Teorema de mansedumbre

En matemáticas , el teorema de domesticidad establece que toda 3-variedad hiperbólica completa con un grupo fundamental finitamente generado es topológicamente domesticada , es decir, homeomorfa al interior de una 3-variedad compacta .

El teorema de docilidad fue conjeturado por Marden (1974), demostrado por Agol (2004) e, independientemente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las 3-variedades hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianos y el teorema de laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .

La domesticidad topológica puede considerarse como una propiedad de los extremos de la variedad, es decir, que tienen una estructura de producto local. Una afirmación análoga es bien conocida en dos dimensiones, es decir, para superficies . Sin embargo, como lo demuestra el ejemplo de la esfera con cuernos de Alexander , existen incrustaciones salvajes entre 3-variedades, por lo que esta propiedad no es automática.

La conjetura fue planteada en forma de pregunta por Albert Marden , quien demostró que cualquier variedad hiperbólica 3-variedad geométricamente finita es topológicamente dócil. La conjetura también fue llamada conjetura de Marden o conjetura de los extremos dóciles .

Se había producido un progreso constante en la comprensión de la mansedumbre antes de que se resolviera la conjetura. Thurston , Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky y Ohshika habían obtenido resultados parciales. ^{[ cita requerida ]} Bonahon había obtenido una condición suficiente importante para la mansedumbre en términos de escisiones del grupo fundamental . ^{[ cita requerida ]}

La conjetura fue demostrada en 2004 por Ian Agol y, de forma independiente, por Danny Calegari y David Gabai. La prueba de Agol se basa en el uso de variedades de curvatura negativa pinzada y en el truco de Canary de "diskbusting" que permite reemplazar un extremo compresible por un extremo incompresible, para lo cual la conjetura ya ha sido demostrada. La prueba de Calegari-Gabai se centra en la existencia de ciertas superficies cerradas, no curvadas positivamente, que ellos llaman "shrinkwrapped".

• Colector domesticado
• Topología domesticada

• Agol, Ian (2004), Domesticación de variedades hiperbólicas de 3 dimensiones , arXiv : math.GT/0405568.
• Calegari, Danny ; Gabai, David (2006), "Envoltura retráctil y la domesticación de las variedades hiperbólicas de 3 dimensiones", Journal of the American Mathematical Society , 19 (2): 385–446, arXiv : math/0407161 , doi :10.1090/S0894-0347-05-00513-8, MR  2188131.
• Gabai, David (2009), "Geometría hiperbólica y topología de 3 variedades", en Mrowka, Tomasz S. ; Ozsváth, Peter S. (eds.), Topología de baja dimensión, IAS/Park City Math. Ser., vol. 15, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 73–103, MR  2503493
• Mackenzie, Dana (2004), "Domar la jungla hiperbólica podando sus bordes rebeldes", Science , 306 (5705): 2182–2183, doi :10.1126/science.306.5705.2182, PMID  15618501.
• Marden, Albert (1974), "La geometría de los grupos kleinianos finitamente generados", Annals of Mathematics , Segunda serie, 99 : 383–462, doi :10.2307/1971059, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971059, MR  0349992, Zbl  0282.30014
• Marden, Albert (2007), Círculos exteriores: una introducción a las 3-variedades hiperbólicas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7, Sr.  2355387.