Ecuaciones del telegrafista

Las ecuaciones del telegrafista (o ecuaciones telegráficas ) son un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas que modelan el voltaje y la corriente a lo largo de una línea de transmisión eléctrica lineal . Estas ecuaciones son importantes porque permiten analizar las líneas de transmisión utilizando la teoría de circuitos . ^{[ 1 ]} Las ecuaciones y sus soluciones son aplicables desde 0 Hz (es decir, corriente continua ) hasta frecuencias en las que la estructura de la línea de transmisión puede soportar modos no TEM de orden superior . ^{[ 2 ]}^{: 282–286} Las ecuaciones pueden expresarse tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia . En el dominio del tiempo, las variables independientes son la distancia y el tiempo. En el dominio de la frecuencia, las variables independientes son la distancia. $x$ y cualquiera de las frecuencias , $\omega$ ⁠ , o frecuencia compleja , ⁠ $s$ Las variables del dominio de la frecuencia pueden tomarse como la transformada de Laplace o la transformada de Fourier de las variables del dominio del tiempo, o bien como fasores, en cuyo caso las ecuaciones del dominio de la frecuencia se reducen a ecuaciones diferenciales ordinarias de distancia. Una ventaja del enfoque del dominio de la frecuencia es que los operadores diferenciales del dominio del tiempo se convierten en operaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.

Las ecuaciones provienen de Oliver Heaviside, quien desarrolló el modelo de línea de transmisión a partir de un artículo de agosto de 1876, titulado "Sobre la corriente extra " . ^{[ 3 ]} El modelo demuestra que las ondas electromagnéticas pueden reflejarse en el cable y que pueden formarse patrones de ondas a lo largo de la línea. Desarrollada originalmente para describir los cables telegráficos , la teoría también puede aplicarse a conductores de radiofrecuencia , audiofrecuencia (como las líneas telefónicas ), baja frecuencia (como las líneas eléctricas) e impulsos de corriente continua.

Componentes distribuidos

Las ecuaciones del telegrafista resultan de la teoría de circuitos . En un enfoque más práctico, se supone que los conductores están compuestos por una serie infinita de componentes elementales de dos puertos , cada uno de los cuales representa un segmento infinitesimalmente corto de la línea de transmisión: ^{[ 4 ]}

La resistencia distribuida $R$ de los conductores está representado por una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). En conductores prácticos, a frecuencias más altas, $R$ aumenta aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia debido al efecto piel .
La inductancia distribuida $L$ (debido al campo magnético alrededor de los cables, autoinductancia , etc.) se representa mediante un inductor en serie ( henrios por unidad de longitud).
La capacitancia $C$ La conexión entre los dos conductores está representada por un condensador en derivación. $C$ ( faradios por unidad de longitud).
La conductancia $G$ La resistividad del material dieléctrico que separa los dos conductores está representada por una resistencia en paralelo entre el cable de señal y el cable de retorno ( siemens por unidad de longitud). Esta resistencia en el modelo tiene una resistencia de ⁠ $\textstyle R_{\text{shunt}}={\frac {1}{G}}\,\Omega$ . $G$ tiene en cuenta tanto la conductividad volumétrica del dieléctrico como la pérdida dieléctrica . Si el dieléctrico es un vacío ideal, entonces $G\equiv 0$ .

El modelo consiste en una serie infinita de los elementos infinitesimales que se muestran en la figura, y los valores de los componentes se especifican por unidad de longitud , por lo que la imagen del componente puede ser engañosa. Una notación alternativa es usar ⁠ $R'$ , $L'$ , $C'$ y $G'$ Para enfatizar que los valores son derivados con respecto a la longitud y que las unidades de medida se combinan correctamente, estas cantidades también se conocen como constantes de línea primarias para distinguirlas de las constantes de línea secundarias derivadas de ellas: la impedancia característica , la constante de propagación , la constante de atenuación y la constante de fase . Todas estas constantes son constantes con respecto al tiempo, la tensión y la corriente. Pueden ser funciones no constantes de la frecuencia.

Función de los diferentes componentes

Diagrama que muestra una onda que fluye hacia la derecha a lo largo de una línea de transmisión sin pérdidas. Los puntos negros representan electrones y las flechas muestran el campo eléctrico.

La función de los diferentes componentes se puede visualizar mediante la animación de la derecha.

Inductancia $L$: La inductancia acopla la corriente a la energía almacenada en el campo magnético. Esto hace que la corriente parezca tener inercia ; es decir, con una inductancia grande, es difícil aumentar o disminuir el flujo de corriente en cualquier punto dado. Una inductancia grande $L$ hace que la onda se mueva más lentamente, al igual que las ondas viajan más lentamente por una cuerda gruesa que por una delgada. Una inductancia grande también aumenta la impedancia de sobretensión de la línea ( se necesita más voltaje para hacer circular la misma corriente alterna por la línea).
Capacitancia $C$: La capacitancia acopla el voltaje a la energía almacenada en el campo eléctrico. Controla la repulsión, atracción o desviación que ejercen los electrones agrupados en cada conductor sobre los electrones del otro conductor. Al desviar algunos de estos electrones agrupados, se reduce tanto la velocidad de la onda como su intensidad (voltaje). Con una capacitancia mayor, $C$ , la repulsión es menor, ya que la otra línea (que siempre tiene la carga opuesta) contrarresta parcialmente estas fuerzas repulsivas dentro de cada conductor. Una mayor capacitancia implica fuerzas restauradoras más débiles, lo que hace que la onda se mueva ligeramente más despacio y, además, reduce la impedancia de sobretensión de la línea de transmisión ( se necesita menos voltaje para que circule la misma corriente alterna).
Resistencia $R$: La resistencia corresponde a la resistencia interna de las dos líneas, combinadas. Dicha resistencia $R$ acopla la corriente a las pérdidas óhmicas , que reducen ligeramente la tensión a lo largo de la línea debido al calor depositado en el conductor, sin que la corriente se vea afectada. Generalmente, la resistencia de la línea es muy baja en comparación con la reactancia inductiva $ω L$ a frecuencias de radio, y, por simplicidad, se trata como si fuera cero, considerando cualquier disipación de tensión o calentamiento del cable como correcciones al cálculo de la "línea sin pérdidas", o simplemente ignorándola.
Conductancia $G$: La conductancia entre las líneas representa la facilidad con la que la corriente puede "filtrarse" de una línea a la otra. La conductancia acopla el voltaje con la pérdida dieléctrica depositada como calor en el material aislante entre los dos conductores. $G$ reduce la corriente propagante al desviarla entre los conductores. Generalmente, el aislamiento del cable (incluido el aire) es bastante bueno, y la conductancia es prácticamente insignificante en comparación con la susceptancia capacitiva $ωC$ , por lo que, para simplificar, se trata como si fuera cero.

Los cuatro parámetros $L$ , $C$ , $R$ y $G$ dependen del material utilizado para construir el cable o la línea de alimentación. Los cuatro varían con la frecuencia: $R$ y $G$ tienden a aumentar a frecuencias más altas; $L$ y $C$ tienden a disminuir a medida que aumenta la frecuencia. La figura de la derecha muestra una línea de transmisión sin pérdidas, donde tanto $R$ como $G$ son cero, que es la forma más simple y, con mucho, la más común de las ecuaciones del telegrafista, pero ligeramente irreal (especialmente en lo que respecta a $R$ ).

Valores de los parámetros primarios para el cable telefónico

La variación de $R$ y $L$ se debe principalmente al efecto piel y al efecto de proximidad . La constancia de la capacitancia es consecuencia de un diseño intencional.

La variación de $G$ se puede inferir de una afirmación de Frederick Terman : ^{[ 6 ]} "El factor de potencia ... tiende a ser independiente de la frecuencia, ya que la fracción de energía perdida durante cada ciclo ... es sustancialmente independiente del número de ciclos por segundo en amplios rangos de frecuencia".

Una función de la forma $G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}$ con $g_{\mathrm {e} }$ Un valor cercano a $1,0$ se ajustaría a la afirmación de Terman. Walter Chen proporciona una ecuación de forma similar . ^{[ 7 ]} Donde $G(f)$ es la conductividad en función de la frecuencia; y $G_{1}$ , $f_{1}$ y $g_{\mathrm {e} }$ son todas constantes reales.

Por lo general, las pérdidas resistivas ( ⁠ $R$ ) crecen proporcionalmente a $\textstyle {\sqrt {f}}$ y las pérdidas dieléctricas crecen proporcionalmente a $\textstyle f^{g_{\mathrm {e} }}$ con $g_{\mathrm {e} }\approx 1$ Por lo tanto, a una frecuencia suficientemente alta, las pérdidas dieléctricas superarán las pérdidas resistivas. En la práctica, antes de alcanzar ese punto, se utiliza una línea de transmisión con un dieléctrico de mejor calidad. En cables coaxiales rígidos de larga distancia , para obtener pérdidas dieléctricas muy bajas, el dieléctrico sólido puede sustituirse por aire con espaciadores de plástico a intervalos para mantener el conductor central alineado.

La ecuación

Dominio del tiempo

Las ecuaciones del telegrafista en el dominio del tiempo son: ^{[ 4 ]} ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}$

Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones diferenciales parciales, cada una con una sola variable dependiente, ya sea $V$ o $I$ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}$

Excepto por la variable dependiente ( $V$ o $I$ ) las fórmulas son idénticas.

dominio de frecuencia

Las ecuaciones del telegrafista en el dominio de la frecuencia se desarrollan en formas similares: ^{[ 8 ]}^{[ 1 ]}^{[ 9 ]}^{: 59–378}^{[ 10 ]}^{: 497–505}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega L_{\omega }+R_{\omega }\right)\mathbf {I} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {d}{dx}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega C_{\omega }+G_{\omega }\right)\mathbf {V} _{\omega }(x).\end{aligned}}$ Aquí, $\mathbf {I} _ {\omega }(x)$ y $\mathbf {V} _ {\omega }(x)$ son fasores , con el subíndice $\omega$ indicando la posible dependencia de los parámetros con respecto a la frecuencia.

La primera ecuación significa que $\mathbf {V} _ {\omega }(x)$ ⁠ , la tensión propagada en el punto ⁠ $x$ ⁠ , se reduce por la pérdida de voltaje producida por ⁠ $\mathbf {I} _ {\omega }(x)$ ⁠ , la corriente en ese punto que pasa a través de la impedancia en serie ⁠ $R+j\omega L$ La segunda ecuación significa que $\mathbf {I} _ {\omega }(x)$ ⁠ , la corriente que se propaga en el punto ⁠ $x$ ⁠ , se reduce por la pérdida de corriente producida por ⁠ $\mathbf {V} _ {\omega }(x)$ ⁠ , el voltaje en ese punto que aparece a través de la admitancia en derivación ⁠ $G+j\omega C$ .

Estas ecuaciones pueden combinarse para producir dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden desacopladas. ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {V} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _ {\omega }(x),\end{aligned}}$ con $\gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},$ dónde $\alpha$ se denomina constante de atenuación y $\beta$ se denomina constante de fase . ^{[ 1 ]}^{: 385}

Trabajar en el dominio de la frecuencia tiene la ventaja de abordar problemas tanto en estado estacionario como transitorios de manera similar. ^{[ 14 ]} En el caso de estos últimos, la frecuencia $\omega$ se convierte en una variable continua ; se puede obtener una solución resolviendo primero las EDO de segundo orden ( homogéneas ) anteriores y luego aplicando el teorema de inversión de Fourier . ^{[ 15 ]}

Soluciones homogéneas

Cada una de las ecuaciones diferenciales anteriores tiene dos soluciones homogéneas en una línea de transmisión infinita.

Para la ecuación de voltaje ${\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega }^{+}(x)&=\mathbf {V} _{\omega }^{+}(a)\,e^{+\gamma (ax)}&&{\text{onda de tensión directa}};\\+\mathbf {V} _{\omega }^{-}(x)&=\mathbf {V} _{\omega }^{-}(b)\,e^{-\gamma (bx)}&&{\text{onda de voltaje inverso}};\\\hline \mathbf {V} _{\omega }(x)_{\hphantom {,{\mathsf {F}}}}&=\mathbf {V} _{\omega }^{+}(x)+\mathbf {V} _{\omega }^{-}(x)&&{\text{onda de voltaje total}}.\end{aligned}}$

Para la ecuación actual ${\begin{aligned}\mathbf {I} _{\omega }^{+}(x)&=\mathbf {I} _{\omega }^{+}(a)\,e^{+\gamma (ax)}&&{\text{onda de corriente directa}};\\-\mathbf {I} _{\omega }^{-}(x)&=\mathbf {I} _{\omega }^{-}(b)\,e^{-\gamma (bx)}&&{\text{onda de corriente inversa}};\\\hline \mathbf {I} _{\omega }(x)_{\hphantom {,{\mathsf {F}}}}&=\mathbf {I} _{\omega }^{+}(x)-\mathbf {yo} _{\omega }^{-}(x)&&{\text{onda de corriente total}}.\end{aligned}}$

El signo negativo en la ecuación anterior indica que la corriente en la onda inversa viaja en la dirección opuesta.

Nota: ${\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega }^{+}(x)=\mathbf {Z} _{0}\,\mathbf {I} _{\omega }^{+}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega }^{-}(x)=\mathbf {Z} _{0}\,\mathbf {I} _{\omega }^{-}(x),\end{aligned}}$ $\mathbf {Z} _{0}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,$ donde se cumplen las siguientes definiciones de símbolos:

Longitud finita

Johnson ofrece la siguiente solución, ^{[ 2 ]}^{: 739–741} ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{0}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{0}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{0}}{\mathbf {Z} _{0}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{0}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}$ donde $\mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}$ y $x$ es la longitud de la línea de transmisión.

En el caso especial en que todas las impedancias son iguales , $\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{0}$ ⁠ , la solución se reduce a ⁠ ${\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}$ .

Transmisión sin pérdidas

Cuando $\omega L\gg R$ y $\omega C\gg G$ ⁠ , la resistencia del cable y la conductancia del aislamiento pueden despreciarse, y la línea de transmisión se considera como una estructura ideal sin pérdidas. En este caso, el modelo depende únicamente de la ⁠ $L$ y $C$ elementos . Las ecuaciones del telegrafista describen entonces la relación entre el voltaje $V$ y la actual $I$ a lo largo de la línea de transmisión, cada una de las cuales es función de la posición $x$ y tiempo $t$ : ${\begin{aligned}V&=V(x,t)\\[.5ex]I&=I(x,t)\end{aligned}}$ Las ecuaciones consisten en un par de ecuaciones diferenciales parciales acopladas de primer orden . La primera ecuación muestra que la tensión inducida está relacionada con la tasa de cambio temporal de la corriente a través de la inductancia del cable, mientras que la segunda muestra, de manera similar, que la corriente consumida por la capacitancia del cable está relacionada con la tasa de cambio temporal de la tensión. ^{[ 4 ]} ${\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}$ ${\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}$

Estas ecuaciones se pueden combinar para formar dos ecuaciones de onda , una para el voltaje . $V$ ⁠ , el otro para la actualidad ⁠ $I$ : ^[⁴^] ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}&=0\end{aligned}}$ dónde ${\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ es la velocidad de propagación de las ondas que viajan a través de la línea de transmisión. Para líneas de transmisión hechas de conductores perfectos paralelos con vacío entre ellos, esta velocidad es igual a la velocidad de la luz .

estado estacionario sinusoidal sin pérdidas

En el caso de estado estacionario sinusoidal (es decir, cuando se aplica un voltaje sinusoidal puro y han cesado los transitorios ), la frecuencia angular ⁠ $\omega$ ⁠ es fijo y el voltaje y la corriente toman la forma de ondas sinusoidales de tono único:^{[ 16 ]} ${\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {Re}}\left\{V(x)e^{j\omega t}\right\},\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {Re}}\left\{I(x)e^{j\omega t}\right\}.\end{aligned}}$ En este caso, las ecuaciones del telegrafista se reducen a ^{[ 4 ].} ${\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}&=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}},\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}&=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}.\end{aligned}}$

Asimismo, las ecuaciones de onda se reducen a ecuaciones de Helmholtz unidimensionales ^{[ 4 ].} ${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V=0,\\[1ex]&{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I=0,\end{aligned}}$ donde $k$ es el número de onda : $k:=\omega {\sqrt {LC\ }}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.$ En el caso sin pérdidas, es posible demostrar que $V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx},$ y $I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}\,e^{+jkx}\ ,$ donde en este caso especial , $k$ es una cantidad real que puede depender de la frecuencia y $Z_{0}$ es la impedancia característica de la línea de transmisión, que, para una línea sin pérdidas, viene dada por^{[ 4 ]}^{: 48} $Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\ }}\ ,$ y $V_{1}$ y $V_{2}$ son constantes de integración arbitrarias, que están determinadas por las dos condiciones de contorno (una para cada extremo de la línea de transmisión).

Esta impedancia no cambia a lo largo de la línea ya que $L$ y $C$ son constantes en cualquier punto de la línea, siempre que la geometría de la sección transversal de la línea permanezca constante.

Caso sin pérdidas, solución general

En el caso de que no haya pérdidas $R=G=0$ ⁠ ), la solución general de la ecuación de onda para el voltaje es la suma de una onda que viaja hacia adelante y una onda que viaja hacia atrás: $V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)$ dónde

⁠ $f_{1}$ y $f_{2}$ ⁠ pueden ser cualesquiera dos funciones analíticas , y
⁠ $\textstyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ ⁠ es la velocidad de propagación de la forma de onda (también conocida como velocidad de fase ).

Aquí , $f_{1}$ ⁠ representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de izquierda a derecha , en sentido positivo . $x$ dirección – mientras $f_{2}$ ⁠ representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de derecha a izquierda. Se puede observar que el voltaje instantáneo en cualquier punto ⁠ $x$ En la línea se encuentra la suma de los voltajes debidos a ambas ondas.

Utilizando la actual $I$ y voltaje $V$ ⁠ relaciones dadas por las ecuaciones del telegrafista, podemos escribir $I(x,t)={\frac {1}{Z_{0}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.$

Línea de transmisión con pérdidas

Cuando los elementos de pérdida $R$ y $G$ son demasiado sustanciales para ignorarlas, las ecuaciones diferenciales que describen el segmento elemental de línea son ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-R\,I(x,t)\,,\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-G\,V(x,t)\,.\end{aligned}}$

Al diferenciar ambas ecuaciones con respecto a ⁠ $x$ ⁠ , y algo de álgebra, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas amortiguadas y dispersivas , cada una de las cuales involucra solo una incógnita:^[¹⁷^] ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.\end{aligned}}$

Estas ecuaciones se asemejan a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en ⁠ $V$ y $I$ y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales hacen que la señal decaiga y se disperse con el tiempo y la distancia. Si la línea de transmisión tiene solo una ligera pérdida $R\ll \omega L$ y $G\ll \omega C$ ⁠ ), la intensidad de la señal disminuirá con la distancia a medida que ⁠ $e^{-\alpha x}$ ¿ Dónde ? $\textstyle \alpha \approx {1 \over 2}\left({\frac {R}{Z_{0}}}+GZ_{0}\right)$ ⁠ .^{[ 18 ]}

Soluciones de las ecuaciones del telegrafista como componentes de circuitos

Las soluciones de las ecuaciones del telegrafista pueden insertarse directamente en un circuito como componentes. El circuito de la figura implementa las soluciones de las ecuaciones del telegrafista. ^{[ 19 ]}

La solución de las ecuaciones del telegrafista se puede expresar como una red ABCD de dos puertos con las siguientes ecuaciones definitorias ^{[ 12 ]}^{: 5–14, 44} ${\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{0}\sinh(\gamma x)\,,\\[1ex]I_{1}&={\frac {V_{2}}{Z_{0}}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x)\,.\end{aligned}}$ dónde $Z_{0}\equiv {\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}},$ y $\gamma \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},$ igual que en las secciones anteriores. Los parámetros de línea $R ω$ , $L ω$ , $G ω$ , y $C ω$ llevan el subíndice $ω$ para enfatizar que podrían ser funciones de la frecuencia.

El tipo ABCD de dos puertos proporciona $V_{1}$ y $I_{1}$ como funciones de $V_{2}$ y $I_{2}$ ⁠ . Las relaciones de voltaje y corriente son simétricas: Ambas ecuaciones mostradas arriba, cuando se resuelven para $V_{1}$ y $I_{1}$ como funciones de $V_{2}$ y $I_{2}$ producen exactamente las mismas relaciones, simplemente con los subíndices "1" y "2" invertidos, y el $\sinh$ Los signos de los términos se vuelven negativos ("1"→"2" se invierte la dirección "1"←"2", de ahí el cambio de signo).

Toda línea de transmisión balanceada de dos hilos tiene un tercer hilo implícito (o en algunos casos explícito) llamado blindaje , cubierta, común, tierra o conexión a tierra. Por lo tanto, toda línea de transmisión balanceada de dos hilos tiene dos modos, denominados nominalmente modo diferencial y modo común . El circuito que se muestra en el diagrama inferior solo puede modelar el modo diferencial.

En el circuito superior, los duplicadores de voltaje, los amplificadores diferenciales y las impedancias . $Z_{0}(s)$ ⁠ Considera la interacción de la línea de transmisión con el circuito externo. Este circuito es un equivalente útil para una línea de transmisión desequilibrada como un cable coaxial .

Estos no son únicos: son posibles otros circuitos equivalentes.

Véase también

Referencias

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