnos que la vaguedad, la subjetividad y el indeterminismo no nos son impuestos por los hechos experimentales, sino por una elección teórica deliberada? ^{[ 92 ]}

Desde la década de 1990, ha habido un renovado interés en formular extensiones de la teoría de De Broglie-Bohm, tratando de reconciliarla con la relatividad especial y la teoría cuántica de campos , además de otras características como el espín o las geometrías espaciales curvas. ^{[ 93 ]}

Tras publicar su popular libro de texto Teoría Cuántica , que se adhería por completo a la ortodoxia de Copenhague, Einstein persuadió a Bohm para que analizara críticamente la prueba de von Neumann sobre la ausencia de variables ocultas. El resultado fue «Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas" I y II» [Bohm 1952]. Esta teoría constituyó un origen independiente de la teoría de la onda piloto y la extendió para incorporar una teoría de la medición consistente, además de abordar una crítica a Pauli a la que de Broglie no respondió adecuadamente; se considera determinista (aunque Bohm insinuó en los artículos originales que debería haber perturbaciones, del mismo modo que el movimiento browniano perturba la mecánica newtoniana). Esta etapa se conoce como la Teoría de De Broglie-Bohm en la obra de Bell [Bell 1987] y es la base de «La teoría cuántica del movimiento» [Holland 1993].

Esta etapa se aplica a múltiples partículas y es determinista.

La teoría de De Broglie-Bohm es un ejemplo de teoría de variables ocultas . Bohm esperaba originalmente que las variables ocultas pudieran proporcionar una descripción local , causal y objetiva que resolviera o eliminara muchas de las paradojas de la mecánica cuántica, como el gato de Schrödinger , el problema de la medición y el colapso de la función de onda. Sin embargo, el teorema de Bell complica esta esperanza, ya que demuestra que no puede existir una teoría local de variables ocultas compatible con las predicciones de la mecánica cuántica. La interpretación bohmiana es causal, pero no local.

Bohm's paper was largely ignored or panned by other physicists. Albert Einstein, who had suggested that Bohm search for a realist alternative to the prevailing Copenhagen approach, did not consider Bohm's interpretation to be a satisfactory answer to the quantum nonlocality question, calling it "too cheap",^[94] while Werner Heisenberg considered it a "superfluous 'ideological superstructure' ".^[95]Wolfgang Pauli, who had been unconvinced by de Broglie in 1927, conceded to Bohm as follows:

I just received your long letter of 20th November, and I also have studied more thoroughly the details of your paper. I do not see any longer the possibility of any logical contradiction as long as your results agree completely with those of the usual wave mechanics and as long as no means is given to measure the values of your hidden parameters both in the measuring apparatus and in the observe [sic] system. As far as the whole matter stands now, your 'extra wave-mechanical predictions' are still a check, which cannot be cashed.^[96]

He subsequently described Bohm's theory as "artificial metaphysics".^[97]

According to physicist Max Dresden, when Bohm's theory was presented at the Institute for Advanced Study in Princeton, many of the objections were ad hominem, focusing on Bohm's sympathy with communists as exemplified by his refusal to give testimony to the House Un-American Activities Committee.^[98]

In 1979, Chris Philippidis, Chris Dewdney and Basil Hiley were the first to perform numeric computations on the basis of the quantum potential to deduce ensembles of particle trajectories.^[99][100] Their work renewed the interests of physicists in the Bohm interpretation of quantum physics.^[101]

Eventually John Bell began to defend the theory. In "Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics" [Bell 1987], several of the papers refer to hidden-variables theories (which include Bohm's).

Algunos calificaron de "surrealistas" las trayectorias del modelo de Bohm que resultarían de ciertas configuraciones experimentales. ^{[ 102 ] [ 103 ]} En 2016, el físico matemático Sheldon Goldstein dijo sobre la teoría de Bohm: "Hubo un tiempo en que ni siquiera se podía hablar de ella porque era herética. Probablemente sigue siendo un golpe fatal para una carrera en física trabajar en Bohm, pero tal vez eso esté cambiando". ^{[ 59 ]}

La mecánica bohmiana es la misma teoría, pero con énfasis en la noción de flujo de corriente, que se determina a partir de la hipótesis de equilibrio cuántico según la cual la probabilidad sigue la regla de Born. El término "mecánica bohmiana" también se usa a menudo para incluir la mayoría de las extensiones posteriores a la versión sin espín de Bohm. Mientras que la teoría de De Broglie-Bohm tiene como enfoque principal y trasfondo los lagrangianos y las ecuaciones de Hamilton-Jacobi , con el potencial cuántico como icono , la mecánica bohmiana considera la ecuación de continuidad como principal y tiene la ecuación guía como su icono. Son matemáticamente equivalentes en la medida en que se aplica la formulación de Hamilton-Jacobi, es decir, partículas sin espín.

Toda la mecánica cuántica no relativista puede explicarse completamente en esta teoría. Estudios recientes han utilizado este formalismo para calcular la evolución de sistemas cuánticos de muchos cuerpos, con un aumento considerable en la velocidad en comparación con otros métodos basados ​​en la mecánica cuántica. ^{[ 104 ]}

Bohm desarrolló sus ideas originales, a las que denominó Interpretación Causal . Posteriormente, consideró que «causal» sonaba demasiado a determinismo y prefirió llamar a su teoría Interpretación Ontológica . La principal referencia es «El Universo Indiviso» (Bohm, Hiley 1993).

Esta etapa abarca el trabajo de Bohm y su colaboración con Jean-Pierre Vigier y Basil Hiley. Bohm deja claro que esta teoría es no determinista (el trabajo con Hiley incluye una teoría estocástica). Por lo tanto, esta teoría no es, estrictamente hablando, una formulación de la teoría de De Broglie-Bohm, pero merece ser mencionada aquí porque el término "Interpretación de Bohm" es ambiguo entre esta teoría y la teoría de De Broglie-Bohm.

En 1996, el filósofo de la ciencia Arthur Fine ofreció un análisis profundo de las posibles interpretaciones del modelo de Bohm de 1952. ^{[ 105 ]}

William Simpson ha propuesto una interpretación hilemórfica de la mecánica bohmiana, en la que el cosmos es una sustancia aristotélica compuesta de partículas materiales y una forma sustancial. A la función de onda se le asigna un papel disposicional en la coreografía de las trayectorias de las partículas. ^{[ 106 ]}

En 1926, Erwin Madelung desarrolló una versión hidrodinámica de la ecuación de Schrödinger . ^{[ 125 ]} Esta formulación reemplaza la ecuación lineal única de Schrödinger con dos no lineales, pero tiene la ventaja de que la física puede estudiarse por analogía con la hidrodinámica. ^{[ 126 ]} Las ecuaciones de Madelung , al ser un análogo cuántico de las ecuaciones de Euler de la dinámica de fluidos , difieren filosóficamente de la mecánica de De Broglie-Bohm ^{[ 127 ]} y son la base de la interpretación estocástica de la mecánica cuántica.