Variación total decreciente

En métodos numéricos , la disminución de la variación total (TVD) es una propiedad de ciertos esquemas de discretización utilizados para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . La aplicación más destacada de este método se encuentra en la dinámica de fluidos computacional . El concepto de TVD fue introducido por Ami Harten . ^{[ 1 ]}

En sistemas descritos por ecuaciones diferenciales parciales , como la siguiente ecuación de advección hiperbólica ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

La variación total (VT) viene dada por

${\displaystyle TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,}$

y la variación total para el caso discreto es,

${\displaystyle TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.}$

dónde${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$.

Se dice que un método numérico es de variación total decreciente (TVD) si,

${\displaystyle TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).}$

Se dice que un esquema numérico conserva la monotonicidad si se mantienen las siguientes propiedades:

• Si${\displaystyle u^{n}}$Si es monótonamente creciente (o decreciente) en el espacio, entonces también lo es.${\displaystyle u^{n+1}}$.

Harten 1983 demostró las siguientes propiedades para un esquema numérico,

• Un esquema monótono es TVD, y
• Un esquema TVD preserva la monotonicidad .

En dinámica de fluidos computacional , el esquema TVD se emplea para capturar predicciones de choque más nítidas sin oscilaciones engañosas cuando la variación de la variable de campo “${\displaystyle \phi }$” es discontinua. Para capturar la variación, cuadrículas finas (${\displaystyle \Delta x}$Se necesitan mallas muy pequeñas y el cálculo se vuelve pesado y, por lo tanto, antieconómico. El uso de mallas gruesas con esquema de diferencias centrales , esquema de diferencias ascendentes , esquema de diferencias híbridas y esquema de ley de potencias produce predicciones de choque falsas. El esquema TVD permite predicciones de choque más precisas en mallas gruesas, ahorrando tiempo de cálculo y, como el esquema preserva la monotonicidad, no hay oscilaciones espurias en la solución.

Consideremos la ecuación de convección-difusión unidimensional en estado estacionario ,

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;}$,

dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad,${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector de velocidad,${\displaystyle \phi }$¿Es la propiedad que se transporta?${\displaystyle \Gamma }$es el coeficiente de difusión y${\displaystyle S_{\phi }}$es el término fuente responsable de la generación de la propiedad${\displaystyle \phi }$.

Haciendo el balance de flujo de esta propiedad alrededor de un volumen de control obtenemos,

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V}$${\displaystyle \;}$

Aquí${\displaystyle \mathbf {n} }$es la normal a la superficie del volumen de control.

Ignorando el término fuente, la ecuación se reduce aún más a:

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

Arrogante

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ y ${\displaystyle A_{r}=A_{l},}$

La ecuación se reduce a

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.}$

Decir,

${\displaystyle F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};}$

De la figura:

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};}$

La ecuación queda así:$${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L});}$$La ecuación de continuidad también debe satisfacerse en una de sus formas equivalentes para este problema:

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.}$

Suponiendo que la difusividad es una propiedad homogénea y que el espaciado de la cuadrícula es igual, podemos decir:

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,}$

obtenemos$${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$La ecuación se reduce aún más a$${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).}$$La ecuación anterior se puede escribir como$${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$$dónde${\displaystyle P}$es el número de Péclet

${\displaystyle P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.}$

El esquema de disminución de la variación total ^{[ 2 ] [ 3 ]} hace una suposición para los valores de${\displaystyle \phi _{r}}$y${\displaystyle \phi _{l}}$para ser sustituido en la ecuación discretizada de la siguiente manera:

${\displaystyle \phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

Dónde${\displaystyle P}$es el número de Péclet y${\displaystyle f}$es la función de ponderación que se determinará a partir de,

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

dónde${\displaystyle U}$se refiere a aguas arriba,${\displaystyle UU}$se refiere a aguas arriba de${\displaystyle U}$y${\displaystyle D}$se refiere a aguas abajo.

Tenga en cuenta que${\displaystyle f^{+}}$es la función de ponderación cuando el flujo está en dirección positiva (es decir, de izquierda a derecha) y${\displaystyle f^{-}}$es la función de ponderación cuando el flujo va en dirección negativa de derecha a izquierda. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

Si el flujo es en dirección positiva, entonces, el número de Péclet${\displaystyle P}$es positivo y el término${\displaystyle (P-|P|)=0}$, por lo tanto la función${\displaystyle f^{-}}$no desempeñará ningún papel en la asunción de${\displaystyle \phi _{r}}$y ${\displaystyle \phi _{l}}$. Asimismo, cuando el flujo es en dirección negativa,${\displaystyle P}$es negativo y el término${\displaystyle (P+|P|)=0}$, por lo tanto la función${\displaystyle f^{+}}$no desempeñará ningún papel en la asunción de${\displaystyle \phi _{r}}$y${\displaystyle \phi _{r}}$.

Por lo tanto, tiene en cuenta los valores de la propiedad en función de la dirección del flujo y, utilizando funciones ponderadas, intenta lograr la monotonicidad en la solución, produciendo así resultados sin perturbaciones espurias.

Los esquemas monótonos resultan atractivos para resolver problemas de ingeniería y ciencia porque no producen soluciones no físicas. El teorema de Godunov demuestra que los esquemas lineales que preservan la monotonicidad son, como máximo, de primer orden de precisión. Los esquemas lineales de orden superior, aunque más precisos para soluciones suaves, no son TVD y tienden a introducir oscilaciones espurias (ondulaciones) donde surgen discontinuidades o choques. Para superar estos inconvenientes, se han desarrollado diversas técnicas no lineales de alta resolución , a menudo utilizando limitadores de flujo/pendiente .

• limitadores de flujo
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Plan MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Variación total

• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos , Vol. 2, Wiley.
• Laney, CB (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos , Springer-Verlag.
• Tannehill, JC, Anderson, DA y Pletcher, RH (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2.ª ed., Taylor & Francis.
• Wesseling, P. (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.
• Anil W. Date , Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press.