Clase Todd

En matemáticas , la clase de Todd es una construcción que actualmente se considera parte de la teoría de clases características en topología algebraica . La clase de Todd de un fibrado vectorial se puede definir mediante la teoría de clases de Chern y aparece donde existen clases de Chern , sobre todo en topología diferencial , teoría de variedades complejas y geometría algebraica . En términos generales, una clase de Todd actúa como la recíproca de una clase de Chern, o se relaciona con ella como un fibrado conormal con un fibrado normal .

La clase de Todd juega un papel fundamental en la generalización del teorema clásico de Riemann-Roch a dimensiones superiores, en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch .

Recibe su nombre de J.A. Todd , quien introdujo un caso especial del concepto en geometría algebraica en 1937, antes de que se definieran las clases de Chern. La idea geométrica implicada se conoce a veces como la clase de Todd-Eger . La definición general en dimensiones superiores se debe a Friedrich Hirzebruch .

Para definir la clase Todd${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$dónde${\displaystyle E}$es un fibrado vectorial complejo en un espacio topológico${\displaystyle X}$, por lo general es posible limitar la definición al caso de una suma de Whitney de haces de líneas , mediante un dispositivo general de la teoría de clases características, el uso de raíces de Chern (también conocido como principio de escisión ). Para la definición, sea ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

sea ​​la serie de potencias formal con la propiedad de que el coeficiente de${\displaystyle x^{n}}$en${\displaystyle Q(x)^{n+1}}$es 1, donde${\displaystyle B_{i}}$denota el${\displaystyle i}$-ésimo número de Bernoulli (con${\displaystyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$). Considere el coeficiente de${\displaystyle x^{j}}$en el producto

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

para cualquier${\displaystyle m>j}$. Esto es simétrico en el${\displaystyle \beta _{i}}$s y homogéneo de peso${\displaystyle j}$: por lo tanto, puede expresarse como un polinomio${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})}$en las funciones simétricas elementales${\displaystyle p}$del${\displaystyle \beta _{i}}$s. Entonces${\displaystyle \operatorname {td} _{j}}$define los polinomios de Todd : forman una secuencia multiplicativa con${\displaystyle Q}$como serie de potencias características .

Si${\displaystyle E}$tiene el${\displaystyle \alpha _{i}}$como sus raíces Chern , luego la clase Todd

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

que se debe calcular en el anillo de cohomología de${\displaystyle X}$(o en su totalidad si se quieren considerar variedades de dimensión infinita).

La clase de Todd se puede dar explícitamente como una serie de potencias formal en las clases de Chern de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }$

donde las clases de cohomología${\displaystyle c_{i}}$son las clases de Chern de${\displaystyle E}$y se encuentran en el grupo de cohomología${\displaystyle H^{2i}(X)}$. Si${\displaystyle X}$es de dimensión finita entonces la mayoría de los términos se desvanecen y${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$es un polinomio en las clases de Chern.

La clase Todd es multiplicativa: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).}$

Dejar${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$sea ​​la clase fundamental de la sección hiperplana. A partir de la multiplicatividad y la sucesión exacta de Euler para el fibrado tangente de${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

se obtiene ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

Para cualquier curva algebraica${\displaystyle C}$La clase Todd es simplemente${\displaystyle \operatorname {td} (C)=1+{\frac {1}{2}}c_{1}(T_{C})}$. Desde${\displaystyle C}$es proyectivo, puede estar incrustado en algún${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$y podemos encontrar${\displaystyle c_{1}(T_{C})}$utilizando la secuencia normal

${\displaystyle 0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P^{n}} }|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

y propiedades de las clases de Chern. Por ejemplo, si tenemos un grado${\displaystyle d}$curva plana en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, encontramos que la clase total de Chern es

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle [H]}$es la clase hiperplano en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$restringido a${\displaystyle C}$.

Para cualquier haz coherente F en una variedad compleja compacta y lisa M , se tiene

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),}$

dónde${\displaystyle \chi (F)}$es su característica de Euler holomorfa ,

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),}$

y${\displaystyle \operatorname {ch} (F)}$su personaje Chern .

• Género de una secuencia multiplicativa

• Todd, JA (1937), "Los invariantes aritméticos de los lugares geométricos algebraicos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 43 (1): 190– 225, doi : 10.1112/plms/s2-43.3.190 , Zbl 0017.18504 
• Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica , Springer (1978)
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Clase Todd" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Huybrechts, Daniel (18 de noviembre de 2004). Geometría compleja: Una introducción . Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: año ( enlace )