Reglas de suma (teoría cuántica de campos)

En la teoría cuántica de campos , una regla de suma es una relación entre una magnitud estática y una integral sobre una magnitud dinámica. Por lo tanto, tienen una forma como la siguiente:

${\displaystyle \int A(x)dx=B}$

dónde${\displaystyle A(x)}$es la magnitud dinámica, por ejemplo una función de estructura que caracteriza a una partícula, y${\displaystyle B}$es la magnitud estática, por ejemplo la masa o la carga de esa partícula.

Las reglas de suma de la teoría cuántica de campos no deben confundirse con las reglas de suma de la cromodinámica cuántica o la mecánica cuántica .

Existen numerosas reglas de suma. La validez de una regla de suma en particular puede ser sólida si su derivación se basa en supuestos firmes; por el contrario, se ha demostrado experimentalmente que algunas reglas de suma son incorrectas debido a supuestos injustificados en su derivación. La siguiente lista de reglas de suma ilustra este punto.

Las reglas de suma se obtienen generalmente combinando una relación de dispersión con el teorema óptico , ^{[ 1 ]} utilizando la expansión del producto de operadores o el álgebra de corrientes . ^{[ 2 ]}

Las reglas de suma de la teoría cuántica de campos son útiles de diversas maneras. Permiten probar la teoría utilizada para derivarlas, por ejemplo, la cromodinámica cuántica , o una suposición hecha para la derivación, por ejemplo, la invariancia de Lorentz . Se pueden usar para estudiar una partícula, por ejemplo, cómo los espines de los partones forman el espín del protón . También se pueden usar como método de medición. Si la cantidad estática${\displaystyle B}$es difícil de medir directamente, medir${\displaystyle A(x)}$y su integración ofrece una forma práctica de obtener${\displaystyle B}$(siempre que la regla de suma particular que vincula${\displaystyle A(x)}$a${\displaystyle B}$es fiable).

Aunque en principio,${\displaystyle B}$es una cantidad estática, la denominación de regla de suma se ha extendido al caso donde${\displaystyle B}$es una amplitud de probabilidad , por ejemplo, la amplitud de probabilidad de la dispersión Compton , ^{[ 1 ]} vea la lista de reglas de suma a continuación.

(La lista no es exhaustiva)

• Regla de suma de Adler . ^{[ 3 ]} Esta regla de suma relaciona la función de estructura de corriente cargada del protón${\displaystyle F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)}$(aquí,${\displaystyle x}$es la variable de escala de Bjorken y${\displaystyle Q^{2}}$es el cuadrado del valor absoluto del cuadrimomento transferido entre el neutrino dispersor y el protón) al ángulo de Cabibbo${\displaystyle \theta _{c}}$. Afirma que en el límite${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$, entonces${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})}$. El${\displaystyle {\bar {\nu }}}$y${\displaystyle \nu }$Los superíndices indican que${\displaystyle F_{2}}$se relaciona con la dispersión inelástica profunda antineutrino-protón o neutrino-protón , respectivamente.
• Regla de suma de Adler-Weisberger . ^{[ 4 ]} Relaciona la carga axial del nucleón.${\displaystyle g_{A}}$a cantidades de dispersión pion -nucleón:${\displaystyle 1+{\frac {F_{\pi }^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\big [}\sigma _{\pi ^{+}p}(E)-\sigma _{\pi ^{-}p}(E){\big ]}{\frac {dE}{E}}=g_{A}^{2}}$, dónde${\displaystyle F_{\pi }=92.4}$MeV es la constante de desintegración del pión , y${\displaystyle \sigma _{\pi ^{+}p}}$y${\displaystyle \sigma _{\pi ^{-}p}}$son las secciones transversales de dispersión pion-protón para${\displaystyle \pi ^{+}}$y${\displaystyle \pi ^{+}}$, respectivamente.
• Regla de suma de Baldin . ^{[ 5 ]} Este es el equivalente no polarizado de la regla de suma GDH (véase más abajo). Relaciona la probabilidad de que un fotón absorbido por una partícula dé como resultado la producción de hadrones (esta probabilidad se denomina sección transversal de fotoproducción ) con las polarizabilidades eléctrica y magnética de la partícula absorbente. La regla de suma se lee:${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )}$, dónde${\displaystyle \nu }$es la energía del fotón,${\displaystyle \nu _{0}}$es el valor mínimo de energía necesario para crear el hadrón más ligero (es decir, un pión ),${\displaystyle \sigma _{tot}}$es la sección transversal de la fotoproducción, y${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son las polarizabilidades eléctrica y magnética de la partícula, respectivamente. Suponiendo su validez, la regla de suma de Baldin proporciona información importante sobre nuestro conocimiento de las polarizabilidades eléctrica y magnética, complementaria a sus cálculos o mediciones directas. (Véase, por ejemplo, la figura 3 del artículo ^{[ 6 ]} ).
• Regla de suma de Bass- Brodsky -Schmidt : ^{[ 7 ]} La regla de suma establece que la integral de la función de estructura dependiente del espín de un fotón real ,${\displaystyle g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})}$desaparece para cualquier valor de la transferencia de momento${\displaystyle Q^{2}}$El fotón se analiza con:${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})dx=0}$Esta relación no es perturbativa y se cumple tanto para teorías de gauge abelianas como no abelianas.
• Regla de suma de Bjorken (polarizada). ^{[ 8 ] [ 9 ]} Esta regla de suma es la regla de suma de espín prototípica de QCD . Establece que, en el dominio de escalamiento de Bjorken , la integral de la función de estructura de espín del protón menos la del neutrón es proporcional a la carga axial del nucleón . Específicamente:${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6}$, dónde${\displaystyle x}$es la variable de escala de Bjorken,${\displaystyle g_{1}^{p(n)}(x)}$es la primera función de estructura de espín del protón (neutrón), y${\displaystyle g_{A}}$es la carga axial del nucleón que caracteriza la desintegración β del neutrón . Fuera del dominio de escalamiento de Bjorken, la regla de suma de Bjorken adquiere correcciones de escalamiento de QCD que se conocen hasta el quinto orden de precisión . ^{[ 2 ]} La regla de suma fue verificada experimentalmente con una precisión mejor que el 10 %. ^{[ 2 ]}
• Regla de suma de Bjorken (no polarizada). ^{[ 10 ]} La regla de suma es, en el orden principal de la QCD perturbativa :${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},}$dónde${\displaystyle F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})}$y${\displaystyle F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})}$son las primeras funciones de estructura para las reacciones de dispersión inelástica profunda protón - neutrino , protón-antineutrino y neutrón - neutrino ,${\displaystyle Q^{2}}$es el cuadrado del cuadrimomento intercambiado entre el nucleón y el (anti)neutrino en la reacción, y${\displaystyle \alpha _{s}}$es el acoplamiento QCD .
• Regla de suma de Burkhardt-Cottingham . ^{[ 11 ]} La regla de suma fue verificada experimentalmente. ^{[ 2 ]} La regla de suma es "superconvergente", lo que significa que su forma es independiente de${\displaystyle Q^{2}}$La regla de la suma es:${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}}$dónde${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$es la segunda función de estructura de espín del objeto estudiado.
• ${\displaystyle \delta _{LT}}$regla de la suma. ^{[ 12 ]}
• Regla de suma de Close-Kumano . ^{[ 13 ]} establece que en el límite de Bjorken${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$con${\displaystyle Q^{2}/\nu }$finito, la integral sobre la primera función de estructura tensorial del deuterón ,${\displaystyle b_{1}}$, desaparece${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{1}^{\gamma }(x)dx=0}$.
• Efremov-Teryaev-Regla de la suma del líder . ^{[ 14 ]}
• Regla de suma de Ellis-Jaffe . ^{[ 15 ]} Se demostró experimentalmente que la regla de suma no se cumple, ^{[ 2 ]} lo que sugiere que el espín del quark extraño contribuye de manera significativa al espín del protón . La regla de suma de Ellis-Jaffe proporciona un ejemplo de cómo la violación de una regla de suma nos enseña sobre una propiedad fundamental de la materia (en este caso, el origen del espín del protón).
• Regla de suma de polarizabilidad de espín hacia adelante . ^{[ 12 ]}
• Regla de la suma de Fubini-Furlan-Rossetti . ^{[ 16 ]}
• Regla de suma de Gerasimov- Drell -Hearn (GDH, a veces regla de suma DHG). ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} Este es el equivalente polarizado de la regla de suma de Baldin (véase más arriba). La regla de suma es:${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}}$, dónde${\displaystyle \nu _{0}}$es la energía mínima requerida para producir un pión una vez que el fotón es absorbido por la partícula objetivo,${\displaystyle \sigma _{TT}}$es la diferencia entre las secciones transversales de absorción de fotones cuando los espines de los fotones están alineados y anti-alineados con el espín del objetivo,${\displaystyle \nu }$es la energía del fotón,${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina y${\displaystyle \kappa }$,${\displaystyle S}$y${\displaystyle m_{t}}$son el momento magnético anómalo , el número cuántico de espín y la masa de la partícula objetivo, respectivamente. La derivación de la regla de suma GDH asume que la teoría que rige la estructura de la partícula objetivo (por ejemplo, QCD para un nucleón o un núcleo ) es causal (es decir, se pueden usar relaciones de dispersión o, equivalentemente para GDH, las relaciones de Kramers-Kronig ), unitaria e invariante de Lorentz y de gauge . Estas tres suposiciones son premisas muy básicas de la Teoría Cuántica de Campos . Por lo tanto, probar la regla de suma GDH pone a prueba estas premisas fundamentales. La regla de suma GDH fue verificada experimentalmente (con una precisión del 10%). ^{[ 2 ]}
• Regla de suma GDH generalizada . Se han propuesto varias versiones generalizadas de la regla de suma GDH. ^{[ 2 ]} La primera y más común es:${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8}$, dónde${\displaystyle g_{1}}$es la primera función de estructura de espín de la partícula objetivo,${\displaystyle x}$es la variable de escala de Bjorken ,${\displaystyle Q^{2}}$es la virtualidad del fotón o, equivalentemente, el cuadrado del valor absoluto del cuadrimomento transferido entre la partícula del haz que produjo el fotón virtual y la partícula objetivo, y${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$es la primera amplitud de dispersión Compton virtual hacia adelante . Se puede argumentar que llamar a esta relación regla de suma es impropio, ya que${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$No es una propiedad estática de la partícula objetivo ni una observable directamente medible . No obstante, la regla de suma de denominación se utiliza ampliamente.
• Regla de suma de Gottfried . ^{[ 20 ]} La regla de suma establece que la integral ponderada por${\displaystyle x}$de la función de estructura no polarizada${\displaystyle F_{2}(x,Q^{2})}$La diferencia entre la energía del protón y la del neutrón está relacionada con la asimetría de sabor de los quarks del mar :${\displaystyle I_{G}=\int _{0}^{1}F_{2}^{p}(x,Q^{2})-F_{2}^{n}(x,Q^{2}){\frac {dx}{x}}={\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1}{\bar {d}}(x,Q^{2})-{\bar {u}}(x,Q^{2})dx}$. Suponiendo un mar con simetría de sabor se obtiene la regla de suma de Gottfried propiamente dicha,${\displaystyle I_{G}=1/3}$, lo cual ha sido descartado por mediciones, ^{[ 21 ]} proporcionando la primera evidencia clara de asimetría de sabor en el mar de nucleones.
• Regla de suma de Gross - Llewellyn Smith . ^{[ 22 ]} Establece que en el dominio de escalamiento de Bjorken , la integral de la${\displaystyle F_{3}(x)}$La función de estructura del nucleón es igual al número de quarks de valencia que lo componen, es decir, igual a 3. Específicamente:${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3}$Fuera del dominio de escalamiento de Bjorken, la regla de suma de Gross-Llewellyn-Smith adquiere correcciones de escalamiento de QCD idénticas a las de la regla de suma de Bjorken. La integral de Gross-Llewellyn-Smith fue medida por el experimento CCFR en Fermilab . ^{[ 23 ]}
• Regla de suma de momentos : ^{[ 24 ]} Establece que la suma de la fracción de momentos${\displaystyle x}$de todos los partones ( quarks , antiquarks y gluones ) dentro de un hadrón es igual a 1.
• Regla de suma de Ji : Relaciona la integral de las distribuciones generalizadas de partones (GPD) con el momento angular total transportado por los quarks o por los gluones . ^{[ 25 ]} Se lee:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x{\big [}E_{q,g}(x,0,0)+H_{q,g}(x,0,0){\big ]}dx=J_{q,g}}$, dónde${\displaystyle J_{q,g}}$es el quark (${\displaystyle q}$) o gluón (${\displaystyle g}$) momento angular total,${\displaystyle E_{q,g}(x,\xi ,t)}$¿Es el quark o gluón un GDP no polarizado que conserva la helicidad y${\displaystyle H_{q,g}(x,\xi ,t)}$es el GDP de inversión de helicidad no polarizada del quark o gluón. Las variables cinemáticas asimetría${\displaystyle \xi }$y Mandestam${\displaystyle t}$están establecidos a cero.

• Regla de suma de masas de protones : ^{[ 26 ] [ 27 ]} Descompone la masa del protón en cuatro términos, energía de quark , masa de quark, energía de gluón y energía anómala cuántica , siendo cada uno de estos términos una integral sobre un espacio de coordenadas tridimensional.
• Regla de suma de Schwinger . ^{[ 28 ]} La regla de suma de Schwinger es un resultado teórico que involucra la dispersión de leptones polarizados por partículas objetivo polarizadas. Se expresa de la siguiente manera:${\displaystyle {\frac {8M^{2}}{Q^{2}}}\int _{0}^{x_{0}}g_{1}(x,Q^{2})+g_{2}(x,Q^{2})dx\to \kappa e{\text{ as }}Q^{2}\to 0}$, dónde${\displaystyle M}$es la masa de la partícula objetivo,${\displaystyle Q^{2}}$el cuadrado del valor absoluto del cuadrimomento transferido a la partícula objetivo durante el proceso de dispersión,${\displaystyle x}$la variable de escala de Bjorken ,${\displaystyle x_{0}}$el${\displaystyle x}$-valor para la energía mínima requerida para producir un pión a partir de la partícula objetivo, y${\displaystyle g_{1}(x,Q^{2})}$y${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$las funciones de estructura de espín primera y segunda de la partícula objetivo, respectivamente. El límite es para${\displaystyle Q\to 0}$, con${\displaystyle \kappa }$el momento magnético anómalo de la partícula objetivo y${\displaystyle e}$su carga . El integrando de la regla de suma también se puede expresar con el${\displaystyle 1/Q}$-sección transversal de interferencia longitudinal-transversal ponderada,${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$. Esto la hace similar a la regla de suma GDH generalizada. ^{[ 2 ]} Curiosamente, la regla de suma involucra fotones longitudinales que no existen en la${\displaystyle Q\to 0}$límite, donde se aplica la regla de la suma, ya que los fotones reales solo tienen proyecciones de espín transversales. Por lo tanto, se espera${\displaystyle \sigma _{LT}=0}$en el límite${\displaystyle Q\to 0}$. Sin embargo, a pesar de esto, la integral sobre la razón${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$Se espera que sea finito y distinto de cero en este límite, según la regla de suma. La regla de suma se probó experimentalmente para el neutrón, ^{[ 29 ]} y aunque existen incertidumbres experimentales, se comprobó que se cumple, siempre que la regla de suma GDH también se cumpla.
• Regla de la suma de Wandzura- Wilczek . ^{[ 30 ]}

• Cromodinámica cuántica
• crisis de giro del protón