Número triangular

Los números triangulares o números triangulares son la secuencia de enteros positivos que se pueden representar como una red de puntos dispuestos en un triángulo equilátero. La red triangular que representa el${\displaystyle n}$El número triangular contiene${\displaystyle n}$filas: la primera fila contiene un punto, la segunda fila contiene dos, y este patrón continúa hasta la${\displaystyle n}$la fila que contiene${\displaystyle n}$Por lo tanto, los números triangulares también pueden representarse mediante la fórmula

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\sum _{k=1}^{n}k}$

Los números triangulares son el tipo más simple de número figurado ; los números figurados generalizan su concepto a otros polígonos bidimensionales, como los números pentagonales , así como a poliedros de dimensiones superiores, como los números tetraédricos . Tomando${\displaystyle T_{0}=0}$(ver suma vacía ), los primeros términos son

(secuencia A000217 en el OEIS )

Los números triangulares se obtienen mediante las siguientes fórmulas explícitas:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$es la notación para un coeficiente binomial . Representa el número de pares distintos que se pueden seleccionar de n + 1 objetos, y se lee en voz alta como " n más uno elige dos".

El hecho de que el${\displaystyle n}$El número triangular es igual a${\displaystyle n(n+1)/2}$puede ilustrarse mediante una prueba visual . ^{[ 1 ]} Para cada número triangular${\displaystyle T_{n}}$, imagina una disposición de objetos en forma de "medio rectángulo" que corresponda al número triangular, como en la figura siguiente. Copiar esta disposición y rotarla para crear una figura rectangular duplica el número de objetos, produciendo un rectángulo con dimensiones${\displaystyle n\times (n+1)}$, que también es el número de objetos en el rectángulo. Claramente, el número triangular en sí es siempre exactamente la mitad del número de objetos en dicha figura, o:${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$. El ejemplo${\displaystyle T_{4}}$sigue:

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(verde más amarillo) implica que${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$(verde).   

Esta fórmula puede demostrarse formalmente mediante inducción matemática . ^{[ 2 ]} Es claramente cierto para${\displaystyle 1}$:

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

Ahora supongamos que, para algún número natural${\displaystyle m}$,${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$. Luego podemos verificarlo para${\displaystyle m+1}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m+1}k&=\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)\\&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m^{2}+m}{2}}+{\frac {2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

entonces si la fórmula es verdadera para${\displaystyle m}$, es cierto para${\displaystyle m+1}$. Dado que es claramente cierto para${\displaystyle 1}$, por lo tanto, es cierto para${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$y, en última instancia, todos los números naturales${\displaystyle n}$por inducción.

Una historia apócrifa afirma que el matemático alemán Gauss descubrió esta relación en su juventud, multiplicando n / 2 pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1. ^{[ 3 ]} En cualquier caso, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^{[ 4 ]} Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil alrededor del año 816 en su Computus . ^{[ 5 ]} Existe una traducción al inglés del relato de Dicuil. ^{[ 6 ]}

En ocasiones es necesario calcular números triangulares grandes donde la fórmula estándar t = n*(n+1)/2sufriría un desbordamiento de enteros antes de la división final por 2. Por ejemplo, T ₂₀ = 210 < 256, por lo que cabe en un byte de 8 bits , pero no el producto intermedio 420. Esto se puede resolver dividiendo n o n+1 por 2 antes de la multiplicación, el que sea par. Esto no requiere una bifurcación condicional si se implementa como t = (n|1) * ((n+1)/2). Si nes impar, la operación OR binarian|1 no tiene efecto, por lo que esto es equivalente a t = n * ((n+1)/2)y por lo tanto correcto. Si nes par, establecer el bit menos significativo con n|1es lo mismo que sumar 1, mientras que el 1 sumado antes de la división se trunca , por lo que esto es equivalente a t = (n+1) * (n/2)y también correcto.

Los números triangulares tienen una amplia variedad de relaciones con otros números figurados.

En pocas palabras, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado, ya que: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

donde la suma es el cuadrado de la diferencia entre ambos (y por lo tanto la diferencia entre ambos es la raíz cuadrada de la suma): $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

Esta propiedad, conocida coloquialmente como el teorema de Teón de Esmirna , ^{[ 9 ]} se demuestra visualmente en la siguiente suma, que representa${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$como sumas de dígitos :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

Este hecho también puede demostrarse gráficamente colocando los triángulos en direcciones opuestas para crear un cuadrado:

6 + 10 = 16 10 + 15 = 25         

El doble de un número triangular, como en la demostración visual de la sección anterior §  Fórmula , se llama número prónico .

Hay infinitos números triangulares que también son números cuadrados ; por ejemplo, 1, 36, 1225. Algunos de ellos se pueden generar mediante una fórmula recursiva simple: $${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$con${\displaystyle S_{1}=1.}$

Todos los números triangulares cuadrados se obtienen mediante la recursión. $${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$con${\displaystyle S_{0}=0}$y${\displaystyle S_{1}=1.}$

El cuadrado del n -ésimo número triangular también es igual a la suma de los cubos de los enteros del 1 al n . Esto también se puede expresar como $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

La suma de los primeros n números triangulares es el n -ésimo número tetraédrico : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

De forma más general, la diferencia entre el n- ésimo número m- gonal y el n- ésimo número ( m + 1) -gonal es el ( n − 1) -ésimo número triangular. Por ejemplo, el sexto número heptagonal (81) menos el sexto número hexagonal (66) es igual al quinto número triangular, 15. Cualquier otro número triangular es un número hexagonal. Conociendo los números triangulares, se puede calcular cualquier número poligonal centrado ; el n -ésimo número k -gonal centrado se obtiene mediante la fórmula $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

donde T es un número triangular.

La diferencia positiva de dos números triangulares es un número trapezoidal .

El patrón encontrado para los números triangulares${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$y para números tetraédricos${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$que utiliza coeficientes binomiales , puede generalizarse. Esto conduce a la fórmula: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Los números triangulares corresponden al caso de primer grado de la fórmula de Faulhaber .

{{{anotaciones}}}

Prueba sin palabras de que todos los números hexagonales son números triangulares de lados impares.

Los números triangulares alternos (1, 6, 15, 28, ...) también son números hexagonales.

Todo número par perfecto es triangular (así como hexagonal), dado por la fórmula $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$ donde M _p es un número primo de Mersenne . No se conocen números perfectos impares; por lo tanto, todos los números perfectos conocidos son triangulares.

Por ejemplo, el tercer número triangular es (3 × 2 =) 6, el séptimo es (7 × 4 =) 28, el trigésimo primero es (31 × 16 =) 496 y el 127º es (127 × 64 =) 8128.

El último dígito de un número triangular es 0, 1, 3, 5, 6 u 8, por lo que dichos números nunca terminan en 2, 4, 7 o 9. Un 3 final debe ir precedido de un 0 o un 5; un 8 final debe ir precedido de un 2 o un 7.

En base 10 , la raíz digital de un número triangular distinto de cero siempre es 1, 3, 6 o 9. Por lo tanto, todo número triangular es divisible por tres o tiene un resto de 1 cuando se divide por 9:

El patrón de raíz digital para números triangulares, que se repite cada nueve términos, como se muestra arriba, es "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Sin embargo, lo contrario de la afirmación anterior no siempre es cierto. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 12, que no es un número triangular, es 3 y es divisible por tres.

Si x es un número triangular, a es un cuadrado impar y b = a − 1 / 8 , entonces ax + b también es un número triangular. Nótese que b siempre será un número triangular, porque 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , que produce todos los cuadrados impares, se revelan multiplicando un número triangular por 8 y sumando 1, y el proceso para b dado que a es un cuadrado impar es el inverso de esta operación. Los primeros pares de esta forma (sin contar 1 x + 0 ) son: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... etc. Dado que x es igual a T _n , estas fórmulas dan como resultado T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} , y así sucesivamente.

La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

Esto se puede demostrar utilizando la suma básica de una serie telescópica : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

Además, la enésima suma parcial de esta serie se puede escribir como: $${\displaystyle 2n \over {n+1}.}$$

Otras dos fórmulas relativas a los números triangulares son: $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$ y $${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$ Ambas cosas pueden determinarse observando patrones de puntos (véase más arriba) o mediante álgebra sencilla.

En 1796, Gauss descubrió que todo entero positivo se puede representar como una suma de tres números triangulares, escribiendo en su diario sus famosas palabras: " ¡EHRKA! num = Δ + Δ + Δ ". Los tres números triangulares no son necesariamente distintos, o diferentes de cero; por ejemplo, 20 = 10 + 10 + 0. Este es un caso especial del teorema de Fermat sobre números poligonales .

El mayor número triangular de la forma 2 ^k − 1 es 4095 (véase la ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński planteó la cuestión de la existencia de cuatro números triangulares distintos en progresión geométrica . El matemático polaco Kazimierz Szymiczek conjeturó que era imposible, y posteriormente Fang y Chen lo demostraron en 2007. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Las fórmulas que implican expresar un número entero como la suma de números triangulares están relacionadas con las funciones theta , en particular la función theta de Ramanujan . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

El número de segmentos de línea entre pares de puntos más cercanos en el triángulo se puede representar en términos del número de puntos o con una relación de recurrencia : $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};\qquad L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

En el límite , la razón entre los dos números, puntos y segmentos de línea es $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

El número triangular T _n resuelve el problema del apretón de manos , que consiste en contar el número de apretones de manos si cada persona en una habitación con n + 1 personas da la mano una vez a cada una de ellas. En otras palabras, la solución al problema del apretón de manos de n personas es T _{n −1} . ^{[ 16 ]}

De forma equivalente, una red totalmente conectada de n dispositivos informáticos requiere la presencia de T _{n − 1} cables u otras conexiones.

Un número triangular${\displaystyle T_{n}}$es equivalente al número de rotaciones principales en dimensión${\displaystyle n+1}$. Por ejemplo, en cinco dimensiones el número de rotaciones principales es 10, que es${\displaystyle T_{4}}$. ^{[ 17 ]}

En un torneo con formato de liguilla , la cantidad de partidos que deben jugarse entre n equipos es igual al número triangular T _{n − 1.} Por ejemplo, una fase de grupos con 4 equipos requiere 6 partidos, y una con 8 equipos requiere 28. Esto es equivalente al problema del apretón de manos y a los problemas de redes totalmente conectadas.

Una forma de calcular la depreciación de un activo es el método de la suma de los dígitos de los años , que consiste en hallar T _n , donde n es la duración en años de la vida útil del activo. Cada año, el artículo pierde ( b − s ) × ⁠ n − y / T _n ⁠ , donde b es el valor inicial del artículo (en unidades monetarias), s es su valor residual final, n es el número total de años que el artículo es utilizable, e y es el año actual en el plan de depreciación. Según este método, un artículo con una vida útil de n = 4 años perdería ⁠ 4 / 10 ⁠ de su valor "perdible" en el primer año, ⁠ 3 / 10 ⁠ en el segundo, ⁠ 2 / 10 ⁠ en el tercero y ⁠ 1 / 10 ⁠ en el cuarto, acumulando una depreciación total de ⁠ 10 / 10 ⁠ (la totalidad) del valor perdible.

Los diseñadores de juegos de mesa Geoffrey Engelstein e Isaac Shalev describen los números triangulares como algo que ha alcanzado "casi el estatus de un mantra o koan entre los diseñadores de juegos ", describiéndolos como "profundamente intuitivos" y "presentes en una enorme cantidad de juegos, [demostrando] una increíble versatilidad para proporcionar recompensas crecientes para conjuntos más grandes sin incentivar excesivamente la especialización excluyendo todas las demás estrategias". ^{[ 18 ]}

Por analogía con la raíz cuadrada de x , se puede definir la raíz triangular (positiva) de x como el número n tal que T _n = x : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

lo cual se deduce inmediatamente de la fórmula cuadrática . Por lo tanto , un entero x es triangular si y solo si 8x + 1 es un cuadrado. De forma equivalente, si la raíz triangular positiva n de x es un entero, entonces x es el n- ésimo número triangular. ^{[ 19 ]}

Por analogía con la función factorial , un producto cuyos factores son los enteros del 1 al n , Donald Knuth propuso el nombre de función termial , ^{[ 20 ]} con la notación n ? para la suma cuyos términos son los enteros del 1 al n (el n- ésimo número triangular). Aunque otras fuentes utilizan este nombre y notación, ^{[ 21 ]} no son de uso generalizado. Por lo tanto, la función termial se puede definir en notación como: ^{[ 20 ]}  

${\displaystyle n?=\sum _{k=1}^{n}{k}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} }$

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Número doblemente triangular , un número triangular cuya posición en la secuencia de números triangulares es también un número triangular.
• Tetractys , una disposición de diez puntos en un triángulo, importante en el pitagorismo.
• número factorial
• Secuencia Šindel

• "Series aritméticas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números triangulares en el nudo de corte
• Existen números triangulares que también son cuadrados en el punto de corte del nudo.
• Weisstein, Eric W. "Número triangular" . MathWorld .
• Raíces politópicas hipertetraédricas por Rob Hubbard, incluyendo la generalización a raíces cúbicas triangulares , algunas dimensiones superiores y algunas fórmulas aproximadas.