Enlace (teoría de nudos)

Con frecuencia, la palabra enlace se utiliza para describir cualquier subvariedad de la esfera.${\displaystyle S^{n}}$difeomorfo a una unión disjunta de un número finito de esferas ,${\displaystyle S^{j}}$.

En términos generales, el término « enlace» es esencialmente el mismo que « nudo» . El contexto es que se tiene una subvariedad M de una variedad N (considerada trivialmente incrustada) y una incrustación no trivial de M en N , no trivial en el sentido de que la segunda incrustación no es isotópica a la primera. Si M está desconectada, la incrustación se denomina enlace (o se dice que está enlazada ). Si M está conectada, se denomina nudo.

Si bien los enlaces (unidimensionales) se definen como incrustaciones de círculos, a menudo es interesante y especialmente útil desde el punto de vista técnico considerar intervalos incrustados (hebras), como en la teoría de trenzas .

En términos generales, se puede considerar un enredo ^{[ 1 ] [ 2 ]} – un enredo es una incrustación

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

de una 1-variedad compacta (suave) con frontera${\displaystyle (X,\partial X)}$en el plano veces el intervalo${\displaystyle I=[0,1],}$de tal manera que el límite${\displaystyle T(\partial X)}$está incrustado en

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$(${\displaystyle \{0,1\}=\partial I}$).

El tipo de enredo es la variedad X, junto con una incrustación fija de${\displaystyle \partial X.}$

Concretamente, una 1-variedad compacta conexa con frontera es un intervalo${\displaystyle I=[0,1]}$o un círculo${\displaystyle S^{1}}$(la compacidad descarta el intervalo abierto${\displaystyle (0,1)}$y el intervalo semiabierto${\displaystyle [0,1),}$ninguna de las cuales produce incrustaciones no triviales ya que el extremo abierto significa que se pueden reducir a un punto), por lo que una 1-variedad compacta posiblemente desconectada es una colección de n intervalos.${\displaystyle I=[0,1]}$y m círculos${\displaystyle S^{1}.}$La condición de que el límite de X se encuentre en

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

Se afirma que los intervalos conectan dos líneas o dos puntos en una de las líneas, pero no se imponen condiciones a los círculos. Se puede considerar que los enredos tienen una dirección vertical ( I ), situada entre dos líneas y posiblemente conectándolas.

(${\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$y${\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$),

y luego poder moverse en una dirección horizontal bidimensional (${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$)

entre estas líneas; se pueden proyectar para formar un diagrama de enredos , análogo a un diagrama de nudos .

Los enredos incluyen enlaces (si X consiste solo en círculos), trenzas y otros más; por ejemplo, una hebra que conecta las dos líneas entre sí con un círculo enlazado a su alrededor.

En este contexto, una trenza se define como un enredo que siempre va hacia abajo, cuya derivada siempre tiene un componente distinto de cero en la dirección vertical ( I ). En particular, debe consistir únicamente en intervalos y no doblarse sobre sí misma; sin embargo, no se especifica dónde se ubican los extremos en la línea.

Un enlace de cuerdaes un enredo que consiste únicamente en intervalos, con los extremos de cada hebra obligados a estar en (0,  0),  (0,  1),  (1,  0),  (1,  1),  (2,  0),  (2,  1),  ... – es decir, conectando los enteros y terminando en el mismo orden en que comenzaron (se puede usar cualquier otro conjunto fijo de puntos); si esto tiene ℓ componentes, lo llamamos un " enlace de cuerda de ℓ componentes". Un enlace de cuerda no tiene por qué ser una trenza; puede doblarse sobre sí mismo, como un enlace de cuerda de dos componentes que presenta un nudo simple . Una trenza que también es un enlace de cuerda se llama trenza pura y corresponde con la noción habitual de tal.

El valor técnico clave de los enredos y los enlaces de cuerdas reside en su estructura algebraica. Las clases de isotopía de los enredos forman una categoría tensorial , donde, para la estructura de la categoría, se pueden componer dos enredos si el extremo inferior de uno coincide con el extremo superior del otro (de modo que los límites se pueden unir), apilándolos; no forman literalmente una categoría (punto a punto) porque no existe una identidad, ya que incluso un enredo trivial ocupa espacio vertical, pero hasta la isotopía sí lo hacen. La estructura tensorial se obtiene mediante la yuxtaposición de enredos, colocando un enredo a la derecha del otro.

Para un ℓ fijo , las clases de isotopía de enlaces de cadena de ℓ componentes forman un monoide (se pueden componer todos los enlaces de cadena de ℓ componentes, y existe una identidad), pero no un grupo, ya que las clases de isotopía de enlaces de cadena no necesariamente tienen inversas. Sin embargo, las clases de concordancia (y por lo tanto también las clases de homotopía ) de enlaces de cadena sí tienen inversas, donde la inversa se obtiene al invertir el enlace de cadena, y por lo tanto forman un grupo.

Cada enlace se puede separar para formar un enlace de cadena, aunque esto no es único, y los invariantes de los enlaces a veces se pueden entender como invariantes de los enlaces de cadena; este es el caso de los invariantes de Milnor , por ejemplo. Compárese con las trenzas cerradas .