Nudo toroidal

En ^la teoría de nudos , un nudo toroidal es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro no anudado en R³ . De manera similar, un enlace toroidal es un enlace que se encuentra en la superficie de un toro de la misma forma. Cada nudo toroidal se especifica mediante un par de enteros coprimos p y q . Un enlace toroidal surge si p y q no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es el máximo común divisor de p y q ). Un nudo toroidal es trivial (equivalente al nudo no anudado) si y solo si p o q es igual a 1 o -1.

El ejemplo no trivial más sencillo es el nudo toroidal (2,3), también conocido como nudo trébol .

Un nudo toroidal puede representarse geométricamente de múltiples maneras que son topológicamente equivalentes (véase Propiedades más adelante) pero geométricamente distintas. La convención utilizada en este artículo y sus figuras es la siguiente.

El nudo toroidal ( p , q ) se enrolla q veces alrededor de un círculo en el interior del toro y p veces alrededor de su eje de simetría rotacional . ^{[ nota 1 ]} . Si p y q no son primos entre sí, entonces tenemos un enlace toroidal con más de un componente.

La dirección en la que los hilos del nudo se enrollan alrededor del toroide también está sujeta a diferentes convenciones. La más común es que los hilos formen un tornillo dextrógiro para pq > 0. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

El nudo toroidal ( p , q ) se puede dar mediante la parametrización

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$y${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$. Esto se encuentra en la superficie del toro dado por${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$(en coordenadas cilíndricas ).

También son posibles otras parametrizaciones, ya que los nudos se definen hasta la deformación continua. Las ilustraciones para los nudos toroidales (2,3) y (3,8) se pueden obtener tomando${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$y en el caso del nudo toroidal (2,3) restando además respectivamente${\displaystyle 3\cos((pq)\phi )}$y${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$a partir de las parametrizaciones anteriores de x e y . Esta última se generaliza suavemente a cualquier p,q coprimo que satisfaga${\displaystyle p<q<2p}$.

Un nudo toroidal es trivial si y solo si p o q es igual a 1 o −1. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Cada nudo toroidal no trivial es primo ^{[ 6 ]} y quiral . ^{[ 4 ]}

El nudo toroidal ( p , q ) es equivalente al nudo toroidal ( q , p ). ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]} El nudo toroidal ( p , -q ) es el reverso (imagen especular) del nudo toroidal ( p , q ). ^{[ 5 ]} El nudo toroidal (-p , -q ) es equivalente al nudo toroidal ( p , q ) excepto por la orientación invertida.

Cualquier nudo toroidal ( p , q ) se puede hacer a partir de una trenza cerrada con p hebras. La palabra de trenza apropiada es ^{[ 8 ].}

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

(Esta fórmula asume la convención común de que los generadores de trenzas son giros rectos, ^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} que no se sigue en la página de Wikipedia sobre trenzas.)

El número de cruces de un nudo toroidal ( p , q ) con p , q > 0 viene dado por

c = min(( p − 1) q , ( q − 1) p ).

El género de un nudo toroidal con p , q > 0 es

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

El polinomio de Alexander de un nudo toroidal es ^{[ 3 ] [ 8 ]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$dónde${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

El polinomio de Jones de un nudo toroidal (dextrógiro) viene dado por

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

El complemento de un nudo toroidal en la 3-esfera es una variedad fibrada de Seifert , fibrada sobre el disco con dos fibras singulares.

Sea Y el gorro de burro p - múltiple con un disco extraído de su interior, Z el gorro de burro q -múltiple con un disco extraído de su interior, y X el espacio cociente obtenido al identificar Y y Z a lo largo de su círculo límite. El complemento del nudo de la deformación del nudo toroidal ( p , q ) se retrae al espacio X. Por lo tanto, el grupo de nudos de un nudo toroidal tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Los nudos toroidales son los únicos nudos cuyos grupos de nudos tienen un centro no trivial (que es cíclico infinito, generado por el elemento${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$en la presentación anterior).

El factor de estiramiento del nudo toroidal ( p , q ), como curva en el espacio euclidiano , es Ω (min( p , q )), por lo que los nudos toroidales tienen factores de estiramiento ilimitados. El estudiante de pregrado John Pardon ganó el Premio Morgan 2012 por su investigación que demostró este resultado, el cual resolvió un problema planteado originalmente por Mikhail Gromov . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Los nudos toroidales ( p , q ) surgen al considerar el enlace de una singularidad aislada de una hipersuperficie compleja. Se interseca la hipersuperficie compleja con una hiperesfera centrada en el punto singular aislado, con un radio suficientemente pequeño para que no encierre ni se encuentre con ningún otro punto singular. La intersección da como resultado una subvariedad de la hiperesfera.

Sean p y q enteros coprimos, mayores o iguales que dos. Consideremos la función holomorfa${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$dado por${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$Dejar${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ser el conjunto de${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$de tal manera que${\displaystyle f(w,z)=0.}$Dado un número real${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$Definimos la esfera tridimensional real.${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$según lo indicado por${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$La función${\displaystyle f}$tiene un punto crítico aislado en${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$desde${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$si y solo si${\displaystyle w=z=0.}$Por lo tanto, consideramos la estructura de${\displaystyle V_{f}}$cerca de${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$Para ello, consideramos la intersección${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$Esta intersección es el llamado enlace de la singularidad.${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$El enlace de${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$, donde p y q son coprimos y ambos mayores o iguales que dos, es exactamente el nudo toroide ( p , q ) . ^{[ 13 ]}

• Desatar , 3 ₁ nudo (3,2), 5 ₁ nudo (5,2), 7 ₁ nudo (7,2), 8 ₁₉ nudo (4,3), 9 ₁ nudo (9,2), 10 ₁₂₄ nudo (5,3)

Un nudo g-toro es una curva cerrada dibujada sobre un g-toro . Técnicamente, es la imagen homeomórfica de un círculo en S³ que puede realizarse como un subconjunto de un cuerpo de asa de género g en S³ (cuyo complemento también es un cuerpo de asa de género g ). Si un enlace es un subconjunto de un cuerpo de asa de género dos, es un enlace de toro doble . ^{[ 14 ]}

Para el género dos, el ejemplo más simple de un nudo de toro doble que no es un nudo de toro es el nudo de figura de ocho . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• Nudo alterno
• Nudo hiperbólico
• Enrollamiento irracional de un toro
• Nudo de satélite

• " 36 nudos toroidales ", El atlas de nudos .
• Weisstein, Eric W. "Nudo toroidal" . MathWorld .
• Renderizador de nudos toroidales en Actionscript
• Diviértete con el nudo PQ-Torus