Espacio generalizado

En matemáticas, un espacio generalizado es una generalización de un espacio topológico . Los impulsos para dicha generalización se presentan al menos de dos formas:

1. Existe el deseo de aplicar conceptos como la cohomología a objetos que tradicionalmente no se consideran espacios. Por ejemplo, el concepto de topos se introdujo originalmente con este fin.
2. Existe una necesidad práctica de remediar las deficiencias que presentan algunas categorías de espacios que aparecen de forma natural (por ejemplo, las del análisis funcional ), las cuales tienden a no ser abelianas , un requisito estándar para realizar álgebra homológica.

El aforismo de Alexander Grothendieck dice que un topos es un espacio generalizado; precisamente, él y sus seguidores escriben en la exposición 4 de SGA I: ^{[ 1 ]}

On peut done dire que la noción de topos, deriva naturalmente del punto de vista faisceautique en Topologie, constituye a son tour un elargissement sustancial de la notion d'espace topologique, un gran número de situaciones que otros no son considerados como relevantes de la intuición topologique.

Sin embargo, William Lawvere argumenta en su artículo de 1975 ^{[ 2 ]} que este dictamen debería invertirse; es decir, "un topos es el 'álgebra de funciones continuas (con valores de conjunto)' en un espacio generalizado, no el espacio generalizado en sí mismo".

Un espacio generalizado no debe confundirse con un objeto geométrico que pueda sustituir la función de un espacio. Por ejemplo, una pila no suele considerarse un espacio, sino un objeto geométrico con una estructura más compleja.

• Un lugar es una especie de espacio, pero quizás no con suficientes puntos. ^{[ 3 ]} A veces se dice que la teoría del topos es la teoría de los lugares generalizados. ^{[ 4 ]}
• El gros topos de Jean Giraud , el topos topológico de Peter Johnstone ^{[ 5 ]} o encarnaciones más recientes como los conjuntos condensados ​​o los conjuntos picnóticos . Estos intentan integrar la categoría de (ciertos) espacios topológicos en una categoría más amplia de espacios generalizados, de una manera filosóficamente, si no técnicamente, similar a la forma en que se generaliza una función a una función generalizada . (Cabe señalar que estas construcciones son más precisas que diversas completaciones de la categoría de espacios topológicos).

• Lawvere, F. William (1975). «Conjuntos de variables continuas; Geometría algebraica = Lógica geométrica». Logic Colloquium '73, Actas del Logic Colloquium . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol.  80. pp. 135–156 . doi : 10.1016/S0049-237X(08)71947-5 . ISBN  978-0-444-10642-1.
• Lawvere, F. William (2005), "Las categorías de espacios pueden no ser espacios generalizados como lo ejemplifican los grafos dirigidos" (PDF) , Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías ( 9): 1–7
• Johnstone, Peter T. (1985). "¿Qué tan general es un espacio generalizado?". Aspectos de la topología . págs. 77–112 . doi : 10.1017/CBO9781107359925.004 . ISBN  978-0-521-27815-7.
• Grothendieck, A.; Verdier, JL (1972), "Topos", Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics, vol.  269, Springer, págs. 299–518 , doi : 10.1007/BFb0081555 , ISBN  978-3-540-05896-0