formalismo tannakiano

En matemáticas , una categoría tannakiana es un tipo particular de categoría monoidal C , dotada de una estructura adicional respecto a un cuerpo K dado . La función de estas categorías C es generalizar la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K. Se han realizado, o podrían realizarse, numerosas aplicaciones importantes de esta teoría en la búsqueda de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica y la teoría de números contemporáneas .

El nombre proviene de Tadao Tannaka y la dualidad Tannaka-Krein , una teoría sobre grupos compactos G y su teoría de representación . La teoría se desarrolló inicialmente en la escuela de Alexander Grothendieck . Posteriormente, Pierre Deligne la revisó y le introdujo algunas simplificaciones. El modelo de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck , que trata sobre representaciones de permutaciones finitas de grupos G que son grupos profinitos .

La esencia de la teoría radica en que el functor fibra Φ de la teoría de Galois se reemplaza por un functor tensorial exacto y fiel F de C a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre K. El grupo de transformaciones naturales de Φ en sí mismo, que resulta ser un grupo profinito en la teoría de Galois, se reemplaza por el grupo G de transformaciones naturales de F en sí mismo, que respetan la estructura tensorial. En general, este no es un grupo algebraico, sino un esquema de grupo más general que es un límite inverso de grupos algebraicos ( grupo proalgebraico ), y se encuentra entonces que C es equivalente a la categoría de representaciones lineales de dimensión finita de G.

De forma más general, puede ser que los functores de fibra F como los anteriores solo existan para categorías de espacios vectoriales de dimensión finita sobre campos de extensión no triviales L / K . En tales casos, el esquema de grupo G se reemplaza por un gerbe${\displaystyle {\mathcal {G}}}$en el sitio fpqc de Spec( K ), y C es entonces equivalente a la categoría de representaciones (de dimensión finita) de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Sea K un cuerpo y C una categoría tensorial rígida abeliana K -lineal (es decir, una categoría monoidal simétrica ) tal que${\displaystyle \mathrm {Fin} (\mathbf {1} )\cong K}$Entonces C es una categoría de Tannakian (sobre K ) si existe un cuerpo de extensión L de K tal que existe un funtor tensorial exacto y fiel K -lineal (es decir, un funtor monoidal fuerte ) F de C a la categoría de espacios vectoriales L de dimensión finita . Una categoría de Tannakian sobre K es neutral si existe tal funtor tensorial exacto y fiel F con L=K . ^{[ 1 ]}

La construcción tannakiana se utiliza en las relaciones entre la estructura de Hodge y la representación l-ádica . Moralmente , la filosofía de los motivos nos dice que la estructura de Hodge y la representación de Galois asociada a una variedad algebraica están relacionadas entre sí. Los grupos algebraicos estrechamente relacionados, el grupo de Mumford-Tate y el grupo motivacional de Galois , surgen de categorías de estructuras de Hodge, categorías de representaciones de Galois y motivos a través de categorías tannakianas. La conjetura de Mumford-Tate propone que los grupos algebraicos que surgen de la estructura de Hodge y la representación de Galois mediante categorías tannakianas son isomorfos entre sí salvo componentes conexas.

Esas áreas de aplicación están estrechamente relacionadas con la teoría de los motivos . Otro ámbito en el que se han utilizado las categorías de Tannakian es en relación con la conjetura de la p-curvatura de Grothendieck-Katz ; en otras palabras, en la delimitación de grupos de monodromía .

La equivalencia geométrica de Satake establece una equivalencia entre las representaciones del grupo dual de Langlands.${\displaystyle {}^{L}G}$de un grupo reductivo G y ciertos haces perversos equivariantes en la grassmanniana afín asociada a G. Esta equivalencia proporciona una construcción no combinatoria del grupo dual de Langlands. Se demuestra mostrando que la categoría de haces perversos mencionada es una categoría tannakiana e identificando su grupo dual de Tannaka con${\displaystyle {}^{L}G}$.

Wedhorn (2004) ha establecido resultados de dualidad de Tannaka parciales en la situación en la que la categoría es R -lineal, donde R ya no es un cuerpo (como en la dualidad de Tannaka clásica), sino ciertos anillos de valuación . Iwanari (2018) ha iniciado y desarrollado la dualidad de Tannaka en el contexto de las categorías infinitas .

• Deligne, Pierre (2007) [1990], "Catégories tannakiennes" , The Grothendieck Festschrift , vol.  II, Birkhauser, págs. 111-195 , ISBN  9780817645755
• Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), "Categorías tannakianas" , en Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arturo; Shih, Kuang-yen (eds.), Ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura , Lecture Notes in Mathematics, vol.  900, Springer, págs. 101 a 228, ISBN  978-3-540-38955-2

• Iwanari, Isamu (2018), "Dualidad de Tannaka y categorías infinitas estables", Journal of Topology , 11 (2): 469-526, arXiv : 1409.3321 , doi : 10.1112/topo.12057
• Saavedra Rivano, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes , Lecture Notes in Mathematics, vol.  265, Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, MR 0338002 

• Wedhorn, Torsten (2004), "Sobre la dualidad tannakiana en anillos de valuación", Journal of Algebra , 282 (2): 575– 609, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.07.024 , MR 2101076 

• M. Larsen y R. Pink. Determinación de representaciones a partir de dimensiones invariantes. Invent. math., 102:377–389, 1990.