Regla de Marteloio

El erudito y clérigo Ramón Llull de Mallorca fue el primer escritor en referirse a una regla para resolver el problema de la navegación por arcos. En su Arbor Scientiae (1295), en la sección de cuestiones de geometría, Llull escribe:

¿Cómo miden los marineros las millas en el mar ( miliaria in mari )? Los marineros consideran los cuatro vientos generales, es decir, el este, el oeste, el norte y el sur, y también otros cuatro vientos que se encuentran entre ellos: el griego (NE), el exaloch (SE), el lebeg (SO) y el maestre (NO). Y observan cuidadosamente el centro del círculo en el que los vientos (rhumbs) se encuentran en ángulos; consideran que cuando un barco viaja con el viento del este ( levante ) a 100 millas del centro, cuántas millas recorrería con el viento del sureste ( exaloch ); y para 200 millas, duplican el número multiplicando y así saben cuántas millas hay desde el final de cada 100 millas en dirección este hasta el punto correspondiente en dirección sureste. Y para esto tienen este instrumento [¿una tabla matemática?] y una carta náutica, timón, aguja y la estrella polar. ^{[ 14 ]}

Lo que Llull parece estar tratando de explicar es que un barco que navega hacia el este, pero que pretende navegar hacia el sureste, puede calcular cuánto de la distancia prevista hacia el sureste ya ha recorrido correctamente; lo que los italianos llamaban el " avanzar ", pero que Llull parece llamar " miliaria in mari ". Llull no explica exactamente cómo, sino que solo se refiere a un "instrumento", presumiblemente algún tipo de tabla trigonométrica. Llull da a entender que los marineros pueden calcular la miliaria en el rumbo previsto multiplicando la distancia realmente navegada en el rumbo erróneo por el coseno del ángulo entre las dos rutas. ^{[ 15 ]}

Miliaria in mari = distancia navegada × cos( θ )

donde θ es el ángulo de diferencia entre las dos rutas.

Siguiendo el ejemplo de Lull, un barco que pretendía navegar hacia el sureste ("Exaloch" es la palabra catalana para "Scirocco") pero que en cambio se vio obligado a navegar hacia el este ("Levante"), entonces el ángulo de diferencia es θ  =  45°. Después de 100 millas en la ruta errónea, la miliaria en la ruta prevista es 100 × cos 45° = 70,71. Duplicar la navegación en la ruta errónea a 200 millas duplicará la miliaria en la ruta prevista a 141,42 millas (= 200 cos 45°).      

(Esquemáticamente, la miliaria in mari de Lull se mide construyendo un triángulo rectángulo trazando una cuerda desde la distancia navegada en el rumbo real hasta el rumbo previsto, encontrándose con este último en un ángulo de 90°).

Llull es un poco más explícito en su Ars magna generalis et ultima (escrito hacia 1305). ^{[ 16 ]} Invirtiendo su ejemplo, con un barco que en realidad navega hacia el sureste pero que pretende navegar hacia el este, Llull observa que por cada cuatro millas en rumbo sureste, "gana tres millas" (2,83 en realidad) en la ruta prevista hacia el este. Así, observa Llull, el barco "pierde 25 millas" (29 en realidad) de su rumbo previsto por cada 100 millas que navega en el rumbo actual.

Nótese que en sus pasajes, Ramón Llull no recomienda la regla, sino que la menciona, insinuando que esta regla ya era conocida y utilizada por los marineros contemporáneos en la práctica. ^{[ 17 ]} Esto quizás no sea sorprendente, aunque la trigonometría estaba en sus inicios en la Europa cristiana, las tablas de seno y coseno ya eran conocidas en las matemáticas árabes . ^{[ 18 ]} El Reino de Mallorca , bajo dominio musulmán hasta la década de 1230, seguía siendo un centro multicultural en la época de Llull, con florecientes comunidades judías , muchas de las cuales se dedicaban a las matemáticas y la astronomía, y cuyos marineros tenían un amplio contacto a través del mar Mediterráneo. ^{[ 19 ]} No es improbable que los navegantes mallorquines tuvieran a mano algún tipo de tabla trigonométrica. Sin embargo, el contenido y la disposición exactos de esta tabla a la que se refiere Ramón Llull en 1295 son inciertos.

Tenemos nuestro primer vistazo a una tabla trigonométrica de marinero más de un siglo después de Llull. En el primer folio de su atlas portulano de 1436 , el capitán veneciano Andrea Bianco explica el raxon de marteloio , cómo calcular la travesía y recuperar el rumbo. Presenta una sencilla tabla trigonométrica que llama toleta de marteloio y recomienda a los marineros que la memoricen. ^{[ 20 ]}

La toleta de marteloio se establece de la siguiente manera: ^{[ 21 ]}

Los números en la Toleta pueden aproximarse mediante las fórmulas modernas: ^{[ 22 ]}

• Alargar = 100 × sen ( q × 11,25)
• Avanzar = 100 × cos ( q × 11,25)
• Ritorno = 10 / pecado ( q × 11,25)
• Avanzo di ritorno = 10 / tan ( q × 11,25)

donde q = número de cuartos de viento (ángulo de diferencia expresado en número de cuartos de viento). Los números funcionan con cuartos de viento establecidos a intervalos de 11,25°, o 11°15', la definición habitual de un cuarto de viento.

La Toleta es una tabla sencilla con varias columnas de números. En la primera columna se encuentra el ángulo de diferencia entre el rumbo real y el rumbo previsto, expresado en número de vientos de cuarto de círculo . Una vez determinada esta diferencia, la segunda columna indica el Alargar (la "Ampliación", la distancia actual del barco respecto al rumbo previsto), mientras que la tercera columna indica el Avanzar (el "Avance", la distancia del rumbo previsto que ya se ha recorrido navegando con la marcación actual; esto equivale a la miliaria di mari de Ramón Llull ). Los valores de Alargar y Avanzar se muestran en la tabla del Bianco para 100 millas de navegación en el rumbo actual.

Ejemplo : supongamos que un barco pretendía navegar rumbo al este ("Levante") desde el punto A al punto B. Pero supongamos que los vientos lo obligan a navegar rumbo sureste (SEbE, "Quarto di Scirocco verso Levante"). El sureste es tres cuartos de viento (o 33,75°) alejándose del este (en una brújula de 32 puntos , en orden de cuartos de viento alejándose del este, 1 cuarto es este-sur, 2 cuartos es este-sureste, 3 cuartos es sureste-este). Eso significa que el navegante debe consultar la tercera fila, q = 3, en la toleta.   

Supongamos que el barco navegó 100 millas con rumbo SE-E. Para comprobar su distancia respecto al rumbo previsto hacia el este, el marinero leerá la entrada correspondiente en la columna de avance e inmediatamente verá que se encuentra a 55 millas del rumbo previsto. La columna de avance le informa que, habiendo navegado 100 millas con rumbo SE-E actual, ha recorrido 83 millas del rumbo previsto hacia el este.

El siguiente paso es determinar cómo retomar el rumbo previsto. Siguiendo con el ejemplo, para volver al rumbo previsto hacia el este, nuestro marinero debe reorientar la marcación del barco hacia el noreste. Pero existen varios ángulos noreste: NbE, NNE, NE, ENE, etc. El marinero debe elegir la marcación: si regresa con un ángulo pronunciado (por ejemplo, hacia el norte por el este), volverá al rumbo previsto más rápido que con una pendiente más suave (por ejemplo, hacia el este por el norte). Cualquiera que sea el ángulo que elija, debe calcular con exactitud cuánto tiempo debe navegar con esa marcación para alcanzar su rumbo anterior. Si navega demasiado tiempo, corre el riesgo de pasarse de largo.

Calcular el rumbo de regreso es para lo que sirven las últimas tres columnas de la tabla. En la cuarta columna, los ángulos de regreso se expresan como cuartos de rumbo desde el rumbo previsto ( no el rumbo actual). En nuestro ejemplo, el marinero tenía la intención de ir hacia el este, pero ha estado navegando hacia el sureste durante 100 millas. Dados los vientos, decide que lo mejor es regresar al rumbo original reorientando el barco hacia el este-noreste (ENE, "Greco-Levante"). El ENE está dos cuartos de viento por encima del rumbo previsto , el este, así que ahora mira la segunda fila ("cuartos = 2") en la cuarta columna de la tabla.

La quinta columna es el ritorno , la distancia que debe recorrer en el ángulo de retorno elegido para recuperar el rumbo original. Dado que ha elegido regresar con rumbo ENE (q = 2), entonces debe leer la segunda fila de la columna ritorno , que muestra el número 26. Esto representa la cantidad de millas que debe recorrer con rumbo ENE por cada 10 millas que se desvió. Recuerde que su alargar (distancia del rumbo previsto) fue de 55 millas. Entonces, para regresar a su rumbo previsto debe recorrer 5.5 × 26 = 143 millas con rumbo ENE. En otras palabras, necesita mantener su rumbo ENE durante 143 millas; una vez que haya recorrido esa distancia, debe enderezar su barco hacia el este y estará exactamente de vuelta en el rumbo previsto.

La sexta y última columna ( avanzo di ritorno ) indica la longitud del rumbo previsto que ha recorrido en su viaje de regreso. Esto también se expresa en términos por cada 10 millas alargar. Su alargar fue de 55, y su ángulo de retorno fue ENE (por lo tanto q = 2), lo que significa que su avanzo di ritorno es 5,5 × 24 = 132. En otras palabras, si todo sale bien, y nuestro marinero mantiene su rumbo ENE durante 143 millas ( ritorno ), entonces durante ese regreso, habrá cubierto 132 millas adicionales en su rumbo previsto hacia el este ( avanzo di ritorno ).

Finalmente, para calcular la distancia total recorrida (avanzo total) en dirección este durante toda su travesía, debe sumar el avance durante la desviación (83 millas) más el avance de regreso (132 millas). Así, en total, ha cubierto 83 + 132 = 215 millas en la ruta prevista. Midiendo esa distancia en el mapa desde el punto de partida ( A ), el marinero puede determinar su posición actual exacta.

Este es el uso más sencillo de la tabla de Marteloio. En esencia, es una tabla trigonométrica. Sin embargo, no resuelve el problema de la travesía de una sola vez, como la Ley de los Senos, sino que lo divide en dos triángulos rectángulos que resuelve sucesivamente. La trigonometría moderna prescindiría del cálculo del alargar y calcularía el ritorno directamente; pero para ello se necesita una tabla de senos completa . La tabla de Marteloio es bastante simple, fácil de consultar y con la que realizar cálculos, y lo suficientemente compacta como para que los navegantes la memoricen (como recomienda Bianco).

La toleta de marteloio se expresa con números redondos, 100 y 10. Pero, en la práctica, un barco no suele navegar 100 millas antes de intentar regresar, sino alguna otra distancia, digamos 65 millas. Calcular esto es un simple problema de resolución de proporciones . Por ejemplo, si el barco hubiera navegado 65 millas en dirección sureste, entonces calcular la alargar desde el rumbo previsto hacia el este es simplemente cuestión de resolver lo siguiente para x :

${\displaystyle {\frac {55}{100}}={\frac {x}{65}}}$

donde 55 es el alargar para 100 millas (como se indica en la segunda columna de la tabla en q = 3). Esto se hace fácilmente con la sencilla " Regla de tres ", un método de multiplicación cruzada, que utiliza tres números para despejar el cuarto mediante multiplicación y división sucesivas:

x = 65 × 55 ÷ 100

Así pues, navegar 65 millas al sureste por el este implica alargar = x = 35,75 millas. El avanzar, etc., se puede calcular de forma análoga.

Aunque la «regla de tres» ya se conocía en el siglo XIV, la habilidad para realizar multiplicaciones y divisiones podía resultar difícil para los marineros medievales procedentes de una sociedad mayoritariamente analfabeta. No obstante, no era inaccesible. Como instaba Andrea Bianco, los navegantes debían «saber multiplicar y dividir bien» («saver ben moltiplichar e ben partir») ^{[ 23 ]} . Es aquí donde vemos la importante interfaz entre el comercio y la navegación. Las matemáticas del comercio —números arábigos , multiplicación, división, fracciones , las herramientas necesarias para calcular compras y ventas de bienes y otras transacciones comerciales— eran esencialmente las mismas que las matemáticas de la navegación. ^{[ 24 ]} Y este tipo de matemáticas se enseñaba en las escuelas de ábaco que se establecieron en el siglo XIII en los centros comerciales del norte de Italia para formar a los hijos de los mercaderes, la misma clase social de la que procedían los navegantes italianos. Como señala el historiador EGR Taylor, "los marineros fueron el primer grupo profesional en utilizar las matemáticas en su trabajo cotidiano" ^{[ 25 ].}

Para aquellos a quienes les incomodaba el arte de manipular números, existía una alternativa. Se trataba del recurso visual conocido como "círculo y cuadrado" ( tondo e quadro ), también incluido por Andrea Bianco en su atlas de 1436. ^{[ 26 ]}

El círculo era una rosa de los vientos de 32 vueltas (o conjunto de líneas de rumbo). El círculo estaba inscrito con una cuadrícula cuadrada de 8 × 8.

La rosa de los vientos en el centro puede pasarse por alto; de hecho, el círculo mismo puede ignorarse, ya que parece no tener otro propósito que la construcción de los rayos que recorren la cuadrícula. ^{[ 27 ]} La rosa de interés está en la esquina superior izquierda de la cuadrícula cuadrada. Desde esa esquina, emanan una serie de líneas de rumbo de la brújula. En su tondo e quadro original de 1436 , Bianco tiene dieciséis rayos que emanan; es decir, Bianco incluye vientos de medio cuarto, u vientos de octavo ( otava ), de modo que los rayos que emanan están a intervalos de 5,625 grados. Otras construcciones del círculo y el cuadrado, por ejemplo, el Atlas de Cornaro , usan solo ocho rayos que emanan a distancias de un cuarto de viento (11,25 grados). Visualmente, estos rayos replican el cuadrante inferior derecho de una rosa de los vientos de 32 puntos : Este (0q), E por S (1q), ESE (2q), SE por E (3q), SE (4q), SE por S (5q), SSE (6q), S por E (7q) y Sur (8q).

Sobre la cuadrícula hay una escala de barras de distancia , con muescas en subunidades. Hay dos conjuntos de números en la escala, uno para medir cada cuadrado de la cuadrícula en 20 millas, y otro para medir cada cuadrado de la cuadrícula en 100 millas (ver diagrama). ^{[ 28 ]} La barra superior es la escala de 20 m por cuadrado, donde cada punto negro representa una milla. La barra inferior es la escala de 100 m por cuadrado, donde la longitud de un cuadrado unitario se divide en dos subcuadrados iguales de 50 m, y un conjunto de puntos y líneas rojas lo dividen aún más en longitudes de 10 millas. Así, dependiendo de la escala que se elija, la longitud del lado de toda la cuadrícula (ocho cuadrados) podría medirse hasta 160 millas (usando la  escala de 20 m por cuadrado) o hasta 800 millas (usando la escala de 100 m por cuadrado).

El querubín con los separadores sugiere cómo se supone que un navegante debe usar la cuadrícula para calcular alargar y avanzar mediante medición visual en lugar de manipular números.

Ejemplo : supongamos que el barco ha recorrido 120 millas con vientos de dos cuartos por debajo del rumbo previsto (es decir, ha viajado hacia el ESE, cuando el rumbo previsto es el Este). Usando el compás y la escala de 20 m, el navegante puede medir 120 millas con su compás. Luego, colocando un extremo en la esquina superior izquierda ( A ), extiende el compás a lo largo del rayo ESE (= dos cuartos por debajo del rayo Este, o la parte superior horizontal de la cuadrícula) y marca el punto (punto B en el diagrama). Luego, usando una regla recta , traza una línea hasta el rayo Este y marca el punto correspondiente C.

Es fácil ver de inmediato que se ha formado un triángulo rectángulo ABC . La longitud BC es la distancia alargada (distancia respecto al rumbo previsto), que se puede medir como 46 millas (visualmente se puede ver como dos casillas de la cuadrícula más un poco, es decir, 20 m + 20 m y un poco que se puede calcular como 6 m usando el compás y la escala de 20 m). La longitud AC es la distancia recorrida (distancia efectiva), que es 111 millas; visualmente, cinco casillas de la cuadrícula y un poco, o (20 × 5) + 11, medida de nuevo con el compás y la escala.

Así es como el "círculo y el cuadrado" prescinde de la manipulación de números mediante la multiplicación y la división o la regla de tres. El navegante puede evaluar el avance y el alargamiento visualmente, solo mediante la medición.

Este método puede utilizarse para cualquier rumbo y desviación previstos, ya que su único propósito es resolver el triángulo mediante compases y escala. Por ejemplo, utilizando nuestro primer ejemplo de Córcega a Génova, donde el rumbo previsto era el Norte pero el barco navegó en realidad hacia el Noroeste, el navegante ajustaría el compás a 70 millas de longitud y lo colocaría a lo largo del cuarto cuadrante (= rayo SE en el tondo e quadro , ya que el NO está a cuatro cuadrantes del Norte). Calcularía el alargar y el avanzar exactamente de la misma manera: trazaría una línea hasta la parte superior horizontal de la cuadrícula, mediría los cuadrados, etc.

El dispositivo tondo e quadro es muy similar al cuadrante sinusoidal árabe ( Rubul mujayyab ), con los rayos de las esquinas replicando el papel de la plomada ajustable . ^{[ 29 ]}

Una de las aplicaciones interesantes de la regla del marteloio es la triangulación , por ejemplo, para determinar la distancia del barco a un punto de referencia costero. (Este fue el ejercicio final intentado en el cuaderno del navegante veneciano Miguel de Rodas , que reproducimos aquí). ^{[ 31 ]}

Ejemplo : Supongamos que un barco que navega hacia el noroeste ("Maestro") divisa un punto de referencia hacia el oeste ("Ponente") una noche, pero desconoce su distancia. Supongamos que el barco continúa navegando hacia el noroeste durante la noche y, a la mañana siguiente, 40 millas más tarde, observa que dicho punto de referencia se encuentra ahora al oeste-suroeste (OSO, "Ponente-Libeccio") de su posición actual. Calcular la distancia del punto de referencia al barco es simplemente aplicar la regla del marteloio.

Para resolver el problema, partimos de la posición vespertina ( A en el mapa) y consideramos la distancia entre el barco y el punto de referencia (longitud AB ) como el rumbo previsto, y la ruta real del barco (NO) como una desviación. Para calcular la distancia del punto de referencia a la posición del barco por la mañana ( C ), consideramos la distancia BC como el retorno calculado. Dado que necesitamos conocer la distancia de referencia para calcular el retorno, este es un procedimiento de dos pasos.

Primero, observe que el noroeste está a cuatro cuartos de viento por encima del oeste, por lo que al mirar la toleta , en la fila q = 4, el alargar es de 71 millas por cada 100 millas en el rumbo noroeste. Pero el barco solo navegó 40 millas durante la noche, así que tenemos que resolver la razón 71/100 = x /40, que por la regla de tres significa x = alargar = 28,4 millas. En otras palabras, debido a la navegación nocturna hacia el noroeste por 40 millas desde A hasta C, el barco ahora está a 28,4 millas de su rumbo "previsto" hacia el oeste.

Ahora, el regreso. El punto de referencia, como se indicó, está al OSO de la posición matutina del barco ( C ). Entonces, para "regresar" al punto de referencia, el barco debe cambiar su rumbo de su rumbo actual NO a un rumbo OSO, es decir, 6 cuartos de viento por debajo del NO. Sin embargo, la toleta especifica los cuartos de viento en términos de la dirección "prevista" (en este caso, Oeste), y OSO son dos cuartos de viento por debajo del Oeste, por lo que debemos mirar la fila q = 2. Esto significa que el regreso es de 26 millas por cada 10 millas de alargar. Dado que el alargar es 28.4, eso significa que el regreso es 26 × 2.84 = 73.84. Y ahí lo tenemos. El punto de referencia está a 73.84 millas de la posición matutina del barco.

(Para completar la historia, podríamos averiguar la distancia que había entre ese punto de referencia la noche anterior (es decir, del punto A al punto de referencia B). Esto se logra simplemente sumando el avance y el avance de regreso. Unos cálculos rápidos muestran que el avance (q = 4, para 40 millas) es de 28,4 millas (= 71 × 40/100) y el avance de regreso (q = 2, para 28,4 millas de alargar) es de 2,84 × 24 = 68,16. Por lo tanto, el avance total es de 28,4 + 68,16 = 96,56 millas. Esa era la distancia entre el punto de referencia y el barco la noche anterior.)

La regla del marteloio también puede utilizarse con el avance como objetivo. Por ejemplo, supongamos que un barco zarpa con la intención de encontrar la Línea de Tordesillas , el meridiano legalmente establecido en un tratado de 1494 a 370 leguas al oeste de Cabo Verde . El barco no necesita zarpar de Cabo Verde y navegar constantemente con rumbo oeste para encontrarla. En cambio, puede navegar con un rumbo más conveniente (por ejemplo, suroeste) y considerar el oeste como un rumbo previsto. Así, utilizando la regla del marteloio, puede navegar hasta que el avance en el rumbo oeste previsto alcance las 370 leguas.

De hecho, ni siquiera necesita partir de Cabo Verde, sino que puede partir de otro lugar, digamos Sevilla , y usar la distancia y el rumbo conocidos de Cabo Verde (es decir, Sevilla) y la regla del marteloio para calcular cuándo ha llegado finalmente al meridiano de Tordesillas. Esto requiere un par de pasos. Supongamos que Cabo Verde ( B en el mapa) está a 400 leguas al suroeste de Sevilla ( A en el mapa), pero el barco pretende ir directamente al oeste desde Sevilla para llegar al meridiano de Tordesillas en mar abierto. ¿Cuánto tiempo necesita navegar?

La forma de resolver esto mediante la regla del marteloio es plantear el problema a la inversa: considerar el Oeste como rumbo previsto y el SO como rumbo real. El SO está a cuatro cuartos de viento por debajo del O, así que, consultando la toleta para q = 4, el avance es de 71 por cada 100 millas navegadas. Por lo tanto, si un barco navegara 400 leguas en el rumbo SO "real" hacia Cabo Verde, lograría un avance de 284 leguas (= 71 × 4) en el rumbo Oeste "previsto". Por supuesto, el barco no está navegando realmente hacia el SO en dirección a Cabo Verde, sino hacia el O en mar abierto. En otras palabras, cuando el barco zarpa hacia el Oeste desde Sevilla, sabe que necesita navegar 284 leguas en rumbo Oeste antes de alcanzar el meridiano implícito de Cabo Verde (punto C en el mapa), y solo debería comenzar a contar las 370 leguas hasta la línea de Tordesillas a partir de ese momento. En otras palabras, necesita navegar un total de 284 + 370 = 654 leguas al oeste de Sevilla para llegar a la línea de Tordesillas (punto D en el mapa).

Si bien este ejemplo en particular muestra la flexibilidad de la regla del marteloio, también evidencia uno de sus principales inconvenientes: el resultado ignora por completo la curvatura de la Tierra , es decir, el hecho de que las líneas meridianas de longitud convergen en el Polo Norte y, por lo tanto, se estrechan a latitudes más altas. Contrariamente a lo que sugiere el marteloio, 370 leguas al oeste de Cabo Verde no se encuentran en el mismo meridiano de longitud que 654 leguas al oeste de Sevilla. Debido a que Sevilla está bastante al norte de Cabo Verde, los meridianos están más próximos entre sí a la latitud de Sevilla que a la de Cabo Verde. Un barco que navegue al oeste de Sevilla, de hecho, alcanzará el meridiano real de Tordesillas (punto T en el mapa) mucho antes de recorrer 654 leguas (punto D ).

La regla del marteloio consiste en que los marineros tracen rutas dibujando triángulos planos sobre una carta náutica, como si la superficie del mundo fuera plana. Si bien esto puede ser bastante práctico para navegar dentro de las latitudes compactas del mar Mediterráneo , resulta bastante engañoso a mayor escala.

A finales del siglo XV y durante el siglo XVI, el perfeccionamiento de la astronomía náutica y la introducción de los paralelos de latitud permitieron a los navegantes determinar su posición en el mar mediante observaciones celestes, en lugar de basarse en la estimación de la distancia recorrida. ^{[ 32 ]} El sucesor de la regla del marteloio fue el «Regimiento de las Leguas» ( regimiento de las leguas ), utilizado por los navegantes portugueses que surcaban el océano Atlántico. O, para usar el término introducido por William Bourne (1571), la «Regla para elevar o colocar un grado», también conocida como la «Tabla de Leguas» o la «Regla para izar el mástil». ^{[ 33 ]} Se escribió por primera vez en el manual de navegación portugués Regimento do astrolabio e do quadrante (publicado en Lisboa c. 1509, pero escrito c. 1480) ^{[ 34 ]} Fue popularizado por Martín Cortés de Albacar en su Breve compendio la esfera y del arte de navegar de 1551 .

El «Regimiento de las Leguas» no es muy diferente de la regla del marteloio. El Regimiento de las Leguas siempre considera el rumbo oeste-este como el «rumbo previsto» y mide desviaciones fijas respecto a él. Más específicamente, la tabla de ligas considera un valor fijo de alargar , establecido en 1 grado de latitud (o, en las medidas de la época, 17,5 leguas (portuguesas) , o equivalentemente 70 millas (italianas) ). ^{[ 35 ]} Luego da para cada cuadrante de dirección de navegación diferente (siempre designado como cuadrantes alejados del eje norte-sur, en lugar de alejados del rumbo previsto), el relevar y el afastar . El relevar es el número de leguas en el rumbo real que un barco debe navegar para cubrir el grado de latitud preestablecido (17,5 leguas de alargar desde el paralelo de partida). El afastar es simplemente el avance correspondiente en el rumbo oeste-este.

Ejemplo : Supongamos que un barco zarpa con rumbo este-sureste (ESE). Esto son seis cuartos de viento al norte del sur (recuerde: a diferencia del marteloio, el Regimiento de las Leguas siempre mide los cuartos de viento alejándose del meridiano norte-sur). Mirando cualquier tabla de regimiento de leguas (por ejemplo, Martín Cortés de Albacar , 1551), ^{[ 36 ]} para q = 6, la tabla da el relevar como 45 11/15 leguas y el afastar como 42 1/4 leguas . Esto significa que un barco que navega con rumbo ESE tendrá que navegar 45,73 leguas para cubrir un grado de latitud (17,5 leguas de alargar desde el rumbo este, para usar el lenguaje del marteloio), y el afastar correspondiente ( avanzar en términos de marteloio) será de 42,25 leguas.

Si, en cambio, el barco hubiera zarpado con rumbo SE, es decir, cuatro cuartos de viento por encima del Sur, los valores correspondientes de la tabla del Regimiento de las Ligas en q  =  4 son relevar = 24 3 ⁄ 4 y afastar = 17 1 ⁄ 2 .

Observe que el rumbo SE alcanza el alargar de 1 grado más rápido (es decir, menor relevar ) que el rumbo ESE, y tendrá menos afastar (más cerca del meridiano N-S).

Matemáticamente,

relevar = 17,5/cos θ

afastar = 17,5 × tan θ

donde θ = 11,25 × número de cuartos de viento alejándose del eje norte-sur.

A pesar de la diferencia terminológica, sobre todo en el uso de grados de latitud, la regla del marteloio y el Regimiento de las Ligas son muy similares: ambos consisten en resolver triángulos en una carta náutica plana. La ventaja del regimiento sobre el marteloio reside en la introducción de paralelos de latitud en la tabla, lo que permite verificar la posición mediante observación astronómica (con cuadrante , astrolabio , etc.) y no depender exclusivamente de las estimaciones de distancia y dirección del marinero.

Con el Regimiento de las Leguas, también se pueden usar coordenadas geográficas para guiar la navegación. Por ejemplo, la búsqueda de la línea de Tordesillas (meridiano a 370 leguas al oeste de Cabo Verde) se simplifica mucho al usar una latitud precisa. Por ejemplo, supongamos que dos barcos parten de Cabo Verde (17° N), uno con rumbo oeste-norte (O-N, es decir, un cuarto por encima del oeste, o q = 7 desde el eje norte), y el otro con rumbo oeste-noroeste (O-NO, dos cuartos por encima del oeste, o q = 6 desde el eje norte). Usando el Regimiento de las Leguas, es posible calcular las latitudes precisas cuando cruzarán el meridiano de Tordesillas: simplemente se dividen 370 leguas al oeste por el afastar implícito en los diferentes rumbos. El barco que navega hacia el oeste-norte alcanzará el meridiano cuando llegue a la latitud 21° 21' N, mientras que el barco que navega hacia el oeste-noroeste lo alcanzará cuando llegue a la latitud 29° N. ^{[ 37 ]} Así que, en lugar de contar leguas con relojes de arena y lecturas de velocidad, los barcos pueden simplemente mantener el rumbo y realizar observaciones astronómicas periódicas para evaluar su latitud.

La toleta de marteloio es antecesora de la moderna " tabla de travesía " utilizada en la navegación más moderna. ^{[ 38 ]} En la nomenclatura moderna, la travesía es el "camino sinuoso que hace un barco cuando navega en varias direcciones sucesivas" y resolver la travesía es "el método de encontrar un único rumbo y distancia que llevaría a un barco al mismo lugar que dos o más rumbos y distancias". ^{[ 39 ]} En lenguaje marteloio, al "resolver la travesía", la información conocida que se da es el "rumbo real" y el "rumbo", mientras que las incógnitas son el "rumbo previsto" y el "avance total".

Las tablas de recorrido utilizan tres valores para cada uno de los segmentos de curso sinuosos: la Distancia (Dist.), la Diferencia de Latitud (D.Lat., movimiento a lo largo del eje N-S) y la Salida (Dep., movimiento a lo largo del eje E-O), los dos últimos calculados mediante las fórmulas:

Diferencia de latitud = distancia × cos θ

Salida = distancia × sen θ

donde θ es la diferencia angular del rumbo con respecto al eje N-S si los valores de θ son menores de 45°; si, por el contrario, el ángulo supera los 45°, entonces θ se expresa como el ángulo de diferencia con respecto al eje E-O, y las fórmulas se invierten, es decir, la fórmula de Diferencia de Latitud se convierte en la de Salida, y la fórmula de Salida es la de Diferencia de Latitud). O, aún más sencillo, calcule θ como el ángulo de diferencia con respecto al viento principal más cercano (N, S, E, O), ejecute las fórmulas y luego coloque el número mayor en la columna correspondiente (D.Lat. o Dep.).

Para cada segmento de ruta, el navegante introduce el trío correspondiente (Dist., D.Lat., Dep.) y puede calcular el rumbo implícito desde el punto de inicio hasta el punto final y la distancia recorrida según dicho rumbo. A continuación, combina, mediante suma y resta, todas las diferencias de latitud y salida para obtener la diferencia total de latitud y salida, y la convierte de nuevo en rumbo total y distancia recorrida. ^{[ 40 ]}