Variedad supersingular

Una curva elíptica E sobre un cuerpo de característica p > 0 es supersingular si y solo si su anillo de endomorfismos es un orden en un álgebra de cuaterniones , lo que le da rango 4 en lugar del rango 2 típico de las curvas elípticas ordinarias. ^{[ 3 ]} En términos de cohomología cristalina, E es supersingular si y solo si el polígono de Newton de H ¹ _cris ( E / W ( k )) tiene una sola pendiente de 1/2, en lugar de pendientes 0 y 1 como en el caso ordinario.

Para cada primo p , existen solo un número finito de j -invariantes que corresponden a curvas elípticas supersingulares sobre la clausura algebraica de F _p , y todos estos j -invariantes se encuentran en F _{p ²} . El primer ejemplo de una curva elíptica supersingular fue observado por John Tate sobre cuerpos de característica 3, utilizando la cuártica de Fermat . ^{[ 7 ]}

Una variedad abeliana supersingular de dimensión g sobre un cuerpo de característica p > 0 puede definirse como una variedad abeliana que es isógena a un producto de curvas elípticas supersingulares, o como una cuyo álgebra de endomorfismos tiene dimensión (2 g ) ² sobre Q . ^{[ 8 ]} El polígono de Newton de una variedad abeliana supersingular de dimensión g tiene todas las pendientes iguales a 1/2. Debido a que el anillo de cohomología de una variedad abeliana es el álgebra exterior de su primer grupo de cohomología, la supersingularidad de una variedad abeliana está determinada enteramente por H ¹ .

Para superficies K3 en característica p > 0, se han estudiado dos nociones relacionadas de supersingularidad. Una superficie K3 es supersingular de Artin si las pendientes de Frobenius en H ² _cris son todas iguales a 1, o equivalentemente si su grupo de Brauer formal tiene altura infinita. ^{[ 9 ]} Una superficie K3 es supersingular de Shioda si el rango de su grupo de Néron-Severi es igual a su segundo número de Betti , que es 22 para todas las superficies K3.

Michael Artin conjeturó que las dos nociones coinciden: que una superficie K3 con grupo de Brauer formal de altura infinita debe tener número de Picard 22. ^{[ 9 ]} La conjetura de Tate para superficies K3 de altura finita fue demostrada por Niels Nygaard y Arthur Ogus , ^{[ 10 ]} y la conjetura de Artin se estableció en característica p ≥ 3 a través del trabajo de Maulik, Charles y Madapusi Pera, quienes juntos también completaron la demostración de la conjetura de Tate para superficies K3 en esas características. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Las superficies K3 con número de Picard 22 existen solo en característica positiva; la teoría de Hodge implica que el número de Picard de una superficie K3 sobre los números complejos es como máximo 20. El primer ejemplo lo dio Tate, quien observó que la superficie cuártica de Fermat tiene número de Picard 22 sobre cuerpos algebraicamente cerrados de característica p ≡ 3 (mod 4). ^{[ 7 ]}

En características distintas de 2, las superficies de Enriques son cocientes de superficies K3 por una involución libre y no exhiben comportamiento supersingular. En característica 2, Enrico Bombieri y David Mumford demostraron que las superficies de Enriques caen en tres clases —clásicas, singulares y supersingulares— que se distinguen por la estructura de su esquema de Picard . ^{[ 13 ]} Una superficie de Enriques supersingular en característica 2 tiene H ¹ ( O _X ) de dimensión 1 con acción de Frobenius trivial, fibrado canónico trivial y su esquema de Picard Pic ^τ es isomorfo al esquema de grupo α _{2 . Su doble recubrimiento canónico es un α 2} -recubrimiento puramente inseparable de una superficie con haz dualizante trivial .