Cardenal indescriptible

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, un cardinal Q-indescriptible es un tipo particular de número cardinal grande que es difícil de axiomatizar en algún lenguaje Q. Existen muchos tipos diferentes de cardinales indescriptibles que corresponden a distintas elecciones de lenguajes Q. Fueron introducidos por Hanf y Scott (1961) .

Un número cardinal${\displaystyle \kappa }$se llama${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$-indescriptible si para cada${\displaystyle \Pi _{m}}$proposición${\displaystyle \phi }$y establecer${\ Displaystyle A \ subseteq V _ {\ kappa}}$con${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in,A)\vDash \phi }$existe un${\displaystyle \alpha <\kappa}$con${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi }$. ^{[ 1 ]} Siguiendo la jerarquía de Lévy , aquí se examinan fórmulas con m-1 alternancias de cuantificadores, donde el cuantificador más externo es universal.${\displaystyle \Sigma _{m}^{n}}$Los cardinales indescriptibles se definen de manera similar, pero con un cuantificador existencial externo. Antes de definir la estructura${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)}$, se agrega un nuevo símbolo de predicado al lenguaje de la teoría de conjuntos, que se interpreta como${\displaystyle A}$. ^{[ 2 ]} La idea es que${\displaystyle \kappa }$No se puede distinguir (visto desde abajo) de los cardinales más pequeños mediante ninguna fórmula de lógica de orden n+1 con m-1 alternancias de cuantificadores, incluso con la ventaja de un símbolo de predicado unario adicional (para A). Esto implica que es grande porque significa que debe haber muchos cardinales más pequeños con propiedades similares.

El número cardinal${\displaystyle \kappa }$Se llama totalmente indescriptible si es${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$-indescriptible para todos los enteros positivos m y n . ^{[ 3 ] pág. 59}

Si${\displaystyle \alpha }$es un ordinal, el número cardinal${\displaystyle \kappa }$se llama${\displaystyle \alpha }$-indescriptible si para cada fórmula${\displaystyle \phi }$y cada subconjunto${\displaystyle U}$de${\displaystyle V_{\kappa }}$de tal manera que${\displaystyle \phi (U)}$se sostiene en${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$hay algunos${\displaystyle \lambda <\kappa}$de tal manera que${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda })}$se sostiene en${\displaystyle V_{\lambda +\alpha }}$. Si${\displaystyle \alpha }$entonces es infinito${\displaystyle \alpha }$-los ordinales indescriptibles son totalmente indescriptibles, y si${\displaystyle \alpha }$es finito son lo mismo que${\displaystyle \Pi _{\omega }^{\alpha }}$-ordinales indescriptibles. No hay${\displaystyle \kappa }$eso es${\displaystyle \kappa }$-indescriptible, ni lo hace${\displaystyle \alpha }$-la indescriptibilidad implica necesariamente${\displaystyle \beta }$-indescriptibilidad para cualquier${\displaystyle \beta <\alpha}$, pero existe una noción alternativa de cardenales astutos que tiene sentido cuando${\displaystyle \alpha \geq \kappa }$: si${\displaystyle \phi (U,\kappa)}$se sostiene en${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$, entonces hay${\displaystyle \lambda <\kappa}$y${\displaystyle \beta }$de tal manera que${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )}$se sostiene en${\displaystyle V_{\lambda +\beta }}$. ^{[ 4 ]} Sin embargo, es posible que un cardenal${\displaystyle \pi }$es${\displaystyle \kappa }$-indescriptible para${\displaystyle \kappa }$mucho mayor que${\displaystyle \pi }$. ^{[ 1 ] Cap. 9, teorema 4.3}

Originalmente, un cardinal κ se llamaba Q-indescriptible si para cada fórmula Q${\displaystyle \phi }$y relación${\displaystyle A}$, si${\displaystyle (\kappa ,<,A)\vDash \phi }$entonces existe un${\displaystyle \alpha <\kappa }$de tal manera que${\displaystyle (\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi }$. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Usando esta definición,${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$-indescriptible si y solo si${\displaystyle \kappa }$es regular y mayor que${\displaystyle \aleph _{0}}$. ^{[ 7 ] pág. 207} Los cardenales${\displaystyle \kappa }$Las propiedades que satisfacen la versión anterior basada en la jerarquía acumulativa se denominaron fuertemente Q-indescriptibles. ^{[ 8 ]} Esta propiedad también se ha denominado "ordinal${\displaystyle Q}$-indescriptibilidad". ^{[ 9 ] pág. 32}

Un cardenal es${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$-indescriptible si y solo si lo es${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptible. ^{[ 3 ] pág. 59 [ 10 ]} Un cardinal es inaccesible si y solo si es${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$-indescriptible para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$, equivalentemente si y solo si es${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$-indescriptible, equivalentemente si es${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$-indescriptible.

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$Los cardinales indescriptibles son lo mismo que los cardinales débilmente compactos . ^{[ 3 ] pág. 59}

La condición de indescriptibilidad es equivalente a${\displaystyle V_{\kappa }}$que satisface el principio de reflexión (que es demostrable en ZFC), pero extendido al permitir fórmulas de orden superior con una variable libre de segundo orden. ^{[ 10 ]}

Para los cardenales${\displaystyle \kappa <\theta }$, digamos que una incrustación elemental${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$una pequeña incrustación si${\displaystyle M}$es transitivo,${\displaystyle M}$está en${\displaystyle H(\theta )}$, y${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$Para cualquier número natural${\displaystyle 1\leq n}$,${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptible si y solo si hay un${\displaystyle \alpha >\kappa }$de tal manera que para todos${\displaystyle \theta >\alpha }$Hay una pequeña incrustación${\displaystyle j:M\to H_{\theta }}$de tal manera que${\displaystyle H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})}$. ^{[ 11 ] , Corolario 4.3}

Si V=L , entonces para un número natural n >0, un cardinal no numerable es Π ¹ _n -indescriptible si y solo si es (n+1)-estacionario. ^{[ 12 ]}

Para una clase${\displaystyle X}$de ordinales y un${\displaystyle \Gamma }$-cardenal indescriptible${\displaystyle \kappa }$,${\displaystyle X}$Se dice que se aplica en${\displaystyle \alpha }$(por alguna fórmula)${\displaystyle \phi }$de${\displaystyle \Gamma }$) si hay un${\displaystyle \Gamma }$-fórmula${\displaystyle \phi }$y un${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$de tal manera que${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi }$pero no${\displaystyle \beta <\alpha }$con${\displaystyle \beta \notin X}$hace${\displaystyle (V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi }$sostener. ^{[ 1 ] p.277} Esto proporciona una herramienta para mostrar propiedades necesarias de los cardinales indescriptibles.

La propiedad de${\displaystyle \kappa }$ser${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptible es${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$encima${\displaystyle V_{\kappa }}$, es decir, hay un${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$oración que${\displaystyle V_{\kappa }}$satisface si y solo si${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-indescriptible. ^{[ 13 ]} Para${\displaystyle m>1}$, la propiedad de ser${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-indescriptible es${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$y la propiedad de ser${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-indescriptible es${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$. ^{[ 13 ]} Por lo tanto, para${\displaystyle m>1}$, cada cardenal que sea${\displaystyle \Pi _{n+1}^{m}}$-indescriptible o${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{m}}$-indescriptible es ambos${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-indescriptible y${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-indescriptible y el conjunto de tales cardinales debajo de él es estacionario. La fuerza de consistencia de${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-los cardenales indescriptibles están por debajo de los de${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-indescriptible, pero para${\displaystyle m>1}$Es coherente con ZFC que el menos${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-indescriptible existe y está por encima de lo mínimo${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-Cardinal indescriptible (esto se demuestra por la consistencia de ZFC con${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-cardenal indescriptible y un${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-indescriptible cardenal encima de él).

Los cardinales totalmente indescriptibles siguen siendo totalmente indescriptibles en el universo construible ^{[ 3 ] págs. 62-63} y en otros modelos internos canónicos, y de manera similar para${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$- y${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$-indescriptibilidad.

Para números naturales${\displaystyle n}$, si un cardenal${\displaystyle \kappa }$es${\displaystyle n}$-indescriptible, hay un ordinal${\displaystyle \alpha <\kappa }$de tal manera que${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )}$, dónde${\displaystyle \equiv }$denota equivalencia elemental . ^{[ 14 ]} Para${\displaystyle n=0}$Esta es una bicondicional (véase Dos caracterizaciones de la inaccesibilidad basadas en la teoría de modelos ).

Los cardinales medibles son${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$-indescriptible, pero el cardinal mensurable más pequeño no lo es.${\displaystyle \Sigma _{1}^{2}}$-indescriptible. ^{[ 13 ] pág. 61} Sin embargo, asumiendo la elección , hay muchos cardinales totalmente indescriptibles por debajo de cualquier cardinal mensurable.

Para${\displaystyle n\geq 1}$, ZFC+"hay un${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$-cardinal indescriptible" es equiconsistente con ZFC+"hay un${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$-cardenal indescriptible${\displaystyle \kappa }$de tal manera que${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$", es decir, "GCH falla en un${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$-cardenal indescriptible". ^{[ 10 ]}

• Hanf, WP; Scott, DS (1961), "Clasificación de cardinales inaccesibles", Notices of the American Mathematical Society , 8 : 445, ISSN 0002-9920 
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior  : grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª  ed.). Saltador. doi : 10.1007/978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3.