Grupo esporádico de Thompson

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Thompson Th es un grupo simple esporádico de orden

   90.745.943.887.872.000

= 2 ¹⁵ · 3 ¹⁰ · 5 ³ · 7 ² · 13 · 19 · 31      

≈ 9 × 10¹⁶ .

Th es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por John G. Thompson ( 1976 ) y construido por Smith (1976) . Lo construyeron como el grupo de automorfismos de un cierto retículo en el álgebra de Lie de 248 dimensiones de E ₈ . No preserva el corchete de Lie de este retículo, pero sí preserva el corchete de Lie módulo 3, por lo que es un subgrupo del grupo de Chevalley E ₈ (3). El subgrupo que preserva el corchete de Lie (sobre los enteros) es un subgrupo maximal del grupo de Thompson llamado grupo de Dempwolff (que, a diferencia del grupo de Thompson, es un subgrupo del grupo de Lie compacto E ₈ ). 

El centralizador de un elemento de orden 3 de tipo 3C en el grupo Monster es un producto del grupo Thompson y un grupo de orden 3, como resultado del cual el grupo Thompson actúa sobre un álgebra de operadores de vértice sobre el cuerpo con 3 elementos. Esta álgebra de operadores de vértice contiene el álgebra de Lie E ₈ sobre F ₃ , lo que da la incrustación de Th en E ₈ (3).

El normalizador completo de un elemento 3C en el grupo Monster es S ₃ × Th, por lo que Th centraliza 3 involuciones junto con el ciclo 3. Estas involuciones están centralizadas por el grupo Baby monster , que por lo tanto contiene a Th como subgrupo.

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos del grupo de Thompson son ambos triviales.

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el fenómeno de la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para Th , la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{3C}(\tau )}$( OEIS : A007245  ),

${\displaystyle T_{3C}(\tau )={\Big (}j(3\tau ){\Big )}^{1/3}={\frac {1}{q}}\,+\,248q^{2}\,+\,4124q^{5}\,+\,34752q^{8}\,+\,213126q^{11}\,+\,1057504q^{14}+\cdots \,}$

y j ( τ ) es el invariante j .

Linton (1989) encontró las 16 clases de conjugación de subgrupos máximos de Th de la siguiente manera:

• Linton, Stephen A. (1989), "Los subgrupos maximales del grupo de Thompson", Journal of the London Mathematical Society , Segunda Serie, 39 (1): 79– 88, doi : 10.1112/jlms/s2-39.1.79 , ISSN 0024-6107 , MR 0989921  
• Smith, PE (1976), "Un subgrupo simple de M? y E ₈ (3)", The Bulletin of the London Mathematical Society , 8 (2): 161– 165, doi : 10.1112/blms/8.2.161 , ISSN 0024-6093 , MR 0409630  
• Thompson, John G. (1976), "Un teorema de conjugación para E ₈ ", Journal of Algebra , 38 (2): 525– 530, doi : 10.1016/0021-8693(76)90235-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0399193  

• MathWorld: Grupo Thompson
• Atlas de representaciones de grupos finitos: Grupo de Thompson