Subespacio complementado

En la rama de las matemáticas llamada análisis funcional , un subespacio complementado de un espacio vectorial topológico es un subespacio vectorial para el cual existe algún otro subespacio vectorial de llamado su complemento ( topológico ) en , tal que es la suma directa en la categoría de espacios vectoriales topológicos . Formalmente, las sumas directas topológicas fortalecen la suma directa algebraica al requerir que ciertas aplicaciones sean continuas; el resultado conserva muchas propiedades interesantes de la operación de suma directa en espacios vectoriales de dimensión finita. ${\estilo de visualización X,}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización X,}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle M\omás N}$

Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach es complementario, pero otros subespacios pueden no serlo. En general, clasificar todos los subespacios complementarios es un problema difícil, que se ha resuelto solo para algunos espacios de Banach bien conocidos .

El concepto de subespacio complementado es análogo al de complemento de conjunto , pero distinto . El complemento teórico de un subespacio vectorial nunca es un subespacio complementario.

Si es un espacio vectorial y y son subespacios vectoriales de entonces existe una función de adición bien definida. La función es un morfismo en la categoría de espacios vectoriales  , es decir, lineal . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$${\estilo de visualización S}$

Se dice que el espacio vectorial es suma directa algebraica (o suma directa en la categoría de espacios vectoriales) cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle M\omás N}$

1. El mapa de adición es un isomorfismo del espacio vectorial . ^{[1] [2]}${\displaystyle S:M\veces N\a X}$
2. La función de adición es biyectiva.
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$y ; en este caso se llama complemento o suplemento algebraico a en y se dice que los dos subespacios son complementarios o suplementarios . ^{[2] [3]}$Estilo de visualización M+N=X$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$

Cuando se cumplen estas condiciones, la inversa está bien definida y se puede escribir en términos de coordenadas como La primera coordenada se llama proyección canónica de sobre ; asimismo, la segunda coordenada es la proyección canónica sobre ^[4]${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$$${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}}$$${\displaystyle P_{M}:X\to M}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N.}$

De manera equivalente, y son los vectores únicos en y respectivamente, que satisfacen los mapas As, donde denota el mapa identidad en . ^[2]$Estilo de visualización P_{M}(x)}$$Estilo de visualización P_{N}(x)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N,}$$${\displaystyle x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}}$$$${\displaystyle P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ y }}\qquad \ker P_{N}=M}$$${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$${\estilo de visualización X}$

Supongamos que el espacio vectorial es la suma directa algebraica de . En la categoría de espacios vectoriales, los productos y coproductos finitos coinciden: algebraicamente, y son indistinguibles. Dado un problema que involucra elementos de , se pueden descomponer los elementos en sus componentes en y , porque las funciones de proyección definidas anteriormente actúan como inversas a la inclusión natural de y en . Luego se puede resolver el problema en los subespacios vectoriales y recombinarlos para formar un elemento de . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle M\omás N}$${\displaystyle M\omás N}$${\displaystyle M\times N}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

En la categoría de espacios vectoriales topológicos , esa descomposición algebraica resulta menos útil. La definición de un espacio vectorial topológico requiere que la función de adición sea continua; su inversa puede no serlo. ^[1] Sin embargo, la definición categórica de suma directa requiere que y sean morfismos, es decir, funciones lineales continuas .${\estilo de visualización S}$${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$$Estilo de visualización P_ {M}}$$Estilo de visualización P_{N}}$

El espacio es la suma directa topológica de y si (y solo si) se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$

1. El mapa de adición es un isomorfismo TVS (es decir, un homeomorfismo lineal sobreyectivo ). ^[1]${\displaystyle S:M\veces N\a X}$
2. ${\estilo de visualización X}$es la suma directa algebraica de y y también cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$
   1. La inversa del mapa de adición es continua.${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$
   2. Ambas proyecciones canónicas son continuas.${\displaystyle P_{M}:X\to M}$${\displaystyle P_{N}:X\to N}$
   3. Al menos una de las proyecciones canónicas y es continua.$Estilo de visualización P_ {M}}$$Estilo de visualización P_{N}}$
   4. El mapa cociente canónico es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (es decir, un homeomorfismo lineal). ^[2]${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$
3. ${\estilo de visualización X}$es la suma directa de y en la categoría de espacios vectoriales topológicos.${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$
4. El mapa es biyectivo y abierto .${\estilo de visualización S}$
5. Cuando se consideran grupos topológicos aditivos , es la suma directa topológica de los subgrupos y${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N.}$

La suma directa topológica también se escribe ; si la suma es en sentido topológico o algebraico generalmente se aclara a través del contexto . ${\displaystyle X=M\omás N}$

Toda suma directa topológica es una suma directa algebraica ; no se garantiza lo contrario. Incluso si tanto y están cerrados en , pueden no ser continuos. es un complemento o suplemento (topológico) de si evita esa patología —es decir, si, topológicamente, . (Entonces  es asimismo complementario de .) ^[1] La condición 2(d) anterior implica que cualquier complemento topológico de es isomorfo, como espacio vectorial topológico, al espacio vectorial cociente . ${\displaystyle X=M\omás N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización S-1$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle X=M\omás N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización X/M}$

${\estilo de visualización M}$Se dice que un subespacio vectorial complementado tiene complementos algebraicos que no se complementan topológicamente . La elección de puede tener una gran importancia: cada subespacio vectorial complementado tiene complementos algebraicos que no se complementan topológicamente. ${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

Dado que una función lineal entre dos espacios normados (o de Banach ) está acotada si y sólo si es continua , la definición en las categorías de espacios normados (o de Banach ) es la misma que en los espacios vectoriales topológicos.

El subespacio vectorial se complementa en si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^[1]${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$

• Existe una función lineal continua con imagen tal que . Es decir, es una proyección lineal continua sobre . (En ese caso, algebraicamente , y es la continuidad de la que implica que es un complemento.)${\displaystyle P_{M}:X\to X}$ $Estilo de visualización P_{M}(X)=M}$${\displaystyle P\circ P=P}$$Estilo de visualización P_ {M}}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\displaystyle X=M\oplus\ker {P}}$$Estilo de visualización P_ {M}}$
• Para cada TVS el mapa de restricción es sobreyectivo. ^[5]${\estilo de visualización Y,}$ ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}}$

Si además es Banach , entonces una condición equivalente es ${\estilo de visualización X}$

• ${\estilo de visualización M}$está cerrado en , existe otro subespacio cerrado , y es un isomorfismo de la suma directa abstracta a .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\estilo de visualización S}$ ${\displaystyle M\omás N}$${\estilo de visualización X}$

• Si es un espacio de medida y tiene medida positiva, entonces se complementa en .${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle X\subseteq Y}$$Estilo de visualización L^{p}(X)}$$Estilo de visualización L^{p}(Y)}$
• $estilo de visualización c_{0}}$, el espacio de sucesiones que convergen a , se complementa en , el espacio de sucesiones convergentes.${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización c}$
• Por descomposición de Lebesgue , se complementa en .$Estilo de visualización L^{1}([0,1])}$${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$

Para cualesquiera dos espacios vectoriales topológicos y , los subespacios y son complementos topológicos en . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle \{0\}\veces Y}$${\displaystyle X\veces Y}$

Todo complemento algebraico de , la clausura de , es también un complemento topológico. Esto se debe a que tiene la topología indiscreta , por lo que la proyección algebraica es continua. ^[6]${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$

Si y es sobreyectiva, entonces . ^[2]${\displaystyle X=M\omás N}$${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle Y=AM\omás AN}$

Supongamos que es Hausdorff y localmente convexo y un subespacio vectorial topológico libre : para algún conjunto , tenemos (como tvs). Entonces es un subespacio vectorial cerrado y complementado de . ^{[prueba 1]} En particular, cualquier subespacio de dimensión finita de es complementado. ^[7]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle I}$${\displaystyle Y\cong \mathbb {K} ^{I}}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

En espacios vectoriales topológicos arbitrarios, un subespacio vectorial de dimensión finita se complementa topológicamente si y solo si para cada , distinto de cero , existe una funcional lineal continua en que separa de . ^[1] Para un ejemplo en el que esto falla, consulte § Espacios de Fréchet. ${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle y\en Y}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización 0}$

No todos los subespacios vectoriales codimensionales finitos de un TVS son cerrados, pero aquellos que lo son, tienen complementos. ^{[7] [8]}

En un espacio de Hilbert , el complemento ortogonal de cualquier subespacio vectorial cerrado es siempre un complemento topológico de . Esta propiedad caracteriza a los espacios de Hilbert dentro de la clase de espacios de Banach : cada espacio de Banach no Hilbert de dimensión infinita contiene un subespacio cerrado no complementado, un teorema profundo de Joram Lindenstrauss y Lior Tzafriri. ^{[9] [3]}${\displaystyle M^{\bot }}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

Sea un espacio de Fréchet sobre el cuerpo . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[10]${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {K}}$

1. ${\estilo de visualización X}$no es normable (es decir, ninguna norma continua genera la topología)
2. ${\estilo de visualización X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\estilo de visualización X}$contiene un subespacio vectorial complementado TVS-isomorfo a .${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Un subespacio (vectorial) complementado de un espacio de Hausdorff es necesariamente un subconjunto cerrado de , al igual que su complemento. ^{[1] [prueba 2]}${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

A partir de la existencia de bases de Hamel , todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene subespacios lineales no cerrados. ^{[prueba 3]} Dado que cualquier subespacio complementado es cerrado, ninguno de esos subespacios está complementado.

De la misma manera, si es un TVS completo y no es completo, entonces no tiene complemento topológico en ^[11]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X/M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X.}$

Si es una sobreyección lineal continua , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle A:X\to Y}$

1. El núcleo de tiene un complemento topológico.${\estilo de visualización A}$
2. Existe una "inversa derecha": una función lineal continua tal que , donde es la función identidad. ^[5]${\displaystyle B:Y\to X}$${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _ {Y}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _ {Y}:Y\to Y}$

(Nota: Esta afirmación es un ejercicio erróneo dado por Trèves. Sea y ambos donde está dotado de la topología usual, pero está dotado de la topología trivial. La función identidad es entonces una biyección lineal continua pero su inversa no es continua, ya que tiene una topología más fina que . El núcleo tiene como complemento topológico, pero acabamos de demostrar que no puede existir una inversa derecha continua. Si también es abierto (y por lo tanto un homomorfismo TVS) entonces el resultado afirmado es válido.) ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle X\a Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización \{0\}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle A:X\to Y}$

Los espacios vectoriales topológicos admiten el siguiente teorema de tipo Cantor-Schröder-Bernstein :

Sean y TVS tales que y Supongamos que contiene una copia complementada de y contiene una copia complementada de Entonces es TVS-isomorfo a${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle X=X\omás X}$${\displaystyle Y=Y\omás Y.}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle Y.}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle Y.}$

Los supuestos de "autoescisión" de que y no pueden eliminarse: Tim Gowers demostró en 1996 que existen espacios de Banach no isomorfos y , cada uno complementado en el otro. ^[12]${\displaystyle X=X\omás X}$${\displaystyle Y=Y\omás Y}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

La comprensión de los subespacios complementados de un espacio de Banach arbitrario hasta el isomorfismo es un problema clásico que ha motivado mucho trabajo en la teoría de bases, en particular el desarrollo de operadores de suma absoluta. El problema permanece abierto para una variedad de espacios de Banach importantes, en particular el espacio . ^[13]${\estilo de visualización X}$ $Estilo de visualización L_{1}[0,1]}$

Para algunos espacios de Banach la cuestión está cerrada. El más famoso es el siguiente: si los únicos subespacios de dimensión infinita complementados de son isomorfos a y lo mismo ocurre con Tales espacios se denominan primos (cuando sus únicos subespacios de dimensión infinita complementados son isomorfos al original). Sin embargo, estos no son los únicos espacios primos. ^[13]${\displaystyle 1\leq p\leq \infty}$${\displaystyle \ell_{p}}$${\displaystyle \ell_{p},}$${\displaystyle c_{0}.}$

Los espacios no son primos siempre que , de hecho, admitan un número incontable de subespacios complementados no isomorfos. ^[13]$Estilo de visualización L_{p}[0,1]}$${\displaystyle p\in(1,2)\cup(2,\infty );}$

Los espacios y son isomorfos a y respectivamente, por lo que de hecho son primos. ^[13]$Estilo de visualización L_{2}[0,1]}$${\displaystyle L_{\infty}[0,1]}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle \ell _{\infty },}$

El espacio no es primo, porque contiene una copia complementada de . Actualmente no se conocen otros subespacios complementados de . ^[13]$Estilo de visualización L_{1}[0,1]}$${\displaystyle \ell _{1}}$$Estilo de visualización L_{1}[0,1]}$

Un espacio de Banach de dimensión infinita se denomina indecomponible siempre que sus únicos subespacios complementados sean de dimensión finita o -codimensional. Como un subespacio finito- codimensional de un espacio de Banach es siempre isomorfo a los espacios de Banach indecomponibles, son primos. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X,}$

El ejemplo más conocido de espacios indecomponibles es, de hecho, el de los hereditariamente indecomponibles, lo que significa que todo subespacio de dimensión infinita también es indecomponible. ^[14]

• Suma directa  : Operación de álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Suma directa de módulos  – Operación en álgebra abstracta
• Suma directa de grupos topológicos

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Análisis funcional (segunda edición). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512.OCLC 829157984  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .