Distribución t de Student

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución $t$ de Student (o simplemente la distribución $t$ ) $t_{\nu }$ es una distribución de probabilidad continua que generaliza la distribución normal estándar . Al igual que esta última, es simétrica respecto a cero y tiene forma de campana.

Sin embargo, $t_{\nu }$ tiene colas más pesadas , y la cantidad de masa de probabilidad en las colas está controlada por el parámetro $\nu$ . Para $\nu =1$ la distribución $t$ de Student $t_{\nu }$ se convierte en la distribución de Cauchy estándar , que tiene colas muy "gruesas" ; mientras que para $\nu \to \infty$ se convierte en la distribución normal estándar ${\mathcal {N}}(0,1),$ que tiene colas muy "delgadas".

El nombre "Student" es un seudónimo utilizado por William Sealy Gosset en sus publicaciones científicas durante su trabajo en la fábrica de cerveza Guinness en Dublín, Irlanda .

La distribución $t$ de Student desempeña un papel importante en varios análisis estadísticos ampliamente utilizados, incluyendo la prueba $t$ de Student para evaluar la significación estadística de la diferencia entre dos medias muestrales, la construcción de intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales y en el análisis de regresión lineal .

En forma de distribución $t$ de localización-escala $\operatorname {\ell st} (\mu ,\tau ^{2},\nu )$ Generaliza la distribución normal y también surge en el análisis bayesiano de datos de una familia normal como una distribución compuesta al marginalizar sobre el parámetro de varianza.

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La distribución $t$ de Student tiene la función de densidad de probabilidad (FDP) dada por $f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$ dónde $\nu$ es el número de grados de libertad y $\Gamma$ es la función gamma . Esto también se puede escribir como $f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$ dónde $\mathrm {B}$ es la función beta . En particular, para grados de libertad con valores enteros positivos $ν > 1$ tenemos:

${\begin{aligned}\nu &\in \mathbb {N} \geq 2\\k&={\begin{cases}2,&\nu {\text{ par}}\\\pi ,&\nu {\text{ impar}}\\\end{cases}}\\{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}&={\frac {(\nu -1)!!}{k{\sqrt {\nu }}(\nu -2)!!}}\\\end{aligned}}$

La función de densidad de probabilidad es simétrica y su forma general se asemeja a la forma de campana de una variable con distribución normal con media 0 y varianza 1, excepto que es un poco más baja y ancha. A medida que aumenta el número de grados de libertad, la distribución $t$ se aproxima a la distribución normal con media 0 y varianza 1. Por esta razón ${\nu }$ También se conoce como parámetro de normalidad. ^{[ 2 ]}

Las siguientes imágenes muestran la densidad de la distribución $t$ para valores crecientes de $\nu .$ La distribución normal se muestra como una línea azul para comparación. Nótese que la distribución $t$ (línea roja) se acerca más a la distribución normal a medida que $\nu$ aumenta.

Densidad de la distribución

t

(rojo) para 1, 2, 3, 5, 10 y 30 grados de libertad, en comparación con la distribución normal estándar (azul). Los gráficos anteriores se muestran en verde.

1 grado de libertad

2 grados de libertad

3 grados de libertad

5 grados de libertad

10 grados de libertad

30 grados de libertad

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (CDF) se puede escribir en términos de $I$ , la función beta incompleta regularizada . Para $t$ $> 0$ ,

$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},$

dónde

$x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.$

Otros valores se obtendrían por simetría. Una fórmula alternativa, válida para $t^{2}<\nu \,,$ es

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),$

dónde ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\$ es una instancia particular de la función hipergeométrica .

Para obtener información sobre su función de distribución acumulativa inversa, consulte la función cuantil § Distribución t de Student .

Casos especiales

Ciertos valores de $\ \nu \$ Proporcionar una fórmula sencilla para la distribución t de Student.

Propiedades

Momentos

Para $\nu >1$ , los momentos brutos de la distribución $t$ son

$\operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}$

Momentos de orden $\ \nu \$ o superior no existen. ^{[ 3 ]}

El término para $0<k<\nu$ , $k$ incluso, puede simplificarse utilizando las propiedades de la función gamma para

$\operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.$

Para una distribución $t con$ $\nu$ grados de libertad, el valor esperado es $0$ si $\nu >1\,,$ y su varianza es ${\frac {\nu }{\nu -2}}$ si $\nu >2\,.$ La asimetría es 0 si $\nu >3$ y la curtosis en exceso es ${\frac {6}{\nu -4}}$ si $\nu >4\,.$

Cómo surge la distribución $t$ (caracterización)

Como la distribución de un estadístico de prueba

Distribución t de Student con $\nu$ Los grados de libertad se pueden definir como la distribución de la variable aleatoria T con ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},$

dónde

Z es una distribución normal estándar con valor esperado 0 y varianza 1;
V tiene una distribución chi-cuadrado ⁽ distribución χ² ) con $\nu$ grados de libertad ;
Z y V son independientes ;

Se define una distribución diferente como la de la variable aleatoria definida, para una constante μ dada , por $(Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.$ Esta variable aleatoria tiene una distribución t no central con parámetro de no centralidad μ . Esta distribución es importante en los estudios sobre la potencia de la prueba t de Student .

Derivación

Supongamos que X ₁ , ..., X _n son realizaciones independientes de la variable aleatoria X con distribución normal , que tiene un valor esperado μ y una varianza σ ² . Sea

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$

sea la media de la muestra y

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}$

ser una estimación insesgada de la varianza de la muestra. Se puede demostrar que la variable aleatoria

$V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}$

tiene una distribución chi-cuadrado con $\nu =n-1$ grados de libertad (por el teorema de Cochran ). ^{[ 6 ]} Se demuestra fácilmente que la cantidad

$Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$

tiene una distribución normal con media 0 y varianza 1, ya que la media de la muestra ${\overline {X}}_{n}$ tiene una distribución normal con media μ y varianza σ² ^/n . Además, es posible demostrar que estas dos variables aleatorias (la de distribución normal Z y la de distribución chi-cuadrado V ) son independientes. En consecuencia, la cantidad pivotal

$T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},$

que difiere de Z en que la desviación estándar exacta σ se reemplaza por el error estándar de la muestra ^s, tiene una distribución t de Student como se definió anteriormente. Nótese que la varianza poblacional desconocida σ² no aparece en T , ya que estaba tanto en el numerador como en el denominador, por lo que se canceló. Gosset obtuvo intuitivamente la función de densidad de probabilidad indicada anteriormente, con $\nu$ igual a n − 1, y Fisher lo demostró en 1925. ^{[ 7 ]}

La distribución del estadístico de prueba T depende de $\nu$ , pero no μ ni σ ; la falta de dependencia de μ y σ es lo que hace que la distribución t sea importante tanto en la teoría como en la práctica.

Distribución muestral del estadístico t

La distribución $t$ surge como la distribución muestral del estadístico $t . A continuación se analiza el estadístico$ $t$ para una muestra ; para el estadístico $t$ para dos muestras correspondiente, consulte la prueba t de Student .

Estimación de varianza insesgada

Dejar $\ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ sean muestras independientes e idénticamente distribuidas de una distribución normal con media $\mu$ y varianza $\ \sigma ^{2}~.$ La media muestral y la varianza muestral insesgada vienen dadas por:

${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}$

$El estadístico t$ resultante (de una muestra) viene dado por

$t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ s/{\sqrt {n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.$

y se distribuye según una distribución $t$ de Student con $\ n-1\$ grados de libertad.

Por lo tanto, para fines de inferencia, el estadístico $t es una "$ cantidad pivotal " útil en el caso de que la media y la varianza $(\mu ,\sigma ^{2})$ son parámetros poblacionales desconocidos, en el sentido de que el estadístico $t$ tiene entonces una distribución de probabilidad que no depende de ninguno de ellos. $\mu$ ni $\ \sigma ^{2}~.$

Estimación de la varianza de ML

En lugar de la estimación imparcial $\ s^{2}\$ También podemos utilizar la estimación de máxima verosimilitud. $\ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\$ arrojando la estadística $\ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.$ Esto se distribuye según la distribución $t$ de localización-escala : $t_{\mathsf {ML}}\sim \operatorname {\ell st} (0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.$

Distribución compuesta de la distribución normal con distribución gamma inversa

$La distribución t$ de escala de localización resulta de la composición de una distribución gaussiana (distribución normal) con media $\ \mu \$ y varianza desconocida , con una distribución gamma inversa colocada sobre la varianza con parámetros ${\textstyle a={\frac {\nu }{2}}}$ y ${\textstyle b={\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\,.}$ En otras palabras, se supone que la variable aleatoria X tiene una distribución gaussiana con una varianza desconocida distribuida como gamma inversa, y luego la varianza se marginaliza (se integra).

De forma equivalente, esta distribución resulta de la combinación de una distribución gaussiana con una distribución chi-cuadrado inversa escalada con parámetros $\nu$ y $\ \tau ^{2}~.$ La distribución chi-cuadrado inversa escalada es exactamente la misma distribución que la distribución gamma inversa, pero con una parametrización diferente, es decir $\nu =2a,\;\tau ^{2}={\frac {b}{a}}\,.$

La utilidad de esta caracterización radica en que, en estadística bayesiana, la distribución gamma inversa es la distribución a priori conjugada de la varianza de una distribución gaussiana. En consecuencia, la distribución $t$ de localización-escala surge de forma natural en muchos problemas de inferencia bayesiana. ^{[ 8 ]}

Distribución de entropía máxima

$La distribución t$ de Student es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variable aleatoria X que tiene un cierto valor de ${\textstyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ln(\nu +X^{2})\right\}}$ ^{[ 9 ]} . Es decir, para $un ν$ $t$ de Studentcon $ν$ grados de libertad, ${\textstyle P_{\nu }}$ , es la distribución única que maximiza la entropía diferencial sujeta a un valor fijo de ${\textstyle \mathbb {E} [\ln(\nu +X^{2})].}$ Más precisamente,

P_{\nu }={\underset {P\in {\mathcal {P}}}{\operatorname {arg\,max} }}\ H(P),\quad {\text{subject to}}\quad \mathbb {E} _{P}[\ln(\nu +X^{2})]=C,

para alguna constante $C$ (el valor de $C$ dependerá de $ν$ ), donde ${\textstyle {\mathcal {P}}}$ denota el conjunto de todas las distribuciones en ${\textstyle \mathbb {R} }$ con entropía diferencial finita , y $H$ ( $P$ ) es la entropía diferencial de $P.$ Esto se deduce inmediatamente de la observación de que la pdf se puede escribir en forma de familia exponencial con $\nu +X^{2}$ como estadística suficiente.

Integral de la función de densidad de probabilidad de Student y el valor $p.$

La función $A (t | ν)$ es la integral de la función de densidad de probabilidad de Student, $f (t)$ entre $-t$ y $t$ , para $t$ $\geq 0$ . Por lo tanto, proporciona la probabilidad de que un valor de t menor que el calculado a partir de los datos observados ocurra por casualidad. En consecuencia, la función $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ puede utilizarse al probar si la diferencia entre las medias de dos conjuntos de datos es estadísticamente significativa, calculando el valor correspondiente de $t$ y la probabilidad de su ocurrencia si los dos conjuntos de datos se extrajeran de la misma población. Esto se utiliza en diversas situaciones, particularmente en pruebas $t$ . Para el estadístico $t$ , con $ν$ grados de libertad, $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ es la probabilidad de que $t$ sea menor que el valor observado si las dos medias fueran iguales (siempre que la media menor se reste de la mayor, de modo que $t$ $\geq 0$ ). Se puede calcular fácilmente a partir de la función de distribución acumulativa $F$ $ν$ $($ $t$ $)$ de la distribución $t$ :

$A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),$

donde $I$ $x$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ es la función beta incompleta regularizada .

Para realizar pruebas de hipótesis estadísticas, esta función se utiliza para construir el valor p .

Distribuciones relacionadas

En general

La distribución $t$ no central generaliza la distribución $t$ para incluir un parámetro de no centralidad. A diferencia de las distribuciones $t$ no estandarizadas , las distribuciones no centrales no son simétricas (la mediana no coincide con la moda).
La distribución $t$ de Student discreta se define por su función de masa de probabilidad en r siendo proporcional a: ^{[ 10 ]} $\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.$ Aquí a , b y k son parámetros. Esta distribución surge de la construcción de un sistema de distribuciones discretas similar al de las distribuciones de Pearson para distribuciones continuas. ^{[ 11 ]}
Se pueden generar muestras de Student $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ tomando la razón de variables de la distribución normal y la raíz cuadrada de la distribución $χ$ $²$ . Si en lugar de la distribución normal usamos, por ejemplo, la distribución de Irwin-Hall , obtenemos una distribución simétrica de cuatro parámetros, que incluye la distribución normal, la uniforme , la triangular , la $t$ de Student y la de Cauchy . Esto también es más flexible que otras generalizaciones simétricas de la distribución normal.
$La distribución t$ es un ejemplo de distribución de razón .
El cuadrado de una variable aleatoria distribuida $t n$ se distribuye según la distribución F de Snedecor $F 1, n$ .

Distribución $t$ de localización-escala

Transformación de escala de localización

$La distribución t$ de Student se generaliza a la distribución $t$ de tres parámetros de localización y escala. $\operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\$ introduciendo un parámetro de ubicación $\ \mu \$ y un parámetro de escala $\ \tau ~.$ Con $\ T\sim t_{\nu }\$ y transformación familiar a escala local $\ X=\mu +\tau \ T\$ obtenemos $X\sim \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.$

La distribución resultante también se denomina distribución $t$ de Student no estandarizada .

Densidad y los dos primeros momentos

La distribución de escala de localización $t$ tiene una densidad definida por: ^{[ 12 ]}

$p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\tau {\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\tau }}\right)^{2}\right)^{-(\nu +1)/2}$

De forma equivalente, la densidad se puede escribir en términos de $\tau ^{2}$ :

$p(x\mid \nu ,\mu ,\tau ^{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {\pi \nu \tau ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\tau ^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}$

Otras propiedades de esta versión de la distribución son: ^{[ 12 ]}

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}$

Casos especiales

Si $X$ sigue una distribución $t$ de escala de localización $X\sim \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\,\tau ^{2},\,\nu \right)$ entonces para $\nu \to \infty$ , $X$ tiene una distribución normal $X\sim \mathrm {N} {\left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$ con significa $\mu$ y varianza $\tau ^{2}\,.$
La distribución $t$ de localización-escala $\ \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\$ con grado de libertad $\nu =1$ es equivalente a la distribución de Cauchy $\mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.$
La distribución $t$ de localización-escala $\operatorname {\ell st} \left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\$ con $\mu =0$ y $\ \tau ^{2}=1\$ se reduce a la distribución $t de Student$ $\ t_{\nu }~.$

Ocurrencia y aplicaciones

En la inferencia estadística frecuentista

$La distribución t$ de Student surge en diversos problemas de estimación estadística donde el objetivo es estimar un parámetro desconocido, como la media, en un contexto donde los datos se observan con errores aditivos . Si (como ocurre en casi todos los trabajos estadísticos prácticos) se desconoce la desviación estándar poblacional de estos errores y debe estimarse a partir de los datos, la distribución $t$ se utiliza a menudo para tener en cuenta la incertidumbre adicional que resulta de esta estimación. En la mayoría de estos problemas, si se conociera la desviación estándar de los errores, se utilizaría una distribución normal en lugar de la distribución $t .$

Los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis son dos procedimientos estadísticos que requieren los cuantiles de la distribución muestral de una estadística específica (por ejemplo, la puntuación estándar ). En cualquier situación donde esta estadística sea una función lineal de los datos , dividida por la estimación habitual de la desviación estándar, la cantidad resultante puede reescalarse y centrarse para que siga una distribución $t$ de Student . Los análisis estadísticos que involucran medias, medias ponderadas y coeficientes de regresión dan como resultado estadísticas con esta forma.

Con frecuencia, los problemas de los libros de texto tratan la desviación estándar de la población como si fuera conocida, evitando así la necesidad de utilizar la distribución $t$ de Student . Estos problemas suelen ser de dos tipos: (1) aquellos en los que el tamaño de la muestra es tan grande que se puede tratar una estimación de la varianza basada en datos como si fuera cierta, y (2) aquellos que ilustran el razonamiento matemático, en los que el problema de estimar la desviación estándar se ignora temporalmente porque ese no es el punto que el autor o el profesor están explicando en ese momento.

Prueba de hipótesis

Se puede demostrar que varias estadísticas siguen distribuciones $t$ para muestras de tamaño moderado bajo hipótesis nulas de interés, de modo que la distribución $t constituye la base para las pruebas de significancia. Por ejemplo, la distribución del$ coeficiente de correlación de rangos de Spearman $ρ$ , en el caso nulo (correlación cero), se aproxima bien a la distribución $t$ para tamaños de muestra superiores a 20.

Intervalos de confianza

Supongamos que el número A se elige de tal manera que

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<T<A\ \right\}=0.9\ ,$

cuando $T$ tiene una distribución $t con$ $n$ $- 1$ grados de libertad. Por simetría, esto es lo mismo que decir que $A$ satisface

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,$

por lo tanto A es el "percentil 95" de esta distribución de probabilidad, o $\ A=t_{(0.05,n-1)}~.$ Entonces

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,$

donde S _n es la desviación estándar muestral de los valores observados. Esto es equivalente a

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.$

Por lo tanto, el intervalo cuyos extremos son

$\ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\$

es un intervalo de confianza del 90% para μ. Por lo tanto, si encontramos la media de un conjunto de observaciones que podemos esperar razonablemente que tengan una distribución normal, podemos usar la distribución $t$ para examinar si los límites de confianza de esa media incluyen algún valor predicho teóricamente, como el valor predicho en una hipótesis nula .

Este resultado es el que se utiliza en las pruebas $t$ de Student : dado que la diferencia entre las medias de muestras de dos distribuciones normales también se distribuye normalmente, la distribución $t$ se puede utilizar para examinar si se puede suponer razonablemente que esa diferencia es cero.

Si los datos tienen una distribución normal, el límite superior de confianza unilateral $(1 - α)$ de la media se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:

${\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.$

El UCL resultante será el mayor valor promedio que se producirá para un intervalo de confianza y un tamaño de población dados. En otras palabras, ${\overline {X}}_{n}$ Siendo la media del conjunto de observaciones, la probabilidad de que la media de la distribución sea inferior a UCL _{$1 - α$} es igual al nivel de confianza $1 - α$ .

Intervalos de predicción

La distribución $t$ se puede utilizar para construir un intervalo de predicción para una muestra no observada a partir de una distribución normal con media y varianza desconocidas.

En estadística bayesiana

$La distribución t$ de Student , especialmente en su versión de tres parámetros (localización-escala), aparece con frecuencia en la estadística bayesiana debido a su conexión con la distribución normal. Siempre que se desconoce la varianza de una variable aleatoria con distribución normal y se le asigna una distribución a priori conjugada que sigue una distribución gamma inversa , la distribución marginal resultante de la variable seguirá una distribución $t de Student$ . Construcciones equivalentes con los mismos resultados implican una distribución chi-cuadrado inversa escalada conjugada sobre la varianza, o una distribución gamma conjugada sobre la precisión . Si se asigna una distribución a priori impropia proporcional a 1 / $σ²$ $sobre la varianza, también aparece la distribución t$ . Esto ocurre independientemente de si se conoce la media de la variable con distribución normal, si se desconoce su distribución según una distribución a priori normal conjugada , o si se desconoce su distribución según una distribución a priori constante impropia.

Las situaciones relacionadas que también producen una distribución $t$ son:

La distribución posterior marginal de la media desconocida de una variable con distribución normal, con media y varianza previas desconocidas, siguiendo el modelo anterior.
La distribución predictiva previa y la distribución predictiva posterior de un nuevo punto de datos con distribución normal cuando se ha observado una serie de puntos de datos independientes con distribución normal idéntica , con media y varianza previas como en el modelo anterior.

Modelado paramétrico robusto

La distribución $t$ se usa a menudo como alternativa a la distribución normal como modelo para datos que suelen tener colas más pesadas de las que permite la distribución normal; véase, por ejemplo, Lange et al. ^{[ 13 ].} El enfoque clásico consistía en identificar valores atípicos (por ejemplo, usando la prueba de Grubbs ) y excluirlos o reducir su peso de alguna manera. Sin embargo, no siempre es fácil identificar valores atípicos (especialmente en dimensiones altas ), y la distribución $t$ es una opción natural de modelo para dichos datos y proporciona un enfoque paramétrico para estadísticas robustas .

Una explicación bayesiana se puede encontrar en Gelman et al. ^{[ 14 ].} El parámetro de grados de libertad controla la curtosis de la distribución y está correlacionado con el parámetro de escala. La función de verosimilitud puede tener múltiples máximos locales y, por lo tanto, a menudo es necesario fijar los grados de libertad en un valor bastante bajo y estimar los demás parámetros tomando este valor como dado. Algunos autores indican que los valores entre 3 y 9 suelen ser buenas opciones. Venables y Ripley sugieren que un valor de 5 suele ser una buena opción.

Proceso $t$ del estudiante

Para necesidades prácticas de regresión y predicción , se introdujeron los procesos $t$ de Student , que son generalizaciones de las distribuciones $t de Student para funciones. Un proceso$ $t$ de Student se construye a partir de las distribuciones $t$ de Student como un proceso gaussiano se construye a partir de las distribuciones gaussianas . Para un proceso gaussiano , todos los conjuntos de valores tienen una distribución gaussiana multidimensional. Análogamente, $X(t)$ es un proceso $t de Student en un intervalo$ $I=[a,b]$ si los valores correspondientes del proceso $\ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\$ ( $t_{i}\in I$ ) tienen una distribución $t$ de Student multivariante conjunta . ^{[ 15 ]} Estos procesos se utilizan para regresión, predicción, optimización bayesiana y problemas relacionados. Para la regresión multivariante y la predicción de múltiples salidas, se introducen y utilizan los procesos $t de Student multivariantes.$ ^[¹⁶^]

Tabla de valores seleccionados

La siguiente tabla muestra los valores de las distribuciones $t$ con $ν$ grados de libertad para un rango de regiones críticas unilaterales o bilaterales. La primera columna es $ν$ , y los porcentajes en la parte superior son niveles de confianza. $\ \alpha \ ,$ y los números en el cuerpo de la tabla son los $t_{\alpha ,n-1}$ factores descritos en la sección sobre intervalos de confianza .

La última fila con $ν$ infinito proporciona puntos críticos para una distribución normal, ya que una distribución $t$ con infinitos grados de libertad es una distribución normal. (Véase Distribuciones relacionadas más arriba).

Cálculo del intervalo de confianza

Digamos que tenemos una muestra con tamaño 11, media muestral 10 y varianza muestral 2. Para un 90% de confianza con 10 grados de libertad, el valor $t$ unilateral de la tabla es 1.372 . Entonces, con el intervalo de confianza calculado a partir de

${\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,$

Determinamos que con un 90% de confianza tenemos una media verdadera que se encuentra por debajo

$10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.$

En otras palabras, en el 90% de los casos en que se calcula un umbral superior mediante este método a partir de muestras concretas, dicho umbral superior supera la media real.

Y con un 90% de confianza tenemos una media verdadera situada más arriba.

$\ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.$

En otras palabras, en el 90% de los casos en que se calcula un umbral inferior mediante este método a partir de muestras concretas, dicho umbral inferior se sitúa por debajo de la media real.

De modo que con un 80% de confianza (calculado a partir de 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), tenemos una media verdadera que se encuentra dentro del intervalo

$\left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.$

Decir que en el 80% de los casos en que se calculan los umbrales superior e inferior mediante este método a partir de una muestra determinada, la media verdadera está tanto por debajo del umbral superior como por encima del umbral inferior no es lo mismo que decir que existe una probabilidad del 80% de que la media verdadera se encuentre entre un par particular de umbrales superior e inferior que se han calculado mediante este método; véase intervalo de confianza y falacia del fiscal .

Hoy en día, los programas estadísticos, como el lenguaje de programación R , y las funciones disponibles en muchos programas de hojas de cálculo, calculan los valores de la distribución $t$ y su inversa sin necesidad de tablas.

Métodos computacionales

Muestreo de Monte Carlo

Existen diversos enfoques para construir muestras aleatorias de la distribución $t$ de Student . La cuestión depende de si las muestras se requieren de forma independiente o si se construirán mediante la aplicación de una función cuantil a muestras uniformes ; por ejemplo, en la base de aplicaciones multidimensionales de la dependencia de cópula . En el caso del muestreo independiente, se puede implementar fácilmente una extensión del método de Box-Muller y su forma polar . ^[¹⁷^] Tiene la ventaja de que se aplica igualmente bien a todos los grados de libertad reales positivos , $ν$ , mientras que muchos otros métodos candidatos fallan si $ν$ está cerca de cero. ^[¹⁷^]

Historia

En estadística, la distribución $t fue derivada por primera vez como una$ distribución posterior en 1876 por Helmert ^[¹⁸^]^[¹⁹^]^[²⁰^] y Lüroth . ^[²¹^]^[²²^]^[²³^] Como tal, la distribución t de Student es un ejemplo de la Ley de Eponimia de Stigler . La distribución $t$ también apareció en una forma más general como distribución de Pearson tipo IV en el artículo de Karl Pearson de 1895. ^[²⁴^]

En la literatura en lengua inglesa, la distribución toma su nombre del artículo de William Sealy Gosset de 1908 en Biometrika, publicado bajo el seudónimo de "Student" durante su trabajo en la cervecería Guinness en Dublín, Irlanda . ^{[ 25 ]} Una versión sobre el origen del seudónimo es que el empleador de Gosset prefería que el personal utilizara seudónimos al publicar artículos científicos en lugar de sus nombres reales, por lo que usó el nombre de "Student" para ocultar su identidad. Otra versión es que Guinness no quería que sus competidores supieran que estaban utilizando la prueba $t$ para determinar la calidad de la materia prima. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

Gosset trabajaba en Guinness y estaba interesado en los problemas de muestras pequeñas, por ejemplo, las propiedades químicas de la cebada, donde el tamaño de las muestras podía ser de tan solo 3. El artículo de Gosset se refiere a la distribución como la "distribución de frecuencia de las desviaciones estándar de muestras extraídas de una población normal". Se hizo muy conocida gracias al trabajo de Ronald Fisher , quien la denominó "distribución t de Student" y representó el valor de prueba con la letra $t$ . ^{[ 7 ]}^{[ 28 ]}

Véase también

Notas

↑ Hurst, Simon. «La función característica de la distribución $t$ de Student» . Informe de investigación en matemáticas financieras. Informe de investigación estadística n.° SRR044-95. Archivado del original el 18 de febrero de 2010.
↑ Kruschke, JK (2015). Doing Bayesian Data Analysis (2.ª ed.). Academic Press. ISBN 9780124058880OCLC 959632184
↑ Casella G, Berger RL (1990). Inferencia estadística . Duxbury Resource Center. pág. 56. ISBN 9780534119584.
↑ Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1995). «Capítulo 28». Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2 (2.ª ed.). Wiley. ISBN 9780471584940.
↑ Hogg RV , Craig AT (1978). Introducción a la estadística matemática (4.ª ed.). Nueva York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA . Secciones 4.4 y 4.8 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
↑ Cochran, WG (1934). "La distribución de formas cuadráticas en un sistema normal, con aplicaciones al análisis de covarianza". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 30 (2): 178– 191. Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 . S2CID 122547084 .
1 2 Fisher RA (1925). "Aplicaciones de la distribución 'de estudiantes'" (PDF) . Metron . 5 : 90–104 . Archivado del original (PDF) el 5 de marzo de 2016.
↑ Gelman AB, Carlin JS, Rubin DB, Stern HS (1997). Análisis de datos bayesianos (2.ª ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall lp 68. ISBN 9780412039911.
↑ Park SY, Bera AK (2009). "Modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva de máxima entropía". Journal of Econometrics . 150 (2): 219– 230. doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 .
↑ Ord JK (1972). Familias de distribuciones de frecuencia . Londres, Reino Unido: Griffin. Tabla 5.1. ISBN 9780852641378.
↑ Ord JK (1972). Familias de distribuciones de frecuencia . Londres, Reino Unido: Griffin. Capítulo 5. ISBN 9780852641378.
1 2 Jackman, S. (2009). Análisis bayesiano para las ciencias sociales . Serie Wiley en probabilidad y estadística. Wiley. pág. 507. doi : 10.1002 /9780470686621 . ISBN 9780470011546.
↑ Lange KL, Little RJ, Taylor JM (1989). "Modelado estadístico robusto utilizando la distribución $t$ " (PDF) . Journal of the American Statistical Association . 84 (408): 881– 896. doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 . JSTOR 2290063 .
↑ Gelman AB, Carlin JB, Stern HS, et al. (2014). "Simulación de cadena de Markov computacionalmente eficiente". Análisis de datos bayesianos . Boca Raton, Florida: CRC Press. pág. 293. ISBN 9781439898208.
↑ Shah, Amar; Wilson, Andrew Gordon; Ghahramani, Zoubin (2014). " Procesos $t$ de Student como alternativas a los procesos gaussianos" (PDF) . JMLR . 33 (Actas de la 17.ª Conferencia Internacional sobre Inteligencia Artificial y Estadística (AISTATS) 2014, Reikiavik, Islandia): 877–885 . arXiv : 1402.4306 .
↑ Chen, Zexun; Wang, Bo; Gorban, Alexander N. (2019). "Regresión de procesos gaussianos y $t$ de Student multivariados para predicción de múltiples salidas" . Neural Computing and Applications . 32 (8): 3005– 3028. arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 .
1 2 Bailey RW (1994). "Generación polar de variables aleatorias con la distribución $t ".$ Mathematics of Computation . 62 (206): 779– 781. Bibcode : 1994MaCom..62..779B . doi : 10.2307/2153537 . JSTOR 2153537 . S2CID 120459654 .
↑ Helmert FR (1875). "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (en alemán). 20 : 300–303 .
↑ Helmert FR (1876). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und úber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (en alemán). 21 : 192-218 .
↑ Helmert FR (1876). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers director Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [ La precisión de la fórmula de Peters para calcular el error probable de observación de observaciones directas con la misma precisión ] . Astronomische Nachrichten (en alemán). 88 ( 8– 9): 113– 132. Bibcode : 1876AN.....88..113H . doi : 10.1002/asna.18760880802 .
↑ Lüroth J (1876). "Vergleichung von doswei Werten des wahrscheinlichen Fehlers" . Astronomische Nachrichten (en alemán). 87 (14): 209– 220. Bibcode : 1876AN.....87..209L . doi : 10.1002/asna.18760871402 .
↑ Pfanzagl J, Sheynin O (1996). "Estudios sobre la historia de la probabilidad y la estadística. XLIV. Un precursor de la distribución $t$ ". Biometrika . 83 (4): 891– 898. doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 .
↑ Sheynin O (1995). "El trabajo de Helmert en la teoría de los errores". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 49 (1): 73– 104. doi : 10.1007/BF00374700 . S2CID 121241599 .
↑ Pearson, K. (1895). "Contribuciones a la teoría matemática de la evolución. II. Variación asimétrica en material homogéneo" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 186 (374): 343– 414. Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X .
↑ "Estudiante" [ seudónimo de William Sealy Gosset ] (1908). "El error probable de una media" (PDF) . Biometrika . 6 (1): 1– 25. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . {{cite journal}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
↑ Wendl MC (2016). "Fama pseudónima". Science . 351 (6280): 1406. Bibcode : 2016Sci...351.1406W . doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 .
↑ Mortimer RG (2005). Matemáticas para la química física (3.ª ed.). Burlington, MA: Elsevier. pp . 326. ISBN 9780080492889OCLC 156200058
↑ Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K (2006). Probabilidad y estadística para ingenieros y científicos (7.ª ed.). Nueva Delhi, IN: Pearson. pág. 237. ISBN 9788177584042OCLC 818811849

Referencias

Senn, S.; Richardson, W. (1994). "La primera prueba $t ".$ Statistics in Medicine . 13 (8): 785– 803. doi : 10.1002/sim.4780130802 . PMID 8047737 .
Hogg RV , Craig AT (1978). Introducción a la estadística matemática (4.ª ed.). Nueva York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA .
Venables, WN; Ripley, BD (2002). Estadística aplicada moderna con S (Cuarta ed.). Springer.
Gelman, Andrew; John B. Carlin; Hal S. Stern; Donald B. Rubin (2003). Análisis de datos bayesianos (Segunda edición). CRC/Chapman & Hall. ISBN 1-58488-388-X.

Enlaces externos

"Distribución estudiantil" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Primeros usos conocidos de algunas palabras de matemáticas (S) (Observaciones sobre la historia del término "distribución estudiantil")
Rouaud, M. (2013), Probabilidad, estadística y estimación (PDF) (edición corta )Primeros alumnos en la página 112.
Distribución t de Student , archivada el 10 de abril de 2021 en Wayback Machine.

[1] Hurst, Simon. «La función característica de la distribución $t$ de Student» . Informe de investigación en matemáticas financieras. Informe de investigación estadística n.° SRR044-95. Archivado del original el 18 de febrero de 2010.

[2] Kruschke, JK (2015). Doing Bayesian Data Analysis (2.ª ed.). Academic Press. ISBN 9780124058880OCLC 959632184

[3] Casella G, Berger RL (1990). Inferencia estadística . Duxbury Resource Center. pág. 56. ISBN 9780534119584.

[JKB-4] Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1995). «Capítulo 28». Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2 (2.ª ed.). Wiley. ISBN 9780471584940.

[Hogg-5] Hogg RV , Craig AT (1978). Introducción a la estadística matemática (4.ª ed.). Nueva York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA . Secciones 4.4 y 4.8 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )

[6] Cochran, WG (1934). "La distribución de formas cuadráticas en un sistema normal, con aplicaciones al análisis de covarianza". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 30 (2): 178– 191. Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 . S2CID 122547084 .

[Fisher_1925_90–104-7] 1 2 Fisher RA (1925). "Aplicaciones de la distribución 'de estudiantes'" (PDF) . Metron . 5 : 90–104 . Archivado del original (PDF) el 5 de marzo de 2016.

[8] Gelman AB, Carlin JS, Rubin DB, Stern HS (1997). Análisis de datos bayesianos (2.ª ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall lp 68. ISBN 9780412039911.

[9] Park SY, Bera AK (2009). "Modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva de máxima entropía". Journal of Econometrics . 150 (2): 219– 230. doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 .

[10] Ord JK (1972). Familias de distribuciones de frecuencia . Londres, Reino Unido: Griffin. Tabla 5.1. ISBN 9780852641378.

[11] Ord JK (1972). Familias de distribuciones de frecuencia . Londres, Reino Unido: Griffin. Capítulo 5. ISBN 9780852641378.

[Jackman-12] 1 2 Jackman, S. (2009). Análisis bayesiano para las ciencias sociales . Serie Wiley en probabilidad y estadística. Wiley. pág. 507. doi : 10.1002 /9780470686621 . ISBN 9780470011546.

[13] Lange KL, Little RJ, Taylor JM (1989). "Modelado estadístico robusto utilizando la distribución $t$ " (PDF) . Journal of the American Statistical Association . 84 (408): 881– 896. doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 . JSTOR 2290063 .

[14] Gelman AB, Carlin JB, Stern HS, et al. (2014). "Simulación de cadena de Markov computacionalmente eficiente". Análisis de datos bayesianos . Boca Raton, Florida: CRC Press. pág. 293. ISBN 9781439898208.

[Shah2014-15] Shah, Amar; Wilson, Andrew Gordon; Ghahramani, Zoubin (2014). " Procesos $t$ de Student como alternativas a los procesos gaussianos" (PDF) . JMLR . 33 (Actas de la 17.ª Conferencia Internacional sobre Inteligencia Artificial y Estadística (AISTATS) 2014, Reikiavik, Islandia): 877–885 . arXiv : 1402.4306 .

[Zexun2020-16] Chen, Zexun; Wang, Bo; Gorban, Alexander N. (2019). "Regresión de procesos gaussianos y $t$ de Student multivariados para predicción de múltiples salidas" . Neural Computing and Applications . 32 (8): 3005– 3028. arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 .

[Bailey-17] 1 2 Bailey RW (1994). "Generación polar de variables aleatorias con la distribución $t ".$ Mathematics of Computation . 62 (206): 779– 781. Bibcode : 1994MaCom..62..779B . doi : 10.2307/2153537 . JSTOR 2153537 . S2CID 120459654 .

[HFR1-18] Helmert FR (1875). "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (en alemán). 20 : 300–303 .

[HFR2-19] Helmert FR (1876). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und úber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (en alemán). 21 : 192-218 .

[HFR3-20] Helmert FR (1876). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers director Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [ La precisión de la fórmula de Peters para calcular el error probable de observación de observaciones directas con la misma precisión ] . Astronomische Nachrichten (en alemán). 88 ( 8– 9): 113– 132. Bibcode : 1876AN.....88..113H . doi : 10.1002/asna.18760880802 .

[L1876-21] Lüroth J (1876). "Vergleichung von doswei Werten des wahrscheinlichen Fehlers" . Astronomische Nachrichten (en alemán). 87 (14): 209– 220. Bibcode : 1876AN.....87..209L . doi : 10.1002/asna.18760871402 .

[22] Pfanzagl J, Sheynin O (1996). "Estudios sobre la historia de la probabilidad y la estadística. XLIV. Un precursor de la distribución $t$ ". Biometrika . 83 (4): 891– 898. doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 .

[23] Sheynin O (1995). "El trabajo de Helmert en la teoría de los errores". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 49 (1): 73– 104. doi : 10.1007/BF00374700 . S2CID 121241599 .

[24] Pearson, K. (1895). "Contribuciones a la teoría matemática de la evolución. II. Variación asimétrica en material homogéneo" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 186 (374): 343– 414. Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X .

[25] "Estudiante" [ seudónimo de William Sealy Gosset ] (1908). "El error probable de una media" (PDF) . Biometrika . 6 (1): 1– 25. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . {{cite journal}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )

[26] Wendl MC (2016). "Fama pseudónima". Science . 351 (6280): 1406. Bibcode : 2016Sci...351.1406W . doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 .

[27] Mortimer RG (2005). Matemáticas para la química física (3.ª ed.). Burlington, MA: Elsevier. pp . 326. ISBN 9780080492889OCLC 156200058

[28] Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K (2006). Probabilidad y estadística para ingenieros y científicos (7.ª ed.). Nueva Delhi, IN: Pearson. pág. 237. ISBN 9788177584042OCLC 818811849

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ].

[ 14 ].

[ 15 ]

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución acumulativa

Casos especiales

Propiedades

Momentos

Cómo surge la distribución t (caracterización)

Como la distribución de un estadístico de prueba

Derivación

Distribución muestral del estadístico t

Estimación de varianza insesgada

Estimación de la varianza de ML

Distribución compuesta de la distribución normal con distribución gamma inversa

Distribución de entropía máxima

Integral de la función de densidad de probabilidad de Student y el valor p.

Distribuciones relacionadas

En general

Distribución t de localización-escala

Transformación de escala de localización

Densidad y los dos primeros momentos

Casos especiales

Ocurrencia y aplicaciones

En la inferencia estadística frecuentista

Prueba de hipótesis

Intervalos de confianza

Intervalos de predicción

En estadística bayesiana

Modelado paramétrico robusto

Proceso t del estudiante

Tabla de valores seleccionados

Métodos computacionales

Muestreo de Monte Carlo

Historia

Véase también

Notas

Referencias

Enlaces externos

Cómo surge la distribución $t$ (caracterización)

Integral de la función de densidad de probabilidad de Student y el valor $p.$

Distribución $t$ de localización-escala

Proceso $t$ del estudiante