haz espinorial simpléctico

En geometría diferencial , dada una estructura metapléctica${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\a M\,}$en un${\displaystyle 2n}$variedad simpléctica dimensional${\displaystyle (M,\omega),\,}$El fibrado espinorial simpléctico es el fibrado del espacio de Hilbert.${\displaystyle \pi _{\mathbf {Q} }\colon {\mathbf {Q} }\a M\,}$asociada a la estructura metapléctica a través de la representación metapléctica. La representación metapléctica del grupo metapléctico —el recubrimiento doble del grupo simpléctico— da lugar a un fibrado vectorial de rango infinito ; esta es la construcción de espinores simplécticos debida a Bertram Kostant . ^{[ 1 ]}

Una sección del haz espinorial simpléctico${\displaystyle {\mathbf {Q} }\,}$se denomina campo espinorial simpléctico .

Dejar${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_ {\mathbf {P} })}$ser una estructura metapléctica en una variedad simpléctica${\displaystyle (M,\omega),\,}$es decir, una elevación equivariante del fibrado de marcos simplécticos${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\a M\,}$con respecto a la doble cubierta${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$

El haz espinorial simpléctico${\displaystyle {\mathbf {Q} }\,}$se define ^{[ 2 ]} como el fibrado del espacio de Hilbert

${\displaystyle {\mathbf {Q} }={\mathbf {P} }\times _{\mathfrak {m}}L^{2}({\mathbb {R} }^{n})\,}$

asociada a la estructura metapléctica${\displaystyle {\mathbf {P} }}$a través de la representación metapléctica${\displaystyle {\mathfrak {m}}\colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {U} }(L^{2}({\mathbb {R} }^{n})),\,}$también llamada la representación de Segal-Shale-Weil ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] de}${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$Aquí, la notación${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$denota el grupo de operadores unitarios que actúan sobre un espacio de Hilbert.${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$

La representación de Segal-Shale-Weil ^{[ 6 ]} es una representación unitaria de dimensión infinita del grupo metapléctico.${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$en el espacio de todas las funciones cuadradas integrables de Lebesgue de valor complejo${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }^{n}).\,}$Debido a su dimensión infinita, la representación de Segal-Shale-Weil no es tan fácil de manejar.

• Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0