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Las paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón son una serie de argumentos filosóficos presentados por el antiguo filósofo griego Zenón de Elea (c. 490–430 a. C.), [ 1 ] [ 2 ] conocidos principalmente ...

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Las paradojas de Zenón son una serie de argumentos filosóficos presentados por el antiguo filósofo griego Zenón de Elea (c. 490–430 a. C.), [ 1 ] [ 2 ] conocidos principalmente a través de las obras de Platón , Aristóteles y comentaristas posteriores como Simplicio de Cilicia . [ 2 ] Zenón ideó estas paradojas para apoyar la filosofía del monismo de su maestro Parménides , que postula que, a pesar de las experiencias sensoriales de las personas, la realidad es singular e inmutable. Las paradojas desafían célebremente las nociones de pluralidad (la existencia de muchas cosas), movimiento, espacio y tiempo al sugerir que conducen a contradicciones lógicas .

La obra de Zenón, conocida principalmente a través de relatos de segunda mano ya que sus textos originales se han perdido, comprende cuarenta «paradojas de la pluralidad», que argumentan en contra de la coherencia de creer en múltiples existencias, y varios argumentos en contra del movimiento y el cambio. [ 2 ] De estas, solo unas pocas se conocen definitivamente hoy en día, incluyendo la célebre «Paradoja de Aquiles», que ilustra el problemático concepto de divisibilidad infinita en el espacio y el tiempo . [ 1 ] [ 2 ] En esta paradoja, Zenón argumenta que un corredor veloz como Aquiles no puede alcanzar a una tortuga más lenta con ventaja inicial, porque la distancia entre ellos puede subdividirse infinitamente, lo que implica que Aquiles necesitaría un número infinito de pasos para alcanzar a la tortuga. [ 1 ] [ 2 ]

Estas paradojas han suscitado un amplio debate filosófico y matemático a lo largo de la historia , [ 1 ] [ 2 ] particularmente en lo que respecta a la naturaleza del infinito y la continuidad del espacio y el tiempo. Inicialmente, la interpretación de Aristóteles , que sugería un infinito potencial en lugar de uno real, fue ampliamente aceptada. [ 1 ] Sin embargo, las soluciones modernas que aprovechan el marco matemático del cálculo han proporcionado una perspectiva diferente, destacando la importante intuición temprana de Zenón sobre las complejidades del infinito y el movimiento continuo. [ 1 ] En el ámbito de la metafísica , la evidencia indica que el "método escéptico" que Zenón adoptó para analizar sus paradojas también influyó en la manera en que Immanuel Kant intentó resolver las paradojas que se identificaron dentro de sus propias antinomias . [ 3 ] Las paradojas de Zenón siguen siendo un punto de referencia fundamental en la exploración filosófica y matemática de la realidad, el movimiento y el infinito, influyendo tanto en el pensamiento antiguo como en la comprensión científica moderna. [ 1 ] [ 2 ]

Historia

Los orígenes de las paradojas no están del todo claros, pero generalmente se cree que se desarrollaron para apoyar la doctrina monista de Parménides , según la cual toda la realidad es una y todo cambio es imposible , es decir, que nada cambia jamás en su ubicación ni en ningún otro aspecto. [ 1 ] [ 2 ] Diógenes Laercio , citando a Favorino , afirma que Parménides, maestro de Zenón, fue el primero en introducir la paradoja de Aquiles y la tortuga. Sin embargo, en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorino discrepa. [ 4 ] Los académicos modernos atribuyen la paradoja a Zenón. [ 1 ] [ 2 ]

Muchas de estas paradojas argumentan que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, el movimiento no es más que una ilusión . [ 1 ] [ 2 ] En el Parménides de Platón (128a–d), Zenón se caracteriza por emprender el proyecto de crear estas paradojas porque otros filósofos afirmaban que surgían paradojas al considerar la visión de Parménides. Los argumentos de Zenón pueden ser, por lo tanto, ejemplos tempranos de un método de prueba llamado reducción al absurdo , también conocido como prueba por contradicción . Así, Platón hace que Zenón diga que el propósito de las paradojas "es mostrar que su hipótesis de que las existencias son múltiples, si se sigue correctamente, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una sola". [ 5 ] Platón hace que Sócrates afirme que Zenón y Parménides argumentaban esencialmente el mismo punto. [ 6 ] También se les atribuye ser una fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates. [ 7 ]

Paradojas

Algunas de las nueve paradojas de Zenón que se conservan (recogidas en la Física de Aristóteles [ 8 ] [ 9 ] y en el comentario de Simplicio sobre ella) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una respuesta a algunas de ellas. [ 8 ] La literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zenón. Por ejemplo, se suele decir que Zenón argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser infinita, con el resultado de que no solo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitos. [ 10 ] Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales presenta a Zenón discutiendo ninguna suma infinita. Simplicio cita a Zenón diciendo: «Es imposible recorrer un número infinito de cosas en un tiempo finito». Esto plantea el problema de Zenón no con encontrar la suma , sino más bien con terminar una tarea con un número infinito de pasos: ¿cómo se puede llegar de A a B si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que deben preceder a la llegada a B, y no se puede alcanzar ni siquiera el comienzo de un "último evento"? [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

Paradojas del movimiento

Tres de los ejemplos más contundentes y famosos —el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de una flecha en vuelo— se presentan en detalle a continuación.

paradoja de la dicotomía

La dicotomía

Aquello que está en movimiento debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta.

— según lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b10

Supongamos que Atalanta quiere llegar al final de un camino. Antes de llegar, debe recorrer la mitad. Antes de llegar a la mitad, debe recorrer un cuarto. Antes de recorrer un cuarto, debe recorrer un octavo; antes de un octavo, un dieciseisavo; y así sucesivamente.

La secuencia resultante se puede representar como:

{⋯,116,18,14,12,1}{\displaystyle \left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}}

Esta descripción requiere completar un número infinito de tareas, lo cual Zeno sostiene que es imposible. [ 15 ]

Esta secuencia también presenta un segundo problema, ya que no contiene una primera distancia que recorrer, pues cualquier posible primera distancia ( finita ) podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería la primera después de todo. En consecuencia, el viaje ni siquiera puede comenzar. La conclusión paradójica sería entonces que viajar sobre cualquier distancia finita no puede ni completarse ni comenzarse, y por lo tanto, todo movimiento debe ser una ilusión . [ 16 ]

Este argumento se denomina « dicotomía » porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Un ejemplo con el sentido original se encuentra en una asíntota . También se conoce como la paradoja del hipódromo .

Aquiles y la tortuga

Aquiles y la tortuga

En una carrera, el corredor más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor primero debe llegar al punto de partida del perseguido, por lo que el más lento siempre debe mantener la ventaja.

— según lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b15

En la paradoja de Aquiles y la tortuga , Aquiles participa en una carrera a pie con una tortuga. Aquiles le concede a la tortuga una ventaja inicial de 100 metros, por ejemplo. Supongamos que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante, uno más rápido que el otro. Después de un tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, llegando al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga habrá corrido una distancia mucho menor, digamos 2 metros. A Aquiles le tomará entonces un tiempo adicional recorrer esa distancia, momento en el que la tortuga habrá avanzado más; y luego aún más tiempo para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga se adelanta. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a un lugar donde la tortuga ha estado, todavía le queda cierta distancia por recorrer antes de poder siquiera alcanzarla. Como señaló Aristóteles, este argumento es similar a la Dicotomía. [ 17 ] Sin embargo, carece de la aparente conclusión de inmovilidad.

paradoja de la flecha

La flecha

Si todo lo que ocupa un espacio igual está en reposo en ese instante, y si lo que está en movimiento siempre ocupa ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora está, por lo tanto, inmóvil en ese instante y en el siguiente; pero si ambos instantes se consideran como el mismo instante o un instante continuo, entonces está en movimiento. [ 18 ]

— según lo relata Aristóteles , Física VI:9, 239b5

En la paradoja de la flecha , Zenón afirma que para que haya movimiento, un objeto debe cambiar de posición. Da el ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante (sin duración), la flecha no se mueve ni hacia donde está ni hacia donde no está. [ 19 ] No puede moverse hacia donde no está, porque no transcurre tiempo para que se mueva allí; no puede moverse hacia donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante no hay movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante, y el tiempo está compuesto enteramente de instantes, entonces el movimiento es imposible.

Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, esta paradoja comienza dividiendo el tiempo, y no en segmentos, sino en puntos. [ 20 ]

Otras paradojas

Aristóteles plantea otras tres paradojas:

Paradoja del lugar

De Aristóteles:

Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así sucesivamente hasta el infinito . [ 21 ]

La paradoja del grano de mijo

Descripción de la paradoja según el Diccionario de Filosofía de Routledge :

El argumento es que un solo grano de mijo no hace ruido al caer, pero mil granos sí. Por lo tanto, mil nadas se convierten en algo, una conclusión absurda. [ 22 ]

La respuesta de Aristóteles:

El razonamiento de Zenón es erróneo cuando afirma que no hay ninguna parte del mijo que no produzca sonido: pues no hay razón para que dicha parte no deje de mover, en cualquier lapso de tiempo, el aire que mueve todo el bushel al caer. De hecho, por sí misma no mueve ni siquiera la cantidad de aire que movería si estuviera aislada: pues ninguna parte existe de otra forma que no sea potencialmente. [ 23 ]

Descripción de Nick Huggett :

Este es un argumento parmenídeo que sostiene que no se puede confiar en el sentido del oído. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden contribuir a un sonido audible. [ 24 ]

Las filas móviles (o estadio)

Las filas en movimiento

De Aristóteles:

...en relación a las dos filas de cuerpos, cada fila compuesta por un número igual de cuerpos de igual tamaño, que se cruzan en una pista de carreras mientras avanzan con igual velocidad en direcciones opuestas, ocupando originalmente una fila el espacio entre la meta y el punto medio de la pista y la otra el espacio entre el punto medio y el poste de salida. Esto... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo. [ 25 ]

Una exposición ampliada de los argumentos de Zenón, tal como los presenta Aristóteles, se encuentra en el comentario de Simplicio sobre la física de Aristóteles . [ 26 ] [ 2 ] [ 1 ]

Según Angie Hobbs de la Universidad de Sheffield, esta paradoja pretende ser considerada junto con la paradoja de Aquiles y la tortuga, problematizando el concepto de espacio y tiempo discretos, mientras que la otra problematiza el concepto de espacio y tiempo infinitamente divisibles. [ 27 ]

Soluciones propuestas

En la antigüedad clásica

Según Simplicio, Diógenes el Cínico no dijo nada al oír los argumentos de Zenón, sino que se levantó y caminó para demostrar la falsedad de sus conclusiones. [ 26 ] [ 2 ] Sin embargo, para resolver completamente cualquiera de las paradojas, es necesario mostrar qué falla en el argumento, no solo en las conclusiones. A lo largo de la historia se han propuesto varias soluciones, entre las primeras registradas se encuentran las de Aristóteles y Arquímedes.

Aristóteles observó que, a medida que disminuye la distancia, también disminuye el tiempo necesario para recorrerla, de modo que el tiempo requerido se vuelve cada vez más pequeño. [ 28 ] Aristóteles también distinguió las «cosas infinitas en cuanto a divisibilidad» (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas sin dejar de ser espacialmente la misma) de las cosas (o distancias) que son infinitas en extensión («en cuanto a sus extremos»). [ 29 ] La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha fue que «el tiempo no se compone de instantes indivisibles, del mismo modo que ninguna otra magnitud se compone de indivisibles». [ 30 ] Tomás de Aquino , al comentar la objeción de Aristóteles, escribió: «Los instantes no son partes del tiempo, pues el tiempo no se compone de instantes, del mismo modo que una magnitud no se compone de puntos, como ya hemos demostrado. Por lo tanto, no se deduce que una cosa no esté en movimiento en un tiempo dado, solo porque no esté en movimiento en ningún instante de ese tiempo». [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]

En matemáticas modernas

Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Benjamin Boyer , sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. [ 34 ] Los procesos infinitos siguieron siendo un problema teórico en matemáticas hasta finales del siglo XIX. Con la definición de límite , Karl Weierstrass y Augustin-Louis Cauchy desarrollaron una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las cuestiones matemáticas que involucran procesos infinitos. [ 35 ] [ 36 ]

Algunos filósofos, sin embargo, afirman que las paradojas de Zenón y sus variaciones (véase la lámpara de Thomson ) siguen siendo problemas metafísicos relevantes. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento alcanzará a la Tortuga de la paradoja de Zenón, filósofos como Kevin Brown [ 11 ] y Francis Moorcroft [ 12 ] sostienen que las matemáticas no abordan el punto central del argumento de Zenón, y que resolver los problemas matemáticos no resuelve todos los problemas que plantean las paradojas. Brown concluye: «Dada la historia de las "resoluciones finales", desde Aristóteles en adelante, probablemente sea insensato pensar que hemos llegado al final. Puede que los argumentos de Zenón sobre el movimiento, debido a su simplicidad y universalidad, siempre sirvan como una especie de " imagen de Rorschach " sobre la cual las personas pueden proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si las tienen)». [ 11 ]

Henri Bergson

Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson en su libro de 1896, Materia y memoria , es que, si bien la trayectoria es divisible, el movimiento no lo es. [ 37 ] [ 38 ]

Peter Lynds

En 2003, Peter Lynds argumentó que todas las paradojas del movimiento de Zenón se resuelven al concluir que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] Lynds argumenta que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (pues si la tuviera, no podría estar en movimiento), y por lo tanto no se puede diseccionar su movimiento fraccionalmente como si lo hiciera, como se supone en las paradojas. Nick Huggett argumenta que Zenón está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que cuando están en reposo deben estar en reposo. [ 20 ]

Bertrand Russell

Basándose en el trabajo de Georg Cantor , [ 42 ] Bertrand Russell ofreció una solución a las paradojas, conocida como la «teoría del movimiento at-at». Esta teoría sostiene que no puede haber movimiento «durante» un instante sin duración y afirma que lo único que se requiere para que haya movimiento es que la flecha esté en un punto en un momento dado, en otro punto en otro momento y en puntos apropiados entre esos dos puntos durante los intervalos de tiempo. Desde esta perspectiva, el movimiento es simplemente un cambio de posición a lo largo del tiempo. [ 43 ] [ 44 ]

Hermann Weyl

Otra solución propuesta consiste en cuestionar una de las suposiciones que Zenón utilizó en sus paradojas (en particular, la Dicotomía), según la cual entre dos puntos cualesquiera en el espacio (o el tiempo) siempre existe otro punto. Sin esta suposición, solo hay un número finito de distancias entre dos puntos; por lo tanto, no existe una secuencia infinita de movimientos, y la paradoja queda resuelta. Según Hermann Weyl , la suposición de que el espacio está formado por unidades finitas y discretas está sujeta a un problema adicional, dado por el « argumento de la tesela » o «problema de la función de distancia». [ 45 ] [ 46 ] Según este argumento, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en un espacio discretizado siempre es igual a la suma de las longitudes de los dos catetos, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el Argumento de la Tesela puede resolverse y que, por lo tanto, la discretización puede eliminar la paradoja. [ 34 ] [ 47 ]

Aplicaciones

Efecto cuántico de Zeno

En 1977, [ 48 ] los físicos EC George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evolución dinámica (transiciones entre estados discretos) de un sistema cuántico puede inhibirse mediante la medición del sistema. [ 49 ] Este efecto se conoce generalmente como el efecto Zeno cuántico, ya que recuerda mucho a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958. [ 50 ]

Comportamiento de Zenón

En el campo de la verificación y el diseño de sistemas temporizados e híbridos , el comportamiento del sistema se denomina Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en un tiempo finito. [ 51 ] Algunas técnicas de verificación formal excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes a un comportamiento no Zeno. [ 52 ] [ 53 ] En el diseño de sistemas, estos comportamientos también se suelen excluir de los modelos de sistema, ya que no se pueden implementar con un controlador digital. [ 54 ]

Paradojas similares

Escuela de nombres

Diagrama de la paradoja del palo de Hui Shi

Aproximadamente de forma contemporánea durante el período de los Reinos Combatientes (475-221 a. C.), los antiguos filósofos chinos de la Escuela de los Nombres , una escuela de pensamiento igualmente preocupada por la lógica y la dialéctica, desarrollaron paradojas similares a las de Zenón. Las obras de la Escuela de los Nombres se han perdido en gran parte, con la excepción de fragmentos del Gongsun Longzi . La segunda de las Diez Tesis de Hui Shi sugiere el conocimiento de los infinitesimales: Aquello que no tiene grosor no puede apilarse; sin embargo, tiene mil li de dimensión. Entre los muchos enigmas suyos registrados en el Zhuangzi hay uno muy similar a la Dicotomía de Zenón:

"Si de un palo de treinta centímetros de largo se quita cada día la mitad, en incontables eras no se agotará."

— Zhuangzi , capítulo 33 (traducción de Legge) [ 55 ]

El canon mohista parece proponer una solución a esta paradoja argumentando que, al moverse a lo largo de una longitud medida, la distancia no se cubre en fracciones sucesivas de la longitud, sino en una sola etapa. Debido a la escasez de obras conservadas de la Escuela de los Nombres, la mayoría de las demás paradojas enumeradas son difíciles de interpretar. [ 56 ]

« Lo que la tortuga le dijo a Aquiles », [ 57 ] escrito en 1895 por Lewis Carroll , describe un argumento de regresión infinita paradójica en el ámbito de la lógica pura. Utiliza a Aquiles y a la tortuga como personajes en una clara referencia a la paradoja de Aquiles de Zenón. [ 58 ]

Véase también

Notas

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  5. ↑ Parménides 128d
  6. ↑ Parménides 128a–b
  7. ↑ ([fragmento 65], Diógenes Laercio. IX Archivado el 12 de diciembre de 2010 en Wayback Machine 25 y ss. y VIII 57).
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