Superficie de clase VII

En matemáticas, las superficies de clase VII son superficies complejas no algebraicas estudiadas por Kodaira ( 1964 , 1968 ) que tienen dimensión de Kodaira − ∞ y primer número de Betti 1. Las superficies mínimas de clase VII (aquellas sin curvas racionales con autointersección − 1) se denominan superficies de clase VII _0. Toda superficie de clase VII es birracional a una única superficie mínima de clase VII, y puede obtenerse a partir de esta superficie mínima mediante la explosión de puntos un número finito de veces. 

El nombre "clase VII" proviene de ( Kodaira 1964 , teorema 21) , que dividió las superficies mínimas en 7 clases numeradas del I ₀ al VII _{0. Sin embargo, la clase VII 0} de Kodaira no tenía la condición de que la dimensión de Kodaira fuera − ∞, sino que tenía la condición de que el género geométrico fuera 0. Como resultado, su clase VII ₀ también incluía otras superficies, como las superficies secundarias de Kodaira , que ya no se consideran de clase VII porque no tienen dimensión de Kodaira − ∞. Las superficies mínimas de la clase VII son la clase numerada "7" en la lista de superficies de ( Kodaira 1968 , teorema 55) .

La irregularidad q es 1, y h ^1,0 = 0. Todos los plurigéneros son 0.

Diamante Hodge:

Las superficies de Hopf son cocientes de C ² − (0,0) por un grupo discreto G que actúa libremente, y tienen números de Betti segundos nulos. El ejemplo más simple es tomar G como los enteros, que actúan como multiplicación por potencias de 2; la superficie de Hopf correspondiente es difeomorfa a S ¹ × S ³ .

Las superficies de Inoue son ciertas superficies de clase VII cuyo recubrimiento universal es C × H , donde H es el semiplano superior (por lo que son cocientes de este por un grupo de automorfismos). Tienen números de Betti segundos nulos.

Las superficies de Inoue-Hirzebruch , las superficies de Enoki y las superficies de Kato dan ejemplos de superficies de tipo VII con b ₂ > 0.

Las superficies mínimas de clase VII con segundo número de Betti b ₂ =0 han sido clasificadas por Bogomolov ( 1976 , 1982 ) , y son superficies de Hopf o superficies de Inoue . Aquellas con b ₂ =1 fueron clasificadas por Nakamura (1984b) bajo la suposición adicional de que la superficie tiene una curva, lo cual fue demostrado posteriormente por Teleman (2005) . 

Una capa esférica global ( Kato 1978 ) es una 3-esfera lisa en la superficie con complemento conexo, cuyo entorno es biholomorfo al entorno de una esfera en C ² . La conjetura de la capa esférica global afirma que todas las superficies de clase VII ₀ con segundo número de Betti positivo poseen una capa esférica global. Las variedades con una capa esférica global son todas superficies de Kato que se comprenden razonablemente bien, por lo que una demostración de esta conjetura conduciría a una clasificación de las superficies de tipo VII.

Una superficie de clase VII con segundo número de Betti positivo b ₂ tiene como máximo b ₂ curvas racionales, y tiene exactamente este número si posee una capa esférica global. Por el contrario, Georges Dloussky, Karl Oeljeklaus y Matei Toma ( 2003 ) demostraron que si una superficie mínima de clase VII con segundo número de Betti positivo b ₂ tiene exactamente b ₂ curvas racionales, entonces posee una capa esférica global. 

Para superficies de tipo VII con número de Betti segundo nulo, las superficies de Hopf primarias poseen una capa esférica global, pero las superficies de Hopf secundarias y las de Inoue no, debido a que sus grupos fundamentales no son cíclicos infinitos. Al explotar puntos en estas últimas superficies, se obtienen superficies de clase VII no mínimas con número de Betti segundo positivo que carecen de capas esféricas.

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• Bogomolov, Fedor A. (1976), "Clasificación de superficies de clase VII ₀ con b ₂ =0" , Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 10 (2): 273– 288, ISSN 0373-2436 , SEÑOR 0427325  
• Bogomolov, Fedor A. (1982), "Superficies de clase VII ₀ y geometría afín", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 46 (4): 710– 761, Bibcode : 1983IzMat..21...31B , doi : 10.1070/IM1983v021n01ABEH001640 , ISSN 0373-2436 , MR 0670164  
• Dloussky, Georges; Oeljeklaus, Karl; Toma, Matei (2003), "Superficies de clase VII ₀ con curvas b ₂ " , The Tohoku Mathematical Journal , Segunda serie, 55 (2): 283– 309, arXiv : math/0201010 , doi : 10.2748/tmj/1113246942 , ISSN 0040-8735 , MR 1979500  
• Kato, Masahide (1978), "Variedades complejas compactas que contienen capas esféricas "globales". I", Actas del Simposio Internacional sobre Geometría Algebraica (Universidad de Kioto, Kioto, 1977) , Tokio: Librería Kinokuniya, págs. 45–84 , MR 0578853  
• Kodaira, Kunihiko (1964), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. I", American Journal of Mathematics , 86 (4), The Johns Hopkins University Press: 751–798 , doi : 10.2307/2373157 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373157 , MR 0187255   
• Kodaira, Kunihiko (1968), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas. IV", American Journal of Mathematics , 90 (4), The Johns Hopkins University Press: 1048–1066 , doi : 10.2307/2373289 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373289 , MR 0239114   
• Nakamura, Iku (1984a), "Sobre superficies de clase VII ₀ con curvas", Inventiones Mathematicae , 78 (3): 393– 443, Bibcode : 1984InMat..78..393N , doi : 10.1007/BF01388444 , ISSN 0020-9910 , SEÑOR 0768987  
• Nakamura, Iku (1984b), "Clasificación de superficies complejas no Kähler", Sociedad Matemática de Japón. Sugaku (Matemáticas) , 36 (2): 110–124 , ISSN 0039-470X , MR 0780359  
• Nakamura, I. (2008), "Estudio sobre superficies VII _{0 ",} Desarrollos recientes en geometría no Kaehler, Sapporo (PDF)
• Teleman, Andrei (2005), "Teoría de Donaldson sobre superficies no kählerianas y superficies de clase VII con b ₂ =1", Inventiones Mathematicae , 162 (3): 493– 521, arXiv : 0704.2638 , Bibcode : 2005InMat.162..493T , doi : 10.1007/s00222-005-0451-2 , ISSN 0020-9910 , MR 2198220