Tabla de congruencias

En matemáticas, una congruencia es una relación de equivalencia entre los números enteros . En las siguientes secciones se enumeran congruencias relacionadas con los números primos que son importantes o interesantes.

Existen otras congruencias relacionadas con los números primos que proporcionan condiciones necesarias y suficientes sobre la primalidad de ciertas subsucesiones de los números naturales. Muchas de estas afirmaciones alternativas que caracterizan la primalidad están relacionadas con el teorema de Wilson o son reformulaciones de este resultado clásico expresado en términos de otras variantes especiales de funciones factoriales generalizadas . Por ejemplo, en ^[1] se dan nuevas variantes del teorema de Wilson expresado en términos de hiperfactoriales, subfactoriales y superfactoriales .

Para números enteros , tenemos la siguiente forma del teorema de Wilson: ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle (k-1)!(pk)!\equiv (-1)^{k}{\pmod {p}}\iff p{\text{ primo. }}}$

Si es impar, tenemos que ${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle \left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}\equiv (-1)^{(p+1)/2}{\pmod {p}}\iff p{\text{ un primo impar. }}}$

El teorema basado en la congruencia de Clement caracteriza los pares de primos gemelos de la forma a través de las siguientes condiciones: ${\estilo de visualización (p,p+2)}$

${\displaystyle 4[(p-1)!+1]\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}\iff p,p+2{\text{ ambos son primos. }}}$

El artículo original de PA Clement de 1949 ^[2] proporciona una prueba de este interesante criterio teórico de números elementales para la primalidad gemela basada en el teorema de Wilson. Otra caracterización dada en el artículo de Lin y Zhipeng establece que

${\displaystyle 2\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}(5p+2)\equiv 0\iff p,p+2{\text{ ambos son primos. }}}$

Los pares primos de la forma para algunos incluyen los casos especiales de los primos primos (cuando ) y los primos sexys (cuando ). Tenemos caracterizaciones elementales basadas en la congruencia de la primalidad de tales pares, probadas por ejemplo en el artículo. ^[3] Ejemplos de congruencias que caracterizan a estos pares primos incluyen ${\estilo de visualización (p,p+2k)}$${\displaystyle k\geq 1}$${\estilo de visualización k=2}$${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle 2k(2k)![(p-1)!+1]\equiv [1-(2k)!]p{\pmod {p(p+2k)}}\iff p,p+2k{\text{ ambos son primos, }}}$

y la caracterización alternativa cuando es impar tal que la dada por ${\estilo de visualización p}$${\displaystyle p\no {\mid }(2k-1)!!^{2}}$

${\displaystyle 2k(2k-1)!!^{2}\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}\left[(2k-1)!!^{2}(p+2k)-(-4)^{k}\cdot p\right]\equiv 0\iff p,p+2k{\text{ son ambos primos. }}}$

Existen también otras caracterizaciones basadas en la congruencia de la primalidad de los triples y de los grupos primos más generales (o tuplas primos), que normalmente se prueban a partir del teorema de Wilson. ^[4] ).