Pseudosfera

En geometría , una pseudoesfera es una superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Es el ejemplo más famoso de una superficie pseudoesférica . Una superficie pseudoesférica es una superficie sumergida suavemente por partes en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con curvatura gaussiana negativa constante . Una "superficie pseudoesférica de radio R " es una superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Tiene una curvatura de −1/ R ² en cada punto. Su nombre proviene de la analogía con la esfera de radio R , que es una superficie de curvatura 1/ R ² . Algunos ejemplos son el tractoide, las superficies de Dini , las superficies de respiración y la superficie de Kuen .

El término "pseudosfera" fue introducido por Eugenio Beltrami en su artículo de 1868 sobre modelos de geometría hiperbólica . ^{[ 1 ]}

Por "la pseudoesfera", la gente suele referirse al tractoide. El tractoide se obtiene al girar una tractriz alrededor de su asíntota . Como ejemplo, la (semi) pseudoesfera (con radio 1) es la superficie de revolución de la tractriz parametrizada por ^{[ 2 ].}

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Es un espacio singular (el ecuador es una singularidad), pero lejos de las singularidades, tiene una curvatura gaussiana negativa constante y, por lo tanto, es localmente isométrico a un plano hiperbólico .

El nombre "pseudoesfera" surge porque posee una superficie bidimensional de curvatura gaussiana negativa constante, al igual que una esfera posee una superficie de curvatura gaussiana positiva constante. Del mismo modo que la esfera tiene en cada punto una geometría de cúpula con curvatura positiva, toda la pseudoesfera tiene en cada punto la geometría de silla de montar con curvatura negativa .

Ya en 1693, Christiaan Huygens descubrió que el volumen y el área superficial de la pseudoesfera son finitos, ^{[ 3 ]} a pesar de la extensión infinita de la forma a lo largo del eje de rotación. Para un radio de arista R dado , el área es 4π R² igual que para la esfera, mientras que el ^volumen es 2/3 π R³ y , ^{por lo tanto ,} la mitad del de una esfera de ese radio. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La pseudoesfera es un importante precursor geométrico de las artes textiles matemáticas y la pedagogía . ^{[ 6 ]}

Una congruencia de líneas es una familia de líneas de 2 parámetros en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Se puede escribir como$${\displaystyle X(u,v,t)=x(u,v)+tp(u,v)}$$donde cada selección de${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$elige una rama específica de la familia.

Una superficie focal de la congruencia de líneas es una superficie tangente a la congruencia de líneas. En cada punto de la superficie,$${\displaystyle \det \left(\partial _{u}X,\partial _{v}X,p\right)=0}$$La ecuación anterior se expande a una ecuación cuadrática en${\displaystyle t}$:$${\displaystyle \det(\partial _{u}x(u,v)+t\partial _{u}p(u,v),\partial _{v}x(u,v)+t\partial _{v}p(u,v),p(u,v))=0}$$Así, para cada${\displaystyle (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}}$, en general existen dos opciones de${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$Por lo tanto, una congruencia de líneas genérica tiene exactamente dos superficies focales parametrizadas por${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$.

Para un haz de líneas perpendiculares a una superficie lisa, las dos superficies focales corresponden a sus evolutas: los lugares geométricos de los centros de curvatura principal.

En 1879, Bianchi demostró que si una congruencia de líneas es tal que los puntos correspondientes en las dos superficies focales están a una distancia constante 1, es decir,${\displaystyle |t_{1}(u,v)-t_{2}(u,v)|=1}$, entonces ambas superficies focales tienen una curvatura constante de -1.

En 1880, Lie demostró una recíproca parcial. Sea${\textstyle X}$sea ​​una superficie pseudoesférica. Entonces existe una segunda superficie pseudoesférica.${\textstyle {\hat {X}}}$y una congruencia de líneas${\textstyle {\mathcal {L}}}$de tal manera que${\textstyle X}$y${\textstyle {\hat {X}}}$son las superficies focales de${\textstyle {\mathcal {L}}}$. Además,${\textstyle {\hat {X}}}$y${\textstyle {\mathcal {L}}}$puede construirse a partir de${\textstyle X}$integrando una secuencia de EDO .

La semiesfera pseudosférica de curvatura −1 está cubierta por el interior de un horociclo . En el modelo del semiplano de Poincaré, una elección conveniente es la porción del semiplano con y ≥ 1. [ ^{7 ] Entonces} , el mapa de recubrimiento es periódico en la dirección x con un período de 2π , y toma los horociclos y = c a los meridianos de la pseudoesfera y las geodésicas verticales x = c a las tractivas que generan la pseudoesfera. Este mapeo es una isometría local y, por lo tanto, muestra la porción y ≥ 1 del semiplano superior como el espacio de recubrimiento universal de la pseudoesfera. El mapeo preciso es

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )},}$

dónde

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

es la parametrización de la tractriz anterior.

En algunas fuentes que utilizan el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el hiperboloide se denomina pseudoesfera . ^{[ 8 ]} Este uso de la palabra se debe a que el hiperboloide puede pensarse como una esfera de radio imaginario, incrustada en un espacio de Minkowski .

Las superficies pseudoesféricas se pueden construir a partir de soluciones de la ecuación de seno-Gordon . ^{[ 9 ]} Una demostración esquemática comienza con la reparametrización del tractoide con coordenadas en las que las ecuaciones de Gauss-Codazzi se pueden reescribir como la ecuación de seno-Gordon.

Sobre una superficie, en cada punto, dibuje una cruz que apunte a las dos direcciones de curvatura principal . Estas cruces se pueden integrar en dos familias de curvas, formando un sistema de coordenadas sobre la superficie. Sea el sistema de coordenadas escrito como${\displaystyle (x,y)}$.

En cada punto de una superficie pseudoesférica existen, en general, dos direcciones asintóticas. A lo largo de ellas, la curvatura es cero. Sea el ángulo entre las direcciones asintóticas.${\displaystyle \theta }$.

Un teorema afirma que$${\displaystyle \partial _{xx}\theta -\partial _{yy}\theta =\sin \theta }$$En particular, para el tractoide, las ecuaciones de Gauss-Codazzi son la ecuación de seno-Gordon aplicada a la solución del solitón estático, por lo que se satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. En estas coordenadas, la primera y la segunda forma fundamental se escriben de manera que queda claro que la curvatura gaussiana es -1 para cualquier solución de las ecuaciones de seno-Gordon.

Entonces, cualquier solución a la ecuación de seno-Gordon puede usarse para especificar una primera y una segunda forma fundamental que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Existe entonces un teorema que establece que cualquier conjunto de datos iniciales de este tipo puede usarse para especificar, al menos localmente, una superficie inmersa en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Esta conexión entre las ecuaciones de seno-Gordon y las superficies pseudoesféricas implica que se pueden identificar soluciones de la ecuación mediante superficies. Por lo tanto, cualquier método para generar nuevas soluciones de seno-Gordon a partir de las antiguas genera automáticamente nuevas superficies pseudoesféricas a partir de las antiguas, y viceversa.

A continuación se presentan algunos ejemplos de soluciones de seno-Gordon y su superficie correspondiente:

• 1-solitón estático: pseudoesfera
• Solitón móvil de 1: superficie de Dini
• Solución de ventilación: Superficie de ventilación
• 2-solitón: superficie de Kuen

• Teorema de Hilbert (geometría diferencial)
• La superficie de Dini
• El cuerno de Gabriel
• Hiperboloide
• Estructura hiperboloide
• Cuasiesfera
• ecuación de Sine-Gordon
• Esfera
• Superficie de revolución

• Stillwell, John (1996). Fuentes de la geometría hiperbólica . American Mathematical Society & London Mathematical Society. ISBN 0-8218-0529-0.
• Henderson, DW; Taimina, D. (2006). "Experimentando la geometría: euclidiana y no euclidiana con historia". Estética y matemáticas (PDF) . Springer-Verlag.
• Kasner, Edward; Newman, James (1940). Matemáticas y la imaginación . Simon & Schuster . págs.  140, 145, 155.
• Rogers, C.; Schief, Wolfgang K., eds. (2002). Transformaciones de Bäcklund y Darboux: geometría y aplicaciones modernas en la teoría de solitones . Textos de Cambridge en matemáticas aplicadas. Cambridge, Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01288-1.

• No euclidiano
• Tejiendo a crochet el plano hiperbólico: una entrevista con David Henderson y Daina Taimina
• Superficies pseudoesféricas en el museo virtual de matemáticas.