Número de taxi

En matemáticas , el n -ésimo número de taxi , típicamente denotado Ta( n ) o Taxicab( n ), se define como el entero más pequeño que puede expresarse como suma de dos cubos enteros positivos de n maneras distintas. ^{[ 1 ]} El número de taxi más famoso es 1729 = Ta(2) = 1³ ⁺ 12³ ⁼ 9³ ⁺ 10³ ^, también conocido como el número de Hardy-Ramanujan. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El nombre deriva de una conversación que tuvo lugar alrededor de 1919 entre los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan . Según lo contó Hardy:

Recuerdo haber ido a verlo [a Ramanujan] cuando estaba enfermo en Putney . Había viajado en el taxi número 1729 y comenté que el número me parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un mal presagio. «No», respondió, «es un número muy interesante; es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes». ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los pares de sumandos del número de Hardy-Ramanujan Ta(2) = 1729 fueron mencionados por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy , quien publicó su observación en 1657. El número 1729 se hizo famoso a principios del siglo XX como el primer número de taxi gracias a una anécdota que involucraba a Srinivasa Ramanujan, quien afirmaba que era el más pequeño para su ejemplo particular de dos sumandos. En 1938, GH Hardy y EM Wright demostraron que tales números existen para todos los enteros positivos n , y su demostración se puede convertir fácilmente en un programa para generarlos. Sin embargo, la demostración no afirma si los números generados son los más pequeños posibles y, por lo tanto, no proporciona directamente el valor real de Ta( n ).

Los números de taxi posteriores al 1729 se encontraron con la ayuda de computadoras. John Leech obtuvo Ta(3) en 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel encontraron Ta(4) en 1989. ^{[ 6 ]} JA Dardis encontró Ta(5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Ta(6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en la lista de correo NMBRTHRY el 9 de marzo de 2008, ^{[ 9 ]} luego de un artículo de 2003 de Calude et al. que dio una probabilidad del 99% de que el número fuera realmente Ta(6). ^{[ 10 ]} Los límites superiores para Ta(7) a Ta(12) fueron encontrados por Christian Boyer en 2006. ^{[ 11 ]}

La restricción de los sumandos a números positivos es necesaria, ya que permitir números negativos permite más instancias (y más pequeñas) de números que pueden expresarse como sumas de cubos de n maneras distintas (secuencia A293647 en la OEIS ) . Se ha introducido el concepto de número de taxi para permitir definiciones alternativas y menos restrictivas de esta naturaleza. En cierto sentido, la especificación de dos sumandos y potencias de tres también es restrictiva; un número de taxi generalizado permite que estos valores sean distintos de dos y tres, respectivamente.

Hasta el momento, se conocen los siguientes 6 números de taxi:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)&=\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\\operatorname {Ta} (2)&=\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\\operatorname {Ta} (3)&=\ 87539319=3^{3}\times 3242197\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\\operatorname {Ta} (4)&=\ 6963472309248=24^{3}\times 503723402\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\\operatorname {Ta} (5)&=\ 48988659276962496=84^{3}\times 82652823799\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\\operatorname {Ta} (6)&=\ 24153319581254312065344=79^{3}\times 84^{3}\times 82652823799\\&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}$$

Para los siguientes números de taxis se conocen los límites superiores. Definir${\displaystyle \operatorname {Ta} (6)=79^{3}\times 84^{3}\times 82652823799}$como arriba, entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)&\leq 24885189317885898975235988544=101^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=58798362^{3}+2919526806^{3}\\&=309481473^{3}+2918375103^{3}\\&=459531128^{3}+2915734948^{3}\\&=860447381^{3}+2894406187^{3}\\&=1638024868^{3}+2736414008^{3}\\&=1766742096^{3}+2685635652^{3}\\&=1847282122^{3}+2648660966^{3}\\\operatorname {Ta} (8)&\leq 50974398750539071400590819921724352=101^{3}\times 127^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=7467391974^{3}+370779904362^{3}\\&=39304147071^{3}+370633638081^{3}\\&=58360453256^{3}+370298338396^{3}\\&=109276817387^{3}+367589585749^{3}\\&=208029158236^{3}+347524579016^{3}\\&=224376246192^{3}+341075727804^{3}\\&=234604829494^{3}+336379942682^{3}\\&=288873662876^{3}+299512063576^{3}\\\operatorname {Ta} (9)&\leq 136897813798023990395783317207361432493888=101^{3}\times 17653^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=1037967484386^{3}+51538406706318^{3}\\&=4076877805588^{3}+51530042142656^{3}\\&=5463276442869^{3}+51518075693259^{3}\\&=8112103002584^{3}+51471469037044^{3}\\&=15189477616793^{3}+51094952419111^{3}\\&=28916052994804^{3}+48305916483224^{3}\\&=31188298220688^{3}+47409526164756^{3}\\&=32610071299666^{3}+46756812032798^{3}\\&=40153439139764^{3}+41632176837064^{3}\\\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104=101^{3}\times 6655181^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=391313741613522^{3}+19429979328281886^{3}\\&=904069333568884^{3}+19429379778270560^{3}\\&=1536982932706676^{3}+19426825887781312^{3}\\&=2059655218961613^{3}+19422314536358643^{3}\\&=3058262831974168^{3}+19404743826965588^{3}\\&=5726433061530961^{3}+19262797062004847^{3}\\&=10901351979041108^{3}+18211330514175448^{3}\\&=11757988429199376^{3}+17873391364113012^{3}\\&=12293996879974082^{3}+17627318136364846^{3}\\&=15137846555691028^{3}+15695330667573128^{3}\\\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=5134510178400057^{3}+443171971973855943^{3}\\&=27089483598685872^{3}+443138459854855128^{3}\\&=127174000598779680^{3}+439653507772479000^{3}\\&=138573856797762960^{3}+438609133406051160^{3}\\&=204623083640747772^{3}+428126038425768228^{3}\\&=209891877907138700^{3}+426887616463852180^{3}\\&=212424209933109720^{3}+426267111265435440^{3}\\&=299032406381730840^{3}+392138457234189120^{3}\\&=301539992238035460^{3}+390662458762053660^{3}\\&=309479752750029680^{3}+385744811881975000^{3}\\&=316469686016945240^{3}+381087194739069520^{3}\\\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=292667080168803249^{3}+25260802402509788751^{3}\\&=771180546485662040^{3}+25260575914339118080^{3}\\&=1544100565125094704^{3}+25258892211726742296^{3}\\&=7248918034130441760^{3}+25060249943031303000^{3}\\&=7898709837472488720^{3}+25000720604144916120^{3}\\&=11663515767522623004^{3}+24403184190268788996^{3}\\&=11963837040706905900^{3}+24332594138439574260^{3}\\&=12108179966187254040^{3}+24297225342129820080^{3}\\&=17044847163758657880^{3}+22351892062348779840^{3}\\&=17187779557568021220^{3}+22267760149437058620^{3}\\&=17640345906751691760^{3}+21987454277272575000^{3}\\&=18038772102965878680^{3}+21721970100126962640^{3}\end{aligned}}}$$

Un problema de taxi más restrictivo requiere que el número de taxi sea ^libre de cubos , ^lo que significa que no es divisible por ningún cubo que no sea 1/3 ^. Cuando un número de taxi libre de cubos T se escribe como T = x³ + y³ , los números x e y deben ser primos relativos . Entre los números de taxi Ta( n ) enumerados anteriormente, solo Ta(1) y Ta(2) son números de taxi libres de cubos. El número de taxi libre de cubos más pequeño con tres representaciones fue descubierto por Paul Vojta (inédito) en 1981 mientras era estudiante de posgrado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

El número de taxi sin cubo más pequeño con cuatro representaciones fue descubierto por Stuart Gascoigne e independientemente por Duncan Moore en 2003:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$(secuencia A080642 en el OEIS ) .

• Hardy, GH ; Wright, EM (1954). Introducción a la teoría de los números (3.ª  ed.). Londres y Nueva York: Oxford University Press. Teorema 412.
• Leech, J. (1957). "Algunas soluciones de ecuaciones diofánticas". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 53 (3): 778– 780. doi : 10.1017/S0305004100032850 .
• Rosenstiel, E.; Dardis, JA; Rosenstiel, CR (1991). "Las cuatro soluciones mínimas en enteros positivos distintos de la ecuación diofántica${\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}}$" . Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones . 27 : 155– 157. MR 1125858 . 
• Wilson, David W. (1999). "El quinto número de taxi es 48988659276962496" . Journal of Integer Sequences . 2 .(Wilson desconocía el descubrimiento previo de Ta(5) por parte de JA Dardis en 1994 cuando escribió esto).
• Bernstein, Daniel J. (2000). "Enumerando soluciones a ⁠${\displaystyle p(a)+q(b)=r(c)+s(d)}$⁠ ".Matemáticas de la Computación.70(233):389–394.doi: 10.1090/S0025-5718-00-01219-9 .
• Calude, Cristian S.; Calude, Elena; Dinneen, Michael J. (2003). "¿Cuál es el valor de Taxicab(6)?" . Journal of Universal Computer Science . 9 : 1196– 1203. doi : 10.3217/jucs-009-10-1196 .

• Mensaje de 2002 en la lista de correo de Teoría de Números por Randall L. Rathbun. Archivado el 10 de octubre de 2004 en Wayback Machine.
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (ed.). 1729: Número de taxi o número Hardy-Ramanujan . Numberphile.
• Taxi y otras matemáticas en Euler
• Singh, Simon . Haran, Brady (ed.). "Números de taxi en Futurama" . Numberphile. Archivado del original el 3 de diciembre de 2015. Recuperado el 30 de noviembre de 2013 .