Regla 68–95–99.7

En estadística , la regla 68-95-99.7 , también conocida como regla empírica o regla 68-95-99.7 para una distribución normal ^{[ 1 ]} y a veces abreviada como 3 sr o 3 σ , es una forma abreviada que se utiliza para recordar el porcentaje de valores que se encuentran dentro de una estimación de intervalo en una distribución normal : aproximadamente el 68%, el 95% y el 99.7% de los valores se encuentran dentro de una, dos y tres desviaciones estándar de la media , respectivamente.

En notación matemática, estos hechos se pueden expresar de la siguiente manera, donde Pr() es la función de probabilidad , ^{[ 2 ]} Χ es una observación de una variable aleatoria con distribución normal , μ (mu) es la media de la distribución y σ (sigma) es su desviación estándar: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 68.27\%\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 95.45\%\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 99.73\%\end{aligned}}}$$

La utilidad de esta heurística depende especialmente de la pregunta en cuestión y de la forma en que se han recopilado los datos; en particular, depende de que los datos sigan una distribución normal : entre las numerosas distribuciones en forma de campana que se observan con frecuencia en los datos reales, la distribución normal se caracteriza por tener " colas delgadas ", es decir, una concentración inusual de probabilidad cerca de su centro. Si el dato X se rige, en cambio, por una de las muchas distribuciones de apariencia similar y de uso común que tienen " colas más gruesas " (con una probabilidad más dispersa), la significancia sería menor para las tres desviaciones de la media.

En las ciencias empíricas , la llamada regla general de tres sigmas (o regla de 3 σ ) expresa una heurística convencional según la cual casi todos los valores se consideran dentro de tres desviaciones estándar de la media, y por lo tanto, es útil empíricamente tratar una probabilidad del 99,7% como casi certeza. ^{[ 3 ]}

En las ciencias sociales , un resultado puede considerarse estadísticamente significativo (lo suficientemente claro como para justificar un examen más detenido) si su nivel de confianza es del orden de un efecto de dos sigmas (95%), mientras que en física de partículas , existe la convención de requerir una significancia estadística de un efecto de cinco sigmas (99,99994% de confianza) para calificar como un descubrimiento . ^{[ 4 ]}

Una regla de tres sigma más débil se puede derivar de la desigualdad de Chebyshev , que establece que incluso para variables con distribución no normal, al menos el 88,8 % de los casos deberían estar dentro de intervalos de tres sigma calculados correctamente. Para distribuciones unimodales , la probabilidad de estar dentro de tres sigma es de al menos el 95 % según la desigualdad de Vysochanskij-Petunin . Puede haber ciertas suposiciones para una distribución que obliguen a que esta probabilidad sea de al menos el 98 %. ^{[ 5 ]}

Tenemos eso $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -n\sigma \leq X\leq \mu +n\sigma )=\int _{\mu -n\sigma }^{\mu +n\sigma }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx,\end{aligned}}}$$ realizar el cambio de variable en términos de la puntuación estándar${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-n}^{n}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\end{aligned}},}$$ y esta integral es independiente de${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$. Solo necesitamos calcular cada integral para los casos${\displaystyle n=1,2,3}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{1}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.6826894921\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{2}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9544997361\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{3}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9973002039.\end{aligned}}}$$

Estos valores numéricos "68%, 95%, 99,7%" provienen de la función de distribución acumulativa de la distribución normal .

El intervalo de predicción para cualquier puntuación estándar z corresponde numéricamente a (1 − (1 − Φ _{μ , σ ²} (z)) · 2) .

Por ejemplo, Φ(2) ≈ 0,9772 , o Pr( X ≤ μ + 2 σ ) ≈ 0,9772 , que corresponde a un intervalo de predicción de (1  −  (1  −  0,97725)·2) =  0,9545 =  95,45 % . Este no es un intervalo simétrico; es simplemente la probabilidad de que una observación sea menor que μ + 2 σ . Para calcular la probabilidad de que una observación esté dentro de dos desviaciones estándar de la media (pequeñas diferencias debido al redondeo): $${\displaystyle \Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545}$$

Esto está relacionado con el intervalo de confianza tal como se utiliza en estadística:${\displaystyle {\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$es aproximadamente un intervalo de confianza del 95% cuando${\displaystyle {\bar {X}}}$es el promedio de una muestra de tamaño${\displaystyle n}$.

La regla del 68-95-99,7 se utiliza a menudo para obtener rápidamente una estimación aproximada de la probabilidad de un evento, dada su desviación estándar, si se asume que la población es normal. También se utiliza como una prueba sencilla para detectar valores atípicos si se asume que la población es normal, y como una prueba de normalidad si la población podría no serlo.

Para pasar de una muestra a un número de desviaciones estándar, primero se calcula la desviación , ya sea el error o el residuo, dependiendo de si se conoce la media poblacional o solo se estima. El siguiente paso es estandarizar (dividir por la desviación estándar poblacional), si se conocen los parámetros poblacionales, o estudentizar (dividir por una estimación de la desviación estándar), si los parámetros son desconocidos y solo se estiman.

Para utilizarlo como prueba de valores atípicos o prueba de normalidad, se calcula la magnitud de las desviaciones en términos de desviaciones estándar y se compara con la frecuencia esperada. Dado un conjunto de muestras, se pueden calcular los residuos estudentizados y compararlos con la frecuencia esperada: los puntos que se encuentran a más de 3 desviaciones estándar de la norma son probablemente valores atípicos (a menos que el tamaño de la muestra sea significativamente grande, en cuyo caso se espera una muestra tan extrema), y si hay muchos puntos que superan las 3 desviaciones estándar de la norma, es probable que haya motivos para cuestionar la normalidad asumida de la distribución. Esto se aplica con mayor fuerza a desviaciones de 4 o más desviaciones estándar.

Se puede calcular con mayor precisión, aproximando el número de movimientos extremos de una magnitud determinada o mayor mediante una distribución de Poisson , pero simplemente, si se tienen múltiples movimientos de 4 desviaciones estándar en una muestra de tamaño 1000, hay razones de peso para considerar estos valores atípicos o cuestionar la normalidad asumida de la distribución.

Por ejemplo, un evento de 6σ corresponde a una probabilidad de aproximadamente dos partes por mil millones . A modo de ejemplo, si se considera que los eventos ocurren diariamente, esto correspondería a un evento esperado cada 1,4 millones de años. Esto proporciona una prueba de normalidad sencilla : si se observa un valor de 6σ en los datos diarios y han transcurrido significativamente menos de 1 millón de años, entonces es muy probable que una distribución normal no proporcione un buen modelo para la magnitud o frecuencia de grandes desviaciones en este sentido.

Debido a que las colas de la distribución normal disminuyen exponencialmente, las probabilidades de mayores desviaciones disminuyen muy rápidamente. Según las reglas para datos con distribución normal para un evento diario:

• valor p
• Seis Sigma §  Niveles Sigma
• Puntuación estándar
• estadístico t

• "Calcular la proporción porcentual dentro de x sigmas " . WolframAlpha .