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Resonancia estocástica

La resonancia estocástica ( RE ) es un mecanismo matemático y un comportamiento de sistemas no lineales [ 1 ] (es decir, sistemas en los que el cambio de la salida no es proporc...

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La resonancia estocástica ( RE ) es un mecanismo matemático y un comportamiento de sistemas no lineales [ 1 ] (es decir, sistemas en los que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada) donde las fluctuaciones aleatorias ( estocásticas ) en el microestado de un sistema (es decir, su configuración específica, incluidas las posiciones y momentos precisos de todas sus partículas o componentes individuales) causan cambios deterministas (es decir, no aleatorios) en un macroestado (es decir, un subconjunto de los microestados del sistema [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ).

Esto ocurre cuando la naturaleza no lineal del sistema amplifica ciertas porciones (resonantes) de las fluctuaciones, sin amplificar otras porciones del ruido . El sistema no lineal, inmerso en un cierto nivel de ruido de fondo estocástico, se vuelve sensible a perturbaciones externas que serían demasiado débiles para influir en él en ausencia de dicho ruido. [ 5 ]

Originalmente propuesta en el contexto de la dinámica climática , [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] con el tiempo se ha vuelto importante en numerosos campos que estudian una amplia variedad de sistemas, [ 9 ] particularmente en la teoría de la información [ 10 ] y en la neurociencia . [ 1 ] Los fenómenos atribuibles a la resonancia estocástica también se han observado en otros tipos de sistemas físicos, como reacciones químicas , [ 11 ] sistemas cuánticos , [ 12 ] y procesos industriales . [ 13 ] La resonancia estocástica también está estrechamente relacionada con el concepto de dithering en el análisis de señales , [ 14 ] aunque cuán similares o diferentes son los dos conceptos depende de la definición particular considerada. [ 1 ]

La resonancia estocástica fue descubierta y propuesta por primera vez en 1981 para explicar la recurrencia periódica de las edades de hielo . [ 6 ] Actualmente, la resonancia estocástica se invoca comúnmente cuando el ruido y la no linealidad coinciden para determinar un aumento del orden en la respuesta de un sistema.

Consulte el artículo "Resonancia estocástica" [ 15 ] de Review of Modern Physics para obtener una descripción general completa de la resonancia estocástica.

Historia

El mecanismo de resonancia estocástica fue descrito por primera vez a principios de la década de 1980 por los físicos italianos Roberto Benzi , Alfonso Sutera y Angelo Vulpiani , [ 16 ] quienes (con la participación adicional de Giorgio Parisi ) lo aplicaron inmediatamente a la climatología, [ 6 ] [ 8 ] para explicar cómo pequeñas variaciones en el movimiento de la Tierra (los llamados ciclos de Milankovitch ) pueden causar grandes variaciones en el clima de la Tierra (en particular, la transición de períodos glaciales a períodos interglaciales , y viceversa). Según el relato de Parisi, el nombre "resonancia estocástica" fue acuñado por Benzi durante una conferencia. [ 17 ] Al mismo tiempo, la física belga Catherine Nicolis también propuso una explicación muy similar . [ 7 ]

Una verificación experimental inicial se encontró ya en 1983 en un circuito electrónico biestable , [ 18 ] y en 1988 en un sistema láser . [ 19 ] A principios de la década de 1990, aparecieron los primeros trabajos en los que se planteó la hipótesis de que la resonancia estocástica desempeñaba un papel importante en la dinámica neuronal , [ 20 ] [ 21 ] un concepto ahora confirmado. [ 1 ] [ 22 ]

interpretación climatológica

En los trabajos originales de Benzi, Parisi, Sutera y Vulpiani, el potencial depende de la temperatura media de la Tierra (es decir, la variable correspondiente aincógnita{\displaystyle x}) estaba vinculado al albedo de la Tierra , es decir, la fracción de la radiación solar incidente que se refleja de vuelta al espacio en lugar de ser absorbida por el planeta. Depende de numerosos factores estrechamente relacionados con el clima de la Tierra, siendo los principales la extensión de las capas de hielo y la cobertura nubosa . En general, se asumió que el albedo tiende a un máximo tanto para temperaturas extremadamente bajas (ya que el planeta estaría completamente cubierto por hielo altamente reflectante) como para temperaturas altas (ya que la temperatura alta está asociada con una alta evaporación y, por lo tanto, con una extensa cobertura nubosa, que también es reflectante), mientras que los dos estados estables de albedo mínimo se asociaron con períodos glaciales y períodos interglaciales . [ 6 ] [ 23 ]

teoría de la información

En teoría de la información, la recombinación de señales (SR) puede utilizarse para revelar señales débiles. Una señal que normalmente es demasiado débil para ser detectada por un sensor puede potenciarse añadiéndole ruido blanco , que contiene un amplio espectro de frecuencias. Las frecuencias del ruido blanco que coinciden con las de la señal original resonarán entre sí, amplificando la señal original sin amplificar el resto del ruido blanco, lo que aumenta la relación señal-ruido y hace que la señal original sea más prominente. Además, el ruido blanco añadido puede ser suficiente para ser detectado por el sensor, que puede filtrarlo para detectar eficazmente la señal original, previamente indetectable.

Este fenómeno de amplificación de señales indetectables mediante la resonancia con ruido blanco añadido se extiende a muchos otros sistemas —ya sean electromagnéticos, físicos o biológicos— y es un área activa de investigación. [ 24 ]

Descripción técnica

La resonancia estocástica (RE) se observa cuando el ruido añadido a un sistema modifica su comportamiento de alguna manera. Técnicamente, la RE se produce si la relación señal-ruido de un sistema o dispositivo no lineal aumenta para valores moderados de intensidad de ruido . Suele ocurrir en sistemas biestables o en sistemas con un umbral sensorial , y cuando la señal de entrada al sistema está por debajo del umbral. Para intensidades de ruido bajas, la señal no provoca que el dispositivo supere el umbral, por lo que se transmite poca señal . Para intensidades de ruido elevadas, la salida está dominada por el ruido, lo que también conlleva una baja relación señal-ruido. Para intensidades moderadas, el ruido permite que la señal alcance el umbral, pero su intensidad no es tan alta como para enmascararla. Por lo tanto, un gráfico de la relación señal-ruido en función de la intensidad del ruido presenta un pico.

En rigor, la resonancia estocástica se produce en sistemas biestables cuando se aplica una pequeña fuerza periódica ( sinusoidal ) junto con una gran fuerza estocástica de banda ancha (ruido). La respuesta del sistema está determinada por la combinación de ambas fuerzas, que compiten o cooperan para que el sistema cambie entre los dos estados estables. El grado de orden está relacionado con la cantidad de periodicidad que muestra en la respuesta del sistema. Si la fuerza periódica se elige lo suficientemente pequeña como para no provocar el cambio en la respuesta del sistema, se requiere la presencia de un ruido considerable para que esto ocurra. Cuando el ruido es pequeño, se producen muy pocos cambios, principalmente al azar y sin periodicidad significativa en la respuesta del sistema. Cuando el ruido es muy intenso, se produce un gran número de cambios por cada período de la sinusoide, y la respuesta del sistema no muestra una periodicidad notable. Entre estas dos condiciones, existe un valor óptimo del ruido que coopera con la fuerza periódica para producir casi exactamente un cambio por período (un máximo en la relación señal-ruido).

Esta condición favorable se determina cuantitativamente mediante la coincidencia de dos escalas de tiempo: el período de la sinusoide (la escala de tiempo determinista) y la tasa de Kramers [ 25 ] (es decir, la tasa de conmutación promedio inducida por el único ruido: el inverso de la escala de tiempo estocástica [ 26 ] [ 27 ] ).

Modelo simplificado

Forma genérica del potencialU(incógnita){\displaystyle U(x)}

A continuación se muestra un modelo didáctico simplificado capaz de capturar los aspectos esenciales del mecanismo de resonancia estocástica. [ 5 ] [ 16 ] [ 15 ]

ecuación inicial

Consideremos una variable física dependiente del tiempo.incógnita(t){\displaystyle x(t)}(que, en los documentos originales sobre el clima, era la temperatura media de la Tierra ), descrita por una ecuación diferencial estocástica del tipo de la ecuación de Langevin :

dincógnitadt=−∂U∂incógnita+F(t)+ϵporque⁡(ωt),{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}+f(t)+\epsilon \cos(\omega t),}

dóndeU(incógnita){\displaystyle U(x)}es una función potencial que determina la dinámica del sistema,F(t){\displaystyle f(t)}es una fuerza estocástica que corresponde al ruido de fondo, yϵporque⁡(ωt){\displaystyle \epsilon \cos(\omega t)}es la perturbación periódica externa, de pequeña amplitud (ϵ≪1{\displaystyle \epsilon \ll 1}), que en los estudios climáticos correspondían a los ciclos de Milankovitch . Se supone queU(incógnita){\displaystyle U(x)}tiene una forma de doble pozo (descriptible mediante un polinomio de cuarto grado), es decir, posee dos mínimos estables.incógnita−{\displaystyle x_{-}}yincógnita+{\displaystyle x_{+}}(períodos glaciales e interglaciales) separados por un máximo inestableincógnita0{\displaystyle x_{0}}, correspondiente a una barrera potencialΔU{\displaystyle \Delta U}(para simplificar, se supone que los dos mínimos se encuentran al mismo nivel)U(incógnita±){\displaystyle U(x_{\pm })}). ParaF(t){\displaystyle f(t)}Se considera la forma más simple posible, a saber, la del ruido gaussiano , con media cero y correlación delta de Dirac :⟨F(t)⟩=0{\displaystyle \langle f(t)\rangle =0}y⟨F(t1)F(t2)⟩=2Dδ(t2−t1){\displaystyle \langle f(t_{1})f(t_{2})\rangle =2D\delta (t_{2}-t_{1})}.

En ausencia de perturbaciones periódicas (ϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}), es bien sabido por la teoría de los procesos de Markov que la variableincógnita(t){\displaystyle x(t)}fluctuará alrededor de los puntos mínimos, con una varianza proporcional a la intensidad del ruido gaussiano.D{\displaystyle D}Ocasionalmente, las fluctuaciones serán lo suficientemente fuertes como para permitir el cruce de la barrera de potencial y, por lo tanto, la transición de un estado mínimo a otro. En el límiteD≪ΔU{\displaystyle D\ll \Delta U}La frecuencia media de transición viene dada por la denominada fórmula de Kramers:

r±=12π−U″(incógnita0)U″(incógnita±)mi−ΔUD,{\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {-U^{''}(x_{0})U^{''}(x_{\pm })}}e^{-{\frac {\Delta U}{D}}},} dóndeU″(incógnita){\displaystyle U^{''}(x)}es la segunda derivada deU(incógnita){\displaystyle U(x)}.

Resonancia estocástica

En presencia de perturbaciones periódicas, el potencialU{\displaystyle U}es reemplazado por el potencial generalizadoW(incógnita,t)=U(incógnita)−ϵporque⁡ωt{\displaystyle W(x,t)=U(x)-\epsilon \cos \omega t}Esto significa que los dos pozos de potencial varían en altura, subiendo y bajando, y por lo tanto la barrera que el sistema debe superar para saltar de un mínimo al otro será en algunos momentos más alta y en otros más baja. Sin embargo, las oscilaciones son de pequeña amplitud, por lo que no pueden eliminar completamente la barrera y, por lo tanto, permiten que el sistema transite entre estados por sí solo: la idea de resonancia estocástica es que, si la frecuencia de perturbaciónω{\displaystyle \omega }es de alguna manera comparable con la frecuencia media de transiciónr±{\displaystyle r_{\pm }}Entonces, las fluctuaciones aleatorias del sistema tenderán a sincronizarse con las oscilaciones externas, lo que hará que la transición sea más probable.

Utilizando la forma explícita del potencialU(incógnita)=−12incógnita2+14incógnita4{\displaystyle U(x)=-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}x^{4}}, se puede demostrar que, al menos en una primera aproximación, el valor medio deincógnita(t){\displaystyle x(t)}se convierte en una función periódica del tiempo con la misma frecuencia que la fuerza externa:

⟨incógnita(t)⟩=Aporque⁡(ωt+ϕ),{\displaystyle \langle x(t)\rangle =A\cos(\omega t+\phi ),}

donde la amplitudA{\displaystyle A}y la faseϕ{\displaystyle \phi }vienen dadas por las siguientes relaciones:

Comportamiento típico de la amplitudA{\displaystyle A}en función de la intensidad del ruidoD{\displaystyle D}.

A=ϵ⟨incógnita2⟩0D2r±r±2+ω2/4,ϕ=−arctan⁡(ω2r±);{\displaystyle A={\frac {\epsilon \langle x^{2}\rangle _{0}}{D}}{\frac {2r_{\pm }}{\sqrt {r_{\pm }^{2}+\omega ^{2}/4}}},\qquad \qquad \phi =-\arctan \left({\frac {\omega }{2r_{\pm }}}\right);}

con⟨incógnita2⟩0{\displaystyle \langle x^{2}\rangle _{0}}la varianza deincógnita{\displaystyle x}en ausencia de perturbaciones externas (dependiendo de la intensidad del ruido)D{\displaystyle D}).

Por lo tanto, los aspectos fundamentales son:

  • Las oscilaciones del sistema tienden, en promedio, a sincronizarse con las perturbaciones externas;
  • El efecto de amplificación es insignificante a menos que la frecuencia de perturbaciónω{\displaystyle \omega }es comparable con la frecuencia de transiciónr±{\displaystyle r_{\pm }}(dependiendo de la intensidad del ruido), y es máximo paraω=2r±{\displaystyle \omega =2r_{\pm }};
  • para amplitud de perturbación fijaϵ{\displaystyle \epsilon }y frecuenciaω{\displaystyle \omega }, la amplitudA{\displaystyle A}es, para intensidades de ruido bajas, una función que aumenta bruscamenteD{\displaystyle D}, alcanzando un pico máximo en un nivel de ruido intermedio, y luego convirtiéndose en una función decreciente deD{\displaystyle D}para valores de ruido elevados.

Supraliminal

La resonancia estocástica supraliminal es una forma particular de resonancia estocástica en la que las fluctuaciones aleatorias , o ruido, proporcionan una ventaja en el procesamiento de señales en un sistema no lineal . A diferencia de la mayoría de los sistemas no lineales en los que se produce resonancia estocástica, la resonancia estocástica supraliminal se produce cuando la intensidad de las fluctuaciones es pequeña en relación con la de una señal de entrada, o incluso pequeña en el caso del ruido aleatorio . No se limita a una señal subliminal, de ahí la aclaración.

Neurociencia, psicología y biología

Se ha observado resonancia estocástica en el tejido neural de los sistemas sensoriales de varios organismos. [ 28 ] Computacionalmente, las neuronas exhiben SR debido a las no linealidades en su procesamiento. La SR aún no se ha explicado completamente en los sistemas biológicos, pero la sincronía neural o coherencia de fase en el cerebro (a través de un amplio espectro de frecuencias que incluye la frecuencia de la onda gamma Winterer G, Ziller M, Dorn H, Frick K, Mulert C, Dahhan N, Herrmann WM, Coppola R. Cortical activation, signal-to-noise ratio and stochastic resonance during information processing in man. Clin Neurophysiol 1999 Jul;110(7):1193-203. doi: 10.1016/s1388-2457(99)00059-0. [ 29 ] ) ha sido sugerida como un posible mecanismo neural para la SR por investigadores que han investigado la percepción de la sensación visual "subconsciente". [ 30 ] Las neuronas individuales in vitro, incluidas las células de Purkinje del cerebelo [ 31 ] y el axón gigante del calamar [ 32 ], también podrían demostrar la resonancia estocástica inversa, cuando la generación de potenciales de acción se inhibe por el ruido sináptico de una varianza particular.

Medicamento

Se han utilizado técnicas basadas en SR para crear una nueva clase de dispositivos médicos para mejorar las funciones sensoriales y motoras, como plantillas vibratorias, especialmente para personas mayores o pacientes con neuropatía diabética o accidente cerebrovascular. [ 33 ]

La resonancia estocástica ha encontrado aplicaciones notables en el campo del procesamiento de imágenes.

Análisis de señales

Un fenómeno relacionado es el tramado , aplicado a señales analógicas antes de la conversión analógica-digital . [ 14 ] La resonancia estocástica puede utilizarse para medir amplitudes de transmitancia por debajo del límite de detección de un instrumento . Si se añade ruido gaussiano a una señal subumbral (es decir, inmensurable), esta puede alcanzar una región detectable. Tras la detección, se elimina el ruido. Se puede obtener una mejora cuádruple en el límite de detección. [ 34 ]

Véase también

Referencias

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