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Formas modulares topológicas

En matemáticas , las formas modulares topológicas (TMF) es el nombre de un espectro que describe una teoría de cohomología generalizada . En términos concretos, para cualquier e...

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En matemáticas , las formas modulares topológicas (TMF) es el nombre de un espectro que describe una teoría de cohomología generalizada . En términos concretos, para cualquier entero n existe un espacio topológicotmfnorte{\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}}y estos espacios están equipados con ciertos mapas entre ellos, de modo que para cualquier espacio topológico X , se obtiene una estructura de grupo abeliano en el conjuntotmfnorte⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}(X)}de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X atmfnorte{\displaystyle \operatorname {tmf} ^{n}}. Una característica que distingue a tmf es el hecho de que su anillo de coeficientes ,tmf0{\displaystyle \operatorname {tmf} ^{0}}(punto), es casi lo mismo que el anillo graduado de formas modulares holomorfas con expansiones de cúspides integrales . De hecho, estos dos anillos se vuelven isomorfos después de invertir los primos 2 y 3, pero esta inversión borra mucha información de torsión en el anillo de coeficientes.

El espectro de formas modulares topológicas se construye como las secciones globales de un haz de espectros de anillos E-infinito sobre la pila de módulos de curvas elípticas (generalizadas) . Esta teoría tiene relación con la teoría de formas modulares en teoría de números , los grupos de homotopía de esferas y las teorías de índices conjeturales sobre espacios de lazos de variedades . La teoría de formas modulares topológicas fue construida por primera vez por Michael Hopkins y Haynes Miller ; muchos de los cálculos se pueden encontrar en preimpresiones y artículos de Paul Goerss , Hopkins, Mark Mahowald , Miller, Charles Rezk y Tilman Bauer.

Construcción

La construcción original de tmf utiliza la teoría de obstrucción de Hopkins , Miller y Paul Goerss, y se basa en ideas de Dwyer, Kan y Stover. En este enfoque, se define un prehaz O top ("top" significa topológico ) de teorías de cohomología multiplicativa en el sitio étale de la pila de módulos de curvas elípticas y se demuestra que este puede elevarse de una manera esencialmente única a un haz de espectros de anillo E-infinito. Este haz tiene la siguiente propiedad: a cualquier curva elíptica étale sobre un anillo R, le asigna un espectro de anillo E-infinito (una teoría de cohomología elíptica clásica ) cuyo grupo formal asociado es el grupo formal de esa curva elíptica.

Una segunda construcción, debida a Jacob Lurie , construye tmf describiendo el problema de los módulos que representa y aplicando la teoría general de representabilidad para demostrar su existencia: así como la pila de módulos de curvas elípticas representa el functor que asigna a un anillo la categoría de curvas elípticas sobre él, la pila junto con el haz de espectros de anillos E-infinito representa el functor que asigna a un anillo E-infinito su categoría de curvas elípticas derivadas orientadas, interpretadas adecuadamente. Estas construcciones funcionan sobre la pila de módulos de curvas elípticas suaves , y también funcionan para la compactificación de Deligne-Mumford de esta pila de módulos, en la que se incluyen curvas elípticas con singularidades nodales. TMF es el espectro que resulta de las secciones globales sobre la pila de módulos de curvas suaves, y tmf es el espectro que surge como secciones globales de la compactificación de Deligne-Mumford .

TMF es una versión periódica del TMF conectivo. Mientras que los espectros de anillo utilizados para construir TMF son periódicos con periodo 2, TMF en sí tiene un periodo de 576. La periodicidad está relacionada con el discriminante modular .

Relaciones con otras áreas de las matemáticas

Parte del interés en TMF proviene de la teoría de cuerdas y la teoría de campos conformes . Graeme Segal propuso por primera vez en la década de 1980 proporcionar una construcción geométrica de la cohomología elíptica (precursora de TMF) como una especie de espacio de módulos de teorías de campos conformes, y estas ideas han sido continuadas y ampliadas por Stephan Stolz y Peter Teichner . Su programa consiste en intentar construir TMF como un espacio de módulos de teorías de campos euclidianas supersimétricas .

En un trabajo motivado más directamente por la teoría de cuerdas, Edward Witten introdujo el género de Witten , un homomorfismo del anillo de bordismo de cuerdas al anillo de formas modulares , utilizando la teoría de índices equivariantes en un entorno formal del lugar trivial en el espacio de lazos de una variedad. Esto asocia a cualquier variedad de espín con clase de Pontryagin de primera mitad nula una forma modular. Gracias al trabajo de Hopkins, Matthew Ando, ​​Charles Rezk y Neil Strickland, el género de Witten puede extenderse a la topología. Es decir, existe una aplicación del espectro de bordismo de cuerdas a tmf (una llamada orientación ) tal que el género de Witten se recupera como la composición de la aplicación inducida en los grupos de homotopía de estos espectros y una aplicación de los grupos de homotopía de tmf a formas modulares. Esto permitió demostrar ciertas afirmaciones de divisibilidad sobre el género de Witten. La orientación de tmf es análoga al mapeo de Atiyah-Bott-Shapiro del espectro de bordismo de espín a la teoría K clásica , que es una elevación de la ecuación de Dirac a la topología.

Referencias

  • Bauer, Tilman (2008). "Cálculo de la homotopía del espectro TMF". Grupos, homotopía y espacios de configuración (Tokio 2005) . Monografías de Geometría y Topología. Vol.  13. pp. 11– 40. arXiv : math.AT/0311328 . doi : 10.2140/gtm.2008.13.11 . S2CID 1396008 .  
  • Behrens, M., Notas sobre la construcción de tmf (2007), http://www-math.mit.edu/~mbehrens/papers/buildTMF.pdf
  • Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; et  al., eds. (2014). Formas modulares topológicas . Mathematical Surveys and Monographs. Vol.  201. AMS ISBN 978-1-4704-1884-7.
  • Goerss, P. y Hopkins, M., Espacios de módulos de espectros de anillos conmutativos, http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/sum.pdf
  • Hopkins, MJ (2002). «Topología algebraica y formas modulares». Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Pekín, 2002) . Pekín: Higher Ed. Press. pp. 291–317 . arXiv : math.AT/0212397 . ISBN  7-04-008690-5. MR 1989190 . 
  • Hopkins, M. y Mahowald, M., De las curvas elípticas a la teoría de la homotopía (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf Archivado el 11 de septiembre de 2006 en Wayback Machine
  • Lurie, J., Un estudio sobre la cohomología elíptica (2007), http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf
  • Rezk, C., http://www.math.uiuc.edu/~rezk/512-spr2001-notes.pdf
  • Stolz, S. y Teichner, P., Teorías de campos euclidianos supersimétricas y cohomología generalizada (2008), http://math.berkeley.edu/~teichner/Papers/Survey.pdf
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