Norma T

Una t-norma se denomina continua si es continua como función, en la topología de intervalo usual en [0,  1] ^² . (Lo mismo ocurre con la continuidad por la izquierda y por la derecha ).

Una t-norma se denomina estricta si es continua y estrictamente monótona .

Una t-norma se llama nilpotente si es continua y cada x en el intervalo abierto (0,  1) es nilpotente , es decir, existe un número natural n tal que x${\displaystyle *}$...${\displaystyle *}$x ( n  veces) es igual a  0.

Una norma t${\displaystyle *}$Se denomina arquimediano si posee la propiedad arquimediana , es decir, si para cada x , y en el intervalo abierto (0,  1) existe un número natural n tal que x${\displaystyle *}$...${\displaystyle *}$x ( n  veces) es menor o igual que y .

El ordenamiento parcial usual de las t-normas es puntual , es decir,

T ₁ ≤ T ₂  si  T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) para todo a , b en [0,  1].

En cuanto a las funciones, las t-normas puntuales mayores a veces se consideran más fuertes que las puntuales menores. Sin embargo, en la semántica de las lógicas difusas de t-normas , cuanto mayor es una t-norma, más débil es la conjunción que representa (en términos de fuerza lógica).

Aunque las funciones reales de dos variables pueden ser continuas en cada variable sin ser continuas en [0,  1] ^² , esto no ocurre con las t-normas: una t-norma T es continua si y solo si es continua en una variable, es decir, si y solo si las funciones f _y ( x ) = T( x , y ) son continuas para cada y en [0,  1]. Teoremas análogos se aplican a la continuidad izquierda y derecha de una t-norma.

Una t-norma continua es arquimediana si y solo si 0 y 1 son sus únicos idempotentes .

Una t-norma arquimediana continua es estricta si 0 es su único elemento nilpotente ; de ​​lo contrario, es nilpotente. Además, por definición, una t-norma arquimediana continua T es nilpotente si y solo si cada x < 1 es un elemento nilpotente de T. Por lo tanto, con una t-norma arquimediana continua T, todos o ninguno de los elementos de (0, 1) son nilpotentes. Si todos los elementos de (0, 1) son nilpotentes, entonces la t-norma es isomorfa a la t-norma de Łukasiewicz; es decir, existe una función estrictamente creciente f tal que    

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

Si, por otro lado, no existen elementos nilpotentes de T, la t-norma es isomorfa a la t-norma producto. En otras palabras, todas las t-normas nilpotentes son isomorfas, siendo la t-norma de Łukasiewicz su representante prototípico; y todas las t-normas estrictas son isomorfas, siendo la t-norma producto su ejemplo prototípico. La t-norma de Łukasiewicz es isomorfa a la t-norma producto socavada en 0,25, es decir, a la función p ( x , y ) = max(0,25, x ⋅ y ) en [0,25, 1] ^​​2 .    

Para cada t-norma continua, el conjunto de sus idempotentes es un subconjunto cerrado de [0,  1]. Su complemento —el conjunto de todos los elementos que no son idempotentes— es, por lo tanto, una unión de una cantidad numerable de intervalos abiertos no superpuestos. La restricción de la t-norma a cualquiera de estos intervalos (incluidos sus extremos) es arquimediana y, por lo tanto, isomorfa a la t-norma de Łukasiewicz o a la t-norma producto. Para tales x , y que no caen en el mismo intervalo abierto de no idempotentes, la t-norma se evalúa como el mínimo de x e y . Estas condiciones proporcionan una caracterización de las t-normas continuas, denominada teorema de Mostert-Shields , ya que toda t-norma continua puede descomponerse de esta manera, y la construcción descrita siempre produce una t-norma continua. El teorema también puede formularse de la siguiente manera:

Una t-norma es continua si y solo si es isomorfa a una suma ordinal de la t-norma mínima, la t-norma de Łukasiewicz y la t-norma producto.

No se conoce un teorema de caracterización similar para las t-normas no continuas (ni siquiera para las continuas por la izquierda); solo se han encontrado algunos métodos no exhaustivos para la construcción de t-normas .

Si${\displaystyle \Rightarrow }$es el residuo de una t-norma continua por la izquierda${\displaystyle \top }$, entonces

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

En consecuencia, para todo x , y en el intervalo unitario,

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$si y solo si${\displaystyle x\leq y}$

y

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

Si${\displaystyle *}$es una t-norma continua por la izquierda y${\displaystyle \Rightarrow }$su residuo, entonces

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

Si${\displaystyle *}$es continua, entonces la igualdad se cumple en la primera.

Si x ≤ y , entonces R( x , y ) = 1 para cualquier residuo R. Por lo tanto, la siguiente tabla proporciona los valores de los residuos prominentes solo para x > y .

Las t-conormas importantes son aquellas duales a las t-normas prominentes:

• t-conorma máxima${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$La t-conorma, dual a la t-norma mínima, es la t-conorma más pequeña (véanse las propiedades de las t-conormas más adelante). Es la semántica estándar para la disyunción en la lógica difusa de Gödel y para la disyunción débil en todas las lógicas difusas basadas en t-normas.

• Suma probabilística${\displaystyle \bot _{\mathrm {suma} }(a,b)=a+ba\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$Es dual a la t-norma producto. En teoría de la probabilidad, expresa la probabilidad de la unión de eventos independientes . También es la semántica estándar para la disyunción fuerte en extensiones de la lógica difusa producto en las que es definible (por ejemplo, aquellas que contienen negación involutiva).

• Suma acotada${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$es dual a la t-norma de Łukasiewicz. Es la semántica estándar para la disyunción fuerte en la lógica difusa de Łukasiewicz .

• t-conorma drástica

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{si }}a=0\\a&{\mbox{si }}b=0\\1&{\mbox{en otro caso,}}\end{cases}}}$

Dual a la t-norma drástica, es la t-conorma más grande (véanse las propiedades de las t-conormas más abajo).

• Máximo nilpotente , dual al mínimo nilpotente:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{si }}a+b<1\\1&{\mbox{en otro caso.}}\end{cases}}}$

• Suma de Einstein (compárese con la fórmula de suma de velocidades en la relatividad especial )

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

es un dual de una de las t-normas de Hamacher .

Muchas propiedades de las t-conormas se pueden obtener dualizando las propiedades de las t-normas, por ejemplo:

• Para cualquier t-conorma ⊥, el número 1 es un elemento anulador: ⊥( a , 1) = 1, para cualquier a en [0,  1].
• De forma dual a las t-normas, todas las t-conormas están acotadas por la t-conorma máxima y la t-conorma drástica:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, para cualquier t-conorma${\displaystyle \bot }$y todos los a , b en [0,  1].

En particular, tenemos que: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, para todo a , b en [0,  1].

Otras propiedades resultan de las relaciones entre las t-normas y las t-conormas o de su interacción con otros operadores, por ejemplo:

• Una t-norma T se distribuye sobre una t-conorma ⊥, es decir,

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) para todo x , y , z en [0,  1],

si y solo si ⊥ es la t-conorma máxima. De manera dual, cualquier t-conorma se distribuye sobre el mínimo, pero no sobre ninguna otra t-norma.

Un negador${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$es una aplicación monótonamente decreciente tal que${\displaystyle n(0)=1}$y${\displaystyle n(1)=0}$. Un negador n se llama

• estricto en caso de monotonía estricta, y
• fuerte si es estricto e involutivo , es decir,${\displaystyle n(n(x))=x}$a pesar de${\displaystyle x}$en [0, 1].

El negador estándar (canónico) es ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$, que es a la vez estricto y fuerte. Como el negador estándar se utiliza en la definición anterior de un par t-norma/t-conorma, esto se puede generalizar de la siguiente manera:

Una tripleta de De Morgan es una tripleta (T,⊥, n ) tal que ^{[ 3 ]}

1. T es una norma t
2. ⊥ es una t-conorma según la definición axiomática de t-conormas mencionada anteriormente.
3. n es un negador fuerte
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$.