Anillo tautológico

En geometría algebraica , el anillo tautológico es el subanillo del anillo de Chow del espacio de módulos de curvas generado por clases tautológicas. Estas son clases obtenidas a partir de 1 mediante la aplicación directa a lo largo de varios morfismos descritos más adelante. El anillo de cohomología tautológica es la imagen del anillo tautológico bajo la aplicación de ciclos (del anillo de Chow al anillo de cohomología ).

Dejar${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ser el conjunto de módulos de curvas marcadas estables${\displaystyle (C;x_{1},\ldots ,x_{n})}$, de tal manera que

• C es una curva compleja de género aritmético g cuyas únicas singularidades son nodos,

• Los n puntos x ₁ , ..., x _n son puntos suaves distintos de C ,

• La curva marcada es estable, es decir, su grupo de automorfismos (que deja invariantes los puntos marcados) es finito.

La última condición requiere${\displaystyle 2g-2+n>0}$En otras palabras, ( g , n ) no está entre (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). La pila${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$entonces tiene dimensión${\displaystyle 3g-3+n}$Además de las permutaciones de los puntos marcados, los siguientes morfismos entre estas pilas de módulos juegan un papel importante en la definición de clases tautológicas:

• Mapas olvidadizos${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n-1}}$que actúan eliminando un punto dado x _k del conjunto de puntos marcados, y luego reestabilizando la curva marcada si ya no es estable .

• Pegar mapas${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}}$que identifican el k -ésimo punto marcado de una curva con el l -ésimo punto marcado de la otra. Otro conjunto de mapas de pegado es${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}}$que identifican los puntos marcados k y l , aumentando así el género mediante la creación de un bucle cerrado.

Los anillos tautológicos${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$se definen simultáneamente como los subanillos más pequeños de los anillos de Chow cerrados bajo empuje hacia adelante por mapas olvidadizos y pegados. ^{[ 1 ]}

El anillo de cohomología tautológica${\displaystyle RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$es la imagen de${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$bajo el mapa cíclico. A partir de 2016, se desconoce si los anillos tautológicos y de cohomología tautológica son isomorfos.

Para${\displaystyle 1\leq k\leq n}$definimos la clase${\displaystyle \psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$de la siguiente manera. Sea${\displaystyle \delta _{k}}$ser el impulso hacia adelante de 1 a lo largo del mapa de pegado${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}}$que identifica el punto marcado x _k de la primera curva con uno de los tres puntos marcados y _i en la esfera (esta última elección es irrelevante gracias a los automorfismos). Para mayor claridad, ordenamos los puntos resultantes como x ₁ , ..., x _{k −1} , y ₁ , y ₂ , x _{k +1} , ..., x _n . Entonces${\displaystyle \psi _{k}}$se define como el impulso hacia adelante de${\displaystyle -\delta _ {k}^{2}}$a lo largo del mapa olvidadizo que olvida el punto y ₂ . Esta clase coincide con la primera clase de Chern de un cierto fibrado de líneas. ^{[ 1 ]}

Para${\displaystyle i\geq 1}$También definimos${\displaystyle \kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ser el impulsor de${\displaystyle (\psi _ {k})^{i+1}}$a lo largo del mapa del olvido${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$que olvida el k -ésimo punto. Esto es independiente de k (simplemente permuta los puntos).

Teorema.${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$se genera aditivamente mediante empujes hacia adelante a lo largo de (cualquier número de) mapas de pegado de monomios en${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \kappa }$clases.

Estas extensiones de monomios (en adelante, clases básicas) no forman una base. El conjunto de relaciones no se conoce completamente.

Teorema. Los anillos tautológicos son invariantes bajo retroceso a lo largo de aplicaciones de pegado y olvido. Existen fórmulas combinatorias universales que expresan empujes hacia adelante, retrocesos y productos de clases básicas como combinaciones lineales de clases básicas.

El anillo tautológico${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})}$en el espacio de módulos de curvas suaves de género g de n puntos simplemente consiste en restricciones de clases en${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$Omitimos n cuando es cero (cuando no hay ningún punto marcado).

En el caso${\displaystyle n=0}$de curvas sin punto marcado, Mumford conjeturó, y Madsen y Weiss demostraron, que para cualquier${\displaystyle d>0}$el mapa${\displaystyle \mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})}$es un isomorfismo en grado d para g suficientemente grande . En este caso, todas las clases son tautológicas.

Conjetura (Faber). (1) Los anillos tautológicos de gran grado desaparecen:${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0}$para${\displaystyle d>g-2.}$(2)${\displaystyle R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} }$y hay una fórmula combinatoria explícita para este isomorfismo. (3) El producto (proveniente del anillo de Chow) de clases define un emparejamiento perfecto${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{gd-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .}$

A pesar de${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$trivialmente desaparece para${\displaystyle d>3g-3}$debido a la dimensión de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$, el límite conjeturado es mucho menor. La conjetura determinaría completamente la estructura del anillo: un polinomio en el${\displaystyle \kappa _{j}}$de grado cohomológico d se anula si y solo si su emparejamiento con todos los polinomios de grado cohomológico${\displaystyle gd-2}$desaparece.

Las partes (1) y (2) de la conjetura fueron probadas. La parte (3), también llamada conjetura de Gorenstein, solo fue verificada para${\displaystyle g<24}$. Para${\displaystyle g=24}$y géneros superiores, varios métodos para construir relaciones entre${\displaystyle \kappa }$Las clases encuentran el mismo conjunto de relaciones que sugieren que las dimensiones de${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$y${\displaystyle R^{gd-2}({\mathcal {M}}_{g})}$son diferentes. Si el conjunto de relaciones hallado por estos métodos es completo, entonces la conjetura de Gorenstein es errónea. Además de la búsqueda computacional no sistemática original de Faber basada en mapas clásicos entre haces vectoriales sobre${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}^{d}}$, la potencia de fibra d -ésima de la curva universal${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}}$Se han utilizado los siguientes métodos para encontrar relaciones:

• Clases virtuales del espacio de módulos de cocientes estables (sobre${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$) de Pandharipande y Pixton. ^{[ 2 ]}

• Clase de espín r de Witten y clasificación de Givental-Telemann de teorías de campos cohomológicas, utilizadas por Pandharipande, Pixton y Zvonkine. ^{[ 3 ]}

• Geometría del jacobiano universal sobre${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,1}}$, por Yin.

• Potencias del divisor theta en la variedad abeliana universal, por Grushevsky y Zakharov. ^{[ 4 ]}

Se ha demostrado que estos cuatro métodos dan como resultado el mismo conjunto de relaciones.

Se formularon conjeturas similares para los espacios de módulos.${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$de curvas estables y${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{ct}}}$de curvas estables de tipo compacto. Sin embargo, Petersen-Tommasi ^{[ 5 ]} demostró que${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})}$y${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{ct}})}$no cumplen la conjetura (análoga) de Gorenstein. Por otro lado, Tavakol ^{[ 6 ]} demostró que para el género 2 el espacio de módulos de curvas estables de colas racionales${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{rt}}}$obedece la condición de Gorenstein para cada n .

• Fórmula ELSV
• Paquete Hodge
• La conjetura de Witten

• Vakil, Ravi (2003), "El espacio de módulos de curvas y su anillo tautológico" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 50 (6): 647–658 , MR 1988577 
• Graber, Tom; Vakil, Ravi (2001), "Sobre el anillo tautológico de${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$" (PDF) , Revista Turca de Matemáticas , 25 (1): 237– 243, MR 1829089