Impedancia característica

Una línea de transmisión se representa con dos cables negros. A una distancia $x$ de la línea, circula una corriente fasorial $I (x)$ por cada cable, y existe una diferencia de potencial $fasorial$ V $(x) entre$ ellos (voltaje inferior menos voltaje superior). Si $Z₀$ es la **impedancia característica** de la línea, entonces $V (x)/ I (x) = Z₀ para una onda que se propaga hacia$ $la$ derecha, o $V (x)/ I (x) =$ $-Z₀ para una onda que se propaga hacia$ $la$ izquierda.

La impedancia característica o impedancia de sobretensión (generalmente escrita como $Z₀$ $)$ de una línea de transmisión uniforme es la relación entre las amplitudes de voltaje y corriente de una onda que se propaga en una dirección a lo largo de la línea, en ausencia de reflexiones en la dirección opuesta. De forma equivalente, puede definirse como la impedancia de entrada de una línea de transmisión cuando su longitud es infinita. La impedancia característica está determinada por la geometría y los materiales de la línea de transmisión y, para una línea uniforme, no depende de su longitud. La unidad del SI para la impedancia característica es el ohmio .

La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es puramente real , sin componente reactiva (véase más abajo ). La energía suministrada por una fuente en un extremo de dicha línea se transmite a través de ella sin disiparse en la propia línea. Una línea de transmisión de longitud finita (con o sin pérdidas) que termina en un extremo con una impedancia igual a la impedancia característica se comporta para la fuente como una línea de transmisión infinitamente larga y no produce reflexiones.

Modelo de línea de transmisión

La impedancia característica $Z (ω)$ de una línea de transmisión infinita a una frecuencia angular $ω$ dada es la relación entre la tensión y la corriente de una onda sinusoidal pura de la misma frecuencia que se propaga a lo largo de la línea. Esta relación también se cumple para líneas de transmisión finitas hasta que la onda llega al final de la línea. Generalmente, una onda se refleja de vuelta a lo largo de la línea en dirección opuesta. Cuando la onda reflejada llega a la fuente, se refleja una vez más, sumándose a la onda transmitida y modificando la relación entre la tensión y la corriente en la entrada, lo que provoca que dicha relación ya no sea igual a la impedancia característica. Esta nueva relación, que incluye la energía reflejada, se denomina impedancia de entrada de esa línea de transmisión y carga en particular.

La impedancia de entrada de una línea infinita es igual a la impedancia característica, ya que la onda transmitida nunca se refleja en su extremo. De forma equivalente, la impedancia característica de una línea es aquella que, al terminar un tramo de línea de longitud arbitraria en su salida, produce una impedancia de entrada de igual valor . Esto se debe a que no hay reflexión en una línea terminada en su propia impedancia característica.

Aplicando el modelo de línea de transmisión basado en las ecuaciones del telegrafista , tal como se derivan a continuación, ^{[ 1 ]} la expresión general para la impedancia característica de una línea de transmisión es: $Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\,}}$ dónde

Esta expresión se extiende a CC haciendo que $ω$ tienda a 0.

Una sobretensión en una línea de transmisión finita presenta una impedancia $Z₀$ antes de que se produzcan reflexiones; por lo tanto, $la$ impedancia de sobretensión es un término alternativo para la impedancia característica . Si bien se asume una línea infinita, dado que todas las magnitudes se expresan por unidad de longitud, las partes de "por unidad de longitud" de todas las unidades se cancelan, y la impedancia característica es independiente de la longitud de la línea de transmisión.

Los fasores de tensión y corriente en la línea están relacionados por la impedancia característica de la siguiente manera: $Z_{\text{0}}={\frac {V_{(+)}}{I_{(+)}}}=-{\frac {V_{(-)}}{I_{(-)}}}$ donde los subíndices (+) y ( − ) indican las constantes correspondientes a las ondas que viajan hacia adelante (+) y hacia atrás ( − ). La expresión de la derecha tiene signo negativo porque la corriente en la onda que viaja hacia atrás tiene dirección opuesta a la corriente en la onda que viaja hacia adelante.

Admitancia característica

Una línea de transmisión se representa como dos cables negros. A una distancia x de la línea, hay un fasor de corriente *I(x)* que viaja a través de cada cable, y hay un fasor de diferencia de voltaje *V(x)* entre los cables (voltaje inferior menos voltaje superior). Si $Y_{0}$ es la admisión característica de la línea, entonces $I(x)/V(x)=Y_{0}$ para una onda que se mueve hacia la derecha, o $I(x)/V(x)=-Y_{0}$ para una onda que se mueve hacia la izquierda.

{\displaystyle Y_{0}} — Una línea de transmisión se representa como dos cables negros. A una distancia x de la línea, hay un fasor de corriente *I(x)* que viaja a través de cada cable, y hay un fasor de diferencia de voltaje *V(x)* entre los cables (voltaje inferior menos voltaje superior). Si $Y_{0}$ es la admisión característica de la línea, entonces $I(x)/V(x)=Y_{0}$ para una onda que se mueve hacia la derecha, o $I(x)/V(x)=-Y_{0}$ para una onda que se mueve hacia la izquierda.

La admitancia característica es la inversa matemática de la impedancia característica. La expresión general para la admitancia característica de una línea de transmisión es la siguiente:

Y_{0}={\sqrt {\frac {G+j\omega C}{R+j\omega L}}}

Los fasores de corriente y tensión en la línea están relacionados por la admitancia característica de la siguiente manera:

{\frac {I^{+}}{V^{+}}}=Y_{0}=-{\frac {I^{-}}{V^{-}}}

donde los superíndices $+$ y $-$ representan ondas que viajan hacia adelante y hacia atrás, respectivamente.

Derivación

Utilizando la ecuación del telegrafista

Las ecuaciones diferenciales que describen la dependencia del voltaje y la corriente con respecto al tiempo y el espacio son lineales, de modo que una combinación lineal de soluciones es también una solución. Esto significa que podemos considerar soluciones con una dependencia temporal. $e^{j\omega t}$ Esto permite factorizar la dependencia temporal, dejando una ecuación diferencial ordinaria para los coeficientes, que serán fasores que dependen únicamente de la posición (espacio). Además, los parámetros pueden generalizarse para que dependan de la frecuencia . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Consideremos un problema en estado estacionario tal que el voltaje y la corriente se puedan escribir como: ${\begin{aligned}v(x,t)&=V(x)e^{j\omega t}\\[.5ex]i(x,t)&=I(x)e^{j\omega t}\end{aligned}}$ Consideremos que la dirección positiva para $V$ e $I$ en el bucle es en sentido horario. Sustitución en las ecuaciones del telégrafo y factorización de la dependencia temporal. $e^{j\omega t}$ ahora da: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}&=-\left(R+j\omega L\right)I=-ZI,\\[.5ex]{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}&=-\left(G+j\omega C\right)V=-YV,\end{aligned}}$ con impedancia $Z$ y admitancia $Y.$ La derivación y sustitución de estas dos ecuaciones diferenciales de primer orden da como resultado dos ecuaciones diferenciales de segundo orden desacopladas: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} x^{2}}}&=k^{2}V,\\[.5ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}&=k^{2}I,\end{aligned}}$ con $k 2 = ZY =$ $(R + jωL)(G + jωC)$ y $k = α + jβ$ llamada constante de propagación .

La solución a este tipo de ecuaciones se puede escribir como: ${\begin{aligned}V(x)&=Ae^{-kx}+Be^{kx}\\[.5ex]I(x)&=A_{1}e^{-kx}+B_{1}e^{kx}\end{aligned}}$ donde $A$ , $A₁$ , $B$ y $B₁$ $son$ las constantes de integración . Sustituyendo estas constantes en el sistema $de$ primer orden se obtiene: ${\begin{aligned}A_{1}&={\hphantom {-}}A{\frac {k}{R+j\omega L}}\\[.5ex]B_{1}&=-B{\frac {k}{R+j\omega L}}\end{aligned}}$ dónde ${\frac {A}{A_{1}}}=-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {R+j\omega L}{k}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {Z}{Y}}}=Z_{0}.$ Se puede observar que la constante $Z₀ , definida en las ecuaciones anteriores,$ tiene dimensiones de impedancia (relación entre voltaje y corriente) y es función de las constantes primarias de la línea y la frecuencia de operación. Se denomina impedancia característica de la línea de transmisión. ^{[ 1 ]}

La solución general de las ecuaciones del telegrafista se puede escribir ahora como: ${\begin{aligned}v(x,t)&=V(x)e^{j\omega t}=Ae^{-\alpha x}e^{j(\omega t-\beta x)}+Be^{\alpha x}e^{j(\omega t+\beta x)}\\[.5ex]i(x,t)&=I(x)e^{j\omega t}={\frac {A}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}e^{j(\omega t-\beta x)}-{\frac {B}{Z_{0}}}e^{\alpha x}e^{j(\omega t+\beta x)}\end{aligned}}$ Tanto la solución para el voltaje como para la corriente pueden considerarse como una superposición de dos ondas viajeras en las direcciones $x (+)$ y $x (-) .$

Para líneas de transmisión típicas, construidas cuidadosamente con alambre de baja resistencia de pérdida $R$ y pequeña conductancia de fuga de aislamiento $G$ , y utilizadas para altas frecuencias, tanto la reactancia inductiva $ωL$ como la admitancia capacitiva $ωC$ serán grandes. En estos casos, la constante de fase y la impedancia característica suelen ser muy cercanas a números reales. ${\begin{aligned}\beta &={\text{Im}}\{k\}\approx \omega {\sqrt {LC}}\\[.5ex]Z_{0}&\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}\end{aligned}}$ Los fabricantes elaboran cables comerciales que se aproximan lo máximo posible a esta condición en un amplio rango de frecuencias.

Como caso límite de redes de escalera infinitas

Intuición

Impedancia iterativa de una escalera infinita de secciones de circuitos en L

Impedancia iterativa del circuito L finito equivalente

Consideremos una red en escalera infinita que consta de una impedancia en serie $Z$ y una admitancia en paralelo $Y.$ Sea su impedancia de entrada $Z IT$ . Si se agrega un nuevo par de impedancia $Z$ y admitancia $Y$ delante de la red, su impedancia de entrada $Z IT$ permanece sin cambios ya que la red es infinita. Por lo tanto, se puede reducir a una red finita con una impedancia en serie $Z$ y dos impedancias en paralelo $1/ Y$ y $Z IT$ . Su impedancia de entrada viene dada por la expresión ^{[ 4 ]}^{[ 5 ].} $Z_{\mathrm {IT} }=Z+\left({\frac {\ 1\ }{Y}}\parallel Z_{\mathrm {IT} }\right)\$ que también se conoce como su impedancia iterativa . Su solución es: $Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}\pm {\sqrt {{Z^{2} \over 4}+{Z \over Y}}}\$

Para una línea de transmisión, puede considerarse como un caso límite de una red en escalera infinita con impedancia y admitancia infinitesimales a una relación constante. ^{[ 6 ]}^{[ 5 ]} Tomando la raíz positiva, esta ecuación se simplifica a: $\ Z_{\mathrm {IT} }={\sqrt {{\frac {\ Z\ }{Y}}\ }}\$

Derivación

Utilizando esta idea, existen muchas derivaciones similares en varios libros ^{[ 6 ]}^{[ 5 ]} y son aplicables tanto a líneas sin pérdida como con pérdida. ^{[ 7 ]}

Aquí seguimos un enfoque publicado por Tim Healy. ^{[ 8 ]} La línea se modela mediante una serie de segmentos diferenciales con elementos diferenciales en serie ( $R d x, L d x$ ) y elementos en paralelo ( $C d x, G d x$ ) (como se muestra en la figura al comienzo del artículo). La impedancia característica se define como la relación entre la tensión de entrada y la corriente de entrada de una longitud semiinfinita de línea. Llamamos a esta impedancia $Z 0$ . Es decir, la impedancia vista desde la izquierda de la línea es $Z 0$ . Pero, por supuesto, si recorremos la línea una longitud diferencial $d x$ , la impedancia hacia la línea sigue siendo $Z 0$ . Por lo tanto, podemos decir que la impedancia vista desde el extremo izquierdo de la línea es igual a $Z 0$ en paralelo con $C d x$ y $G d x$ , todo lo cual está en serie con $R d x$ y $L d x$ . Por lo tanto: ${\begin{aligned}&Z_{0}=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+{\frac {1}{(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x+{\frac {1}{Z_{0}}}}}\\&Z_{0}=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+{\frac {Z_{0}}{Z_{0}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x+1}}\\&Z_{0}+Z_{0}^{2}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x\,(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}\end{aligned}}$

Los términos $Z 0$ añadidos se cancelan, dejando $Z_{0}^{2}(G+j\omega C)\operatorname {d} \!x=(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x+Z_{0}(G+j\omega C)(R+j\omega L)(\mathop {} \!\operatorname {d} \!x)^{2}$

Los términos de primera potencia $d x$ son los de mayor orden restantes. Dividiendo el factor común de $d x$ y dividiendo por el factor $(G + jωC)$ , obtenemos $Z_{0}^{2}={\frac {(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}+Z_{0}(R+j\omega L)\operatorname {d} \!x.$

En comparación con los factores cuyo $d x$ se divide, el último término, que aún lleva un factor restante $d x$ , es infinitesimal en relación con los otros términos, ahora finitos, por lo que podemos descartarlo. Eso lleva a $Z_{0}=\pm {\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}\;.$

Invertir el signo $\pm$ aplicado a la raíz cuadrada tiene el efecto de invertir la dirección del flujo de corriente.

Línea sin pérdidas

El análisis de líneas sin pérdidas proporciona una aproximación precisa para las líneas de transmisión reales, lo que simplifica las matemáticas consideradas en el modelado de líneas de transmisión. Una línea sin pérdidas se define como una línea de transmisión que no tiene resistencia de línea ni pérdidas dieléctricas . Esto implica que los conductores se comportan como conductores perfectos y el dieléctrico como un dieléctrico perfecto. Para una línea sin pérdidas, $R$ y $G$ son ambos cero, por lo que la ecuación para la impedancia característica derivada anteriormente se reduce a: $Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}\,.$

En particular, $Z₀ ya$ no depende de la frecuencia. La expresión anterior es completamente real, puesto que el término imaginario $j$ se ha cancelado, lo que implica que $Z₀$ es puramente resistivo. Para una línea sin pérdidas terminada en $Z₀ , no hay pérdida de corriente a través de la línea, por lo que la tensión permanece constante a lo largo$ $de la misma. El modelo$ $de$ línea sin pérdidas es una aproximación útil para muchos casos prácticos, como líneas de transmisión de bajas pérdidas y líneas de transmisión de alta frecuencia. En ambos casos, $R$ y $G$ son mucho menores que $ωL$ y $ωC$ , respectivamente, y por lo tanto pueden despreciarse.

Las soluciones a las ecuaciones de transmisión de línea larga incluyen las porciones incidentes y reflejadas de la tensión y la corriente: ${\begin{aligned}V&={\frac {V_{r}+I_{r}Z_{c}}{2}}e^{\gamma x}+{\frac {V_{r}-I_{r}Z_{c}}{2}}e^{-\gamma x}\\[1ex]I&={\frac {V_{r}/Z_{c}+I_{r}}{2}}e^{\gamma x}-{\frac {V_{r}/Z_{c}-I_{r}}{2}}e^{-\gamma x}\end{aligned}}$ Cuando la línea termina con su impedancia característica, las partes reflejadas de estas ecuaciones se reducen a cero y las soluciones de voltaje y corriente a lo largo de la línea de transmisión son totalmente incidentes. Sin reflexión de la onda, la carga alimentada por la línea se integra efectivamente en ella, haciéndola parecer una línea infinita. En una línea sin pérdidas, esto implica que el voltaje y la corriente permanecen iguales en todo su recorrido. Sus magnitudes se mantienen constantes a lo largo de la línea y solo se desfasan un ángulo.

Carga de impedancia de sobretensión

En la transmisión de energía eléctrica , la impedancia característica de una línea de transmisión se expresa en términos de la carga de impedancia de sobretensión ( SIL ), o carga natural, que es la carga de potencia en la que no se produce ni se absorbe potencia reactiva : $\mathrm {SIL} ={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}$ donde $V LL$ es la tensión eficaz (RMS) entre líneas en voltios .

Con una carga inferior a su SIL, la tensión en la carga será mayor que la tensión del sistema. Por encima de este valor, la tensión de carga disminuye. El efecto Ferranti describe la ganancia de tensión hacia el extremo remoto de una línea de transmisión con carga muy ligera (o en un extremo abierto). Los cables subterráneos suelen tener una impedancia característica muy baja, lo que resulta en un SIL que generalmente supera el límite térmico del cable.

Ejemplos prácticos

La impedancia característica de los cables coaxiales (coax) se elige comúnmente para ser50 Ω para aplicaciones de RF y microondas . El cable coaxial para aplicaciones de vídeo suele ser75 Ω por su menor pérdida .

Véase también

Ley circuital de Ampère : concepto en el electromagnetismo clásico.
Impedancia acústica característica : oposición que un sistema presenta a una presión acústica. Páginas que muestran breves descripciones de objetivos de redirección.
Admitancia característica – Propiedad de un circuito eléctrico Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección
Terminación eléctrica : adaptación de impedancia de la línea de transmisión
impedancia iterativa
Ecuaciones de Maxwell : ecuaciones que describen el electromagnetismo clásico.
Impedancia de onda : constante relacionada con la propagación de ondas electromagnéticas en un medio.
Diagrama de Smith : calculadora gráfica utilizada en ingeniería eléctrica.
Tela espacial : plano hipotético con una resistividad de 376,7 ohmios por cuadrado.

Referencias

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Fuentes

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Enlaces externos

Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C . Administración de Servicios Generales . Archivado del original el 22 de enero de 2022.

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