Cuadrángulo completo

En matemáticas , específicamente en geometría de incidencia y especialmente en geometría proyectiva , un cuadrilátero completo es un sistema de objetos geométricos que consta de cuatro puntos cualesquiera en un plano , de los cuales no hay tres sobre una línea común , y de las seis líneas que conectan los seis pares de puntos. De manera similar , un cuadrilátero completo es un sistema de cuatro líneas, de las cuales no hay tres que pasen por el mismo punto, y los seis puntos de intersección de estas líneas. El cuadrilátero completo fue denominado tetrastigma por Lachlan (1893) , y el cuadrilátero completo fue denominado tetragrama ; estos términos aún se utilizan ocasionalmente. El cuadrilátero completo también ha sido denominado configuración de Pasch , especialmente en el contexto de los sistemas triples de Steiner . ^{[ 1 ]}

Las seis líneas de un cuadrilátero completo se encuentran en pares para formar tres puntos adicionales llamados puntos diagonales del cuadrilátero. De manera similar, entre los seis puntos de un cuadrilátero completo hay tres pares de puntos que no están conectados por líneas; los segmentos de línea que conectan estos pares se llaman diagonales . Para puntos y líneas en el plano euclidiano, los puntos diagonales no pueden estar en una sola línea, y las diagonales no pueden tener un solo punto de triple intersección. Debido al descubrimiento del plano de Fano , una geometría finita en la que los puntos diagonales de un cuadrilátero completo son colineales , algunos autores han aumentado los axiomas de la geometría proyectiva con el axioma de Fano de que los puntos diagonales no son colineales, ^{[ 2 ]} mientras que otros han sido menos restrictivos.

GB Halsted introdujo un conjunto de expresiones contraídas para las partes de un cuadrilátero completo : llama a los vértices del cuadrilátero puntos y a los puntos diagonales codotos . Las líneas del espacio proyectivo se llaman rectas , y en el cuadrilátero se llaman conectores . Halsted llama a las "líneas diagonales" de Coxeter conectores opuestos . Los conectores opuestos se cruzan en un codoto. La configuración del cuadrilátero completo es un tetrastimo . ^{[ 3 ]}

Como sistemas de puntos y líneas en los que todos los puntos pertenecen al mismo número de líneas y todas las líneas contienen el mismo número de puntos, tanto el cuadrilátero completo como el cuadrilátero completo forman configuraciones proyectivas ; en la notación de configuraciones proyectivas, el cuadrilátero completo se escribe como (4 ₃ 6 ₂ ) y el cuadrilátero completo como (6 ₂ 4 ₃ ), donde los números en esta notación se refieren al número de puntos, líneas por punto, líneas y puntos por línea de la configuración. El dual proyectivo de un cuadrilátero completo es un cuadrilátero completo, y viceversa. Para cualesquiera dos cuadriláteros completos, o cualesquiera dos cuadriláteros completos, existe una transformación proyectiva única que transforma una de las dos configuraciones en la otra. ^{[ 4 ]}

Karl von Staudt reformó los fundamentos matemáticos en 1847 con el cuadrilátero completo al observar que una "propiedad armónica" podía basarse en los concomitantes del cuadrilátero: cuando cada par de lados opuestos del cuadrilátero se intersecan en una línea, entonces las diagonales intersecan la línea en posiciones conjugadas armónicas proyectivas . Los cuatro puntos en la línea que se derivan de los lados y las diagonales del cuadrilátero se denominan rango armónico . Mediante la perspectiva y la proyectividad, la propiedad armónica es estable. Los desarrollos de la geometría y el álgebra modernas destacan la influencia de von Staudt en Mario Pieri y Felix Klein .

En el plano euclidiano , las cuatro líneas de un cuadrilátero completo no deben incluir ningún par de líneas paralelas, de modo que cada par de líneas tenga un punto de intersección.

Wells (1991) describe varias propiedades adicionales de los cuadriláteros completos que involucran propiedades métricas del plano euclidiano , en lugar de ser puramente proyectivas. Los puntos medios de las diagonales son colineales y (como demostró Isaac Newton ) también colineales con el centro de una cónica tangente a las cuatro líneas del cuadrilátero. Cualquiera de las tres líneas del cuadrilátero forman los lados de un triángulo; los ortocentros de los cuatro triángulos formados de esta manera se encuentran en una segunda línea (conocida como ortolínea, línea de Steiner o línea de Aubert ^{[ 5 ] [ 6 ]} ), perpendicular a la que pasa por los puntos medios. Las circunferencias circunscritas de estos mismos cuatro triángulos se encuentran en un punto . Además, los tres círculos que tienen las diagonales como diámetros pertenecen a un haz común de círculos ^{[ 7 ]} cuyo eje es la línea que pasa por los ortocentros.

Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . ^{[ 8 ] : pág. 179}

• Línea de Newton
• Cónica de nueve puntas
• Cuadrilátero
• sextic de Wirtinger

• Coxeter, HSM (1987). Geometría proyectiva, 2.ª ed . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96532-7.
• Hartshorne, Robin (1967). Fundamentos de la geometría proyectiva . WA Benjamin. págs. 53–6 . 
• Lachlan, Robert (1893). Un tratado elemental de geometría pura moderna . Londres, Nueva York: Macmillan and Co.Enlace de las Monografías Históricas de Matemáticas de la Universidad de Cornell . Véase en particular tetrastigma, página 85, y tetragrama, página 90.
• Wells, David (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante . Penguin. págs. 35–36 . ISBN  0-14-011813-6.

• "Cuadrángulo completo" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Bogomolny, Alexander . "El cuadrilátero completo" . Cortar el nudo .
• Weisstein, Eric W. "Cuadriángulo completo" . MundoMatemático .