Problema de los tres prisioneros

El problema de los tres prisioneros apareció en la columna " Juegos matemáticos " de Martin Gardner en Scientific American en 1959. ^{[1] [2]} Es matemáticamente equivalente al problema de Monty Hall con el coche y la cabra reemplazados respectivamente por libertad y ejecución. ^[3]

Tres prisioneros, A, B y C, están en celdas separadas y condenados a muerte. El director ha elegido al azar a uno de ellos para que sea indultado. El director sabe quién es el indultado, pero no se le permite decirlo. El prisionero A le ruega al director que le permita saber la identidad de uno de los dos que van a ser ejecutados. "Si B va a ser indultado, dame el nombre de C. Si C va a ser indultado, dame el nombre de B. Y si yo voy a ser indultado, tira una moneda en secreto para decidir si me das el nombre B o C".

El director le da el nombre de B. El prisionero A está contento porque cree que su probabilidad de sobrevivir ha aumentado de ⁠1/3⁠ a ⁠1/2⁠ , como es ahora entre él y C. El prisionero A le cuenta en secreto la noticia a C, quien razona que la posibilidad de A de ser perdonado no ha cambiado en ⁠1/3⁠ , pero está contento porque su propia oportunidad ha aumentado .2/3¿ Cuál prisionero tiene razón?

La respuesta es que el prisionero A no obtuvo ninguna información sobre su propio destino, ya que ya sabía que el director le daría el nombre de otra persona. El prisionero A, antes de recibir noticias del director, estima que sus posibilidades de ser indultado son ⁠1/3⁠ , lo mismo que B y C. Como el director dice que B será ejecutado, es porque C será indultado ( ⁠1/3⁠ oportunidad), o A será perdonado ( ⁠1/3⁠ azar) y la moneda que el director lanzó para decidir si nombrar a B o C salió B (1/2⁠ oportunidad; para un total ⁠1/2×​​1/3⁠ = ⁠1/6⁠ Se nombró la posibilidad B porque A será indultado). Por lo tanto, después de escuchar que B será ejecutado, la estimación de la posibilidad de que A sea indultado es la mitad de la de C. Esto significa que sus posibilidades de ser indultado, ahora sabiendo que B no lo es, nuevamente son1/3⁠ , pero C tiene un ⁠2/3⁠ posibilidad de ser indultado.

La explicación anterior se puede resumir en la siguiente tabla. Como A le pide al director que responda que B o C deben ser ejecutados (o "no indultados").

Como el director ha respondido que B no será indultado, la solución viene de la segunda columna "no B". Parece que las probabilidades de que A sea indultado frente a C son de 1:2.

Llame a , y los eventos de que el prisionero correspondiente será perdonado, y el evento de que el director le dice a A que el prisionero B será ejecutado, entonces, usando el teorema de Bayes , la probabilidad posterior de que A sea perdonado, es: ^[4]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {P(b|A)P(A)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

La probabilidad de que C sea indultado, por otra parte, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(C|b)&={\frac {P(b|C)P(C)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {1\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}$

La diferencia crucial que hace que A y C sean desiguales es que, pero . Si A será indultado, el alcaide puede decirle a A que B o C serán ejecutados, y por lo tanto ; mientras que si C será indultado, el alcaide solo puede decirle a A que B será ejecutado, por lo que . ${\displaystyle P(b|A)={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle P(b|C)=1}$${\displaystyle P(b|A)={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle P(b|C)=1}$

El prisionero A solo tiene un ⁠1/3⁠ probabilidad de indulto. Saber si B o C serán ejecutados no cambia su probabilidad. Después de escuchar que B será ejecutado, el prisionero A se da cuenta de que si no obtiene el indulto él mismo, solo lo obtendrá C. Eso significa que hay una probabilidad de 2/3 de que C obtenga el indulto. Esto es comparable al problema de Monty Hall .

Pueden surgir los siguientes escenarios:

1. A es indultado y el director menciona que B debe ser ejecutado :1/3×​​1/2⁠ = ⁠1/6⁠ de los casos
2. A es indultado y el director menciona que C debe ser ejecutado :1/3×​​1/2⁠ = ⁠1/6⁠ de los casos
3. B es indultado y el director menciona que C debe ser ejecutado :1/3⁠ de los casos
4. C es indultado y el director menciona que B debe ser ejecutado :1/3⁠ de los casos

Con la condición de que el director elegirá al azar, en el ⁠1/3⁠ del momento en que A debe ser perdonado, hay una ⁠1/2⁠ Hay posibilidades de que diga B y1/2⁠ Es probable que diga C. Esto significa que, en general ,1/6⁠ del tiempo ( ⁠1/3⁠ [que A está perdonado] × ⁠1/2⁠ [ese alcaide dice B]), el alcaide dirá B porque A será perdonado, y ⁠1/6⁠ del tiempo ( ⁠1/3⁠ [que A está perdonado] × ⁠1/2⁠ [ese alcaide dice C]) dirá C porque A está siendo indultado. Esto suma el total de ⁠1/3⁠ del tiempo ( ⁠1/6⁠ + ⁠1/6) A está siendo perdonado, lo cual es exacto.

Ahora está claro que si el director responde B a A ( ⁠1/2⁠ de todos los casos), entonces ⁠1/3⁠ de las veces C es indultado y A aún será ejecutado (caso 4), y sólo ⁠1/6⁠ de las veces que A es indultado (caso 1). Por lo tanto, las probabilidades de C son ( ⁠1/3⁠ )/( ⁠1/2⁠ ) ​​= ⁠2/3⁠ y las A son ( ⁠1/6⁠ )/( ⁠1/2⁠ ) ​​= ⁠1/3⁠ .

La clave de este problema es que el director no puede revelar el nombre de un preso que será indultado. Si eliminamos este requisito, podemos demostrar el problema original de otra manera. El único cambio en este ejemplo es que el preso A pide al director que revele el destino de uno de los otros presos (sin especificar uno que será ejecutado). En este caso, el director lanza una moneda y elige a uno de B y C para revelar el destino. Los casos son los siguientes:

1. Un alcaide indultado dice: B ejecutado ( ⁠1/6⁠ )
2. Un alcaide indultado dice: C ejecutado ( ⁠1/6⁠ )
3. B perdonado, dice el alcaide: B perdonado ( ⁠1/6⁠ )
4. B indultado, dice el director: C ejecutado ( ⁠1/6⁠ )
5. C indultado, dice el director: B ejecutado ( ⁠1/6⁠ )
6. C indultado, dice el alcaide: C indultado ( ⁠1/6⁠ )

Cada escenario tiene un1/6⁠ probabilidad. El problema original de los tres prisioneros se puede ver desde esta perspectiva: el director de ese problema todavía tiene estos seis casos, cada uno con una ⁠1/6⁠ probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, el director en el caso original no puede revelar el destino de un prisionero indultado. Por lo tanto, en el caso 3, por ejemplo, dado que decir "B es indultado" no es una opción, el director dice "C es ejecutado" en su lugar (lo que lo convierte en lo mismo que el caso 4). Eso deja los casos 4 y 5 cada uno con una ⁠1/3⁠ probabilidad de que ocurra y nos deja con la misma probabilidad que antes.

La tendencia de las personas a dar la respuesta 1/2 probablemente se deba a una tendencia a ignorar el contexto que puede parecer poco impactante. Por ejemplo, la forma en que se le plantea la pregunta al guardia puede afectar la respuesta. Esto se puede demostrar considerando un caso modificado, donde todo lo demás sobre el problema permanece igual. ^[4] Usando el Teorema de Bayes una vez más: ${\displaystyle P(A)={\frac {1}{4}},P(B)={\frac {1}{4}},P(C)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{5}}.\end{aligned}}}$

Sin embargo, si A simplemente pregunta si B será ejecutado, y el director responde "sí", la probabilidad de que A sea indultado se convierte en:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {1\times {\tfrac {1}{4}}}{1\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$ ^[4]

Un supuesto similar es que A planea de antemano pedirle esta información al director. Un caso similar al anterior surge si A no planea preguntarle nada al director y el director simplemente le informa que ejecutará a B. ^[5]

Otro supuesto que probablemente se pase por alto es que el director tiene una elección probabilística. Definámosla como la probabilidad condicional de que el director nombre a B dado que C será ejecutado. La probabilidad condicional puede entonces expresarse como: ^[6]${\estilo de visualización p}$${\displaystyle P(A|b)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {p}{p+1}}\end{aligned}}}$

Si asumimos que , es decir, que no tenemos en cuenta que el director está haciendo una elección probabilística, entonces . Sin embargo, la realidad del problema es que el director está lanzando una moneda ( ), por lo que . ^[5]${\estilo de visualización p=1}$${\displaystyle P(A|b)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle P(A|b)={\frac {1}{3}}}$

Judea Pearl (1988) utilizó una variante de este ejemplo para demostrar que las actualizaciones de creencias deben depender no sólo de los hechos observados sino también del experimento (es decir, la consulta) que condujo a esos hechos. ^[7]

• Problema de Monty Hall
• Paradoja del niño o la niña
• Principio de elección restringida , una aplicación en el juego de cartas bridge
• El dilema del prisionero , un problema de teoría de juegos
• Problema de la Bella Durmiente
• Problema de los dos sobres

• Frederick Mosteller , Cincuenta problemas desafiantes en probabilidad , pág. 28, en Google Books .
• Richard Isaac, Los placeres de la probabilidad , pág. 24, en Google Books .