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Articulo de referencia

Tricolorabilidad

Un nudo de trébol tricolor . En el campo matemático de la teoría de nudos , la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad de colorearlo con tres colores según ciertas reglas. L...

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Un nudo de trébol tricolor .

En el campo matemático de la teoría de nudos , la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad de colorearlo con tres colores según ciertas reglas. La tricolorabilidad es un invariante isotópico y, por lo tanto, puede usarse para distinguir entre dos nudos diferentes (no isotópicos ). En particular, dado que el nudo simple no es tricolorable, cualquier nudo tricolorable es necesariamente no trivial.

Reglas de tricolorabilidad

En estas reglas, una hebra en un diagrama de nudo será un trozo de la cuerda que va de un cruce inferior al siguiente. [ 1 ] Un nudo es tricolorable si cada hebra del diagrama de nudo se puede colorear con uno de tres colores, sujeto a las siguientes reglas: [ 2 ]

1. Se deben utilizar al menos dos colores, y
2. En cada cruce, los tres hilos incidentes son todos del mismo color o todos de colores diferentes.

Algunas referencias afirman que deben usarse los tres colores. [ 3 ] Para un nudo, esto es equivalente a la definición anterior; sin embargo, para un enlace no lo es.

"El nudo de trébol y el nudo trivial de dos enlaces son tricolores, pero el nudo simple, el enlace de Whitehead y el nudo de ocho no lo son. Si la proyección de un nudo es tricoloreable, entonces los movimientos de Reidemeister sobre el nudo preservan la tricolorabilidad, por lo que o bien toda proyección de un nudo es tricoloreable o ninguna lo es." [ 2 ]

Ejemplos

Aquí se muestra un ejemplo de cómo colorear un nudo según las reglas de tricolorabilidad. Por convención, los teóricos de nudos utilizan los colores rojo, verde y azul.

Ejemplo de nudo tricolor

El nudo de la abuela es tricolor. En esta coloración, los tres hilos en cada cruce tienen tres colores diferentes. Colorear uno, pero no ambos, de los nudos de trébol de rojo también daría una coloración admisible. El nudo del verdadero amante también es tricolor. [ 4 ]

Los nudos tricolores con menos de nueve cruces incluyen 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 , y 8 21 .

Ejemplo de un nudo no tricolor

El nudo de ocho no es tricolor. En el diagrama mostrado, tiene cuatro hebras, y cada par de hebras se encuentra en algún punto de cruce. Si tres de las hebras fueran del mismo color, todas las hebras tendrían que ser del mismo color. De lo contrario, cada una de estas cuatro hebras debe tener un color distinto. Dado que la tricolorabilidad es una propiedad invariante del nudo, ninguno de sus otros diagramas puede ser tricolor.

Invariante de isotopía

La tricolorabilidad es un invariante isotópico , una propiedad de un nudo o enlace que permanece constante independientemente de cualquier isotopía ambiental . Esto se puede demostrar para nudos mansos examinando los movimientos de Reidemeister . Dado que cada movimiento de Reidemeister se puede realizar sin afectar la tricolorabilidad, esta es un invariante isotópico de los nudos mansos. [ 5 ]

Propiedades

Dado que la tricolorabilidad es una clasificación binaria (un enlace es tricolorable o no*), se trata de una invariante relativamente débil. La composición de un nudo tricolorable con otro nudo siempre es tricolorable. Una forma de fortalecer la invariante es contar el número de posibles 3-coloraciones. En este caso, se relaja la regla de que se utilicen al menos dos colores y ahora cada enlace tiene al menos tres 3-coloraciones (simplemente se colorea cada arco del mismo color). En este caso, un enlace es tricolorable si tiene más de tres 3-coloraciones.

Cualquier enlace separable con un componente separable tricoloreable también es tricoloreable.

En nudos toroidales

Si el nudo/enlace toroidal denotado por (m,n) es tricoloreable, entonces también lo son (j*m,i*n) y (i*n,j*m) para cualesquiera números naturales i y j.

Véase también

Fuentes

  1. ↑ Xaoyu Qiao, EL (20 de enero de 2015). "Teoría de nudos, semana 2: tricolorabilidad" (PDF) . Sección 3. Archivado del original (PDF) el 26 de marzo de 2024.
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Segunda edición, pág. 3045. ISBN 9781420035223. citado en Weisstein, Eric W. "Tricolorable" . MathWorld .Consultado el 5 de mayo de 2013.
  3. ↑ Gilbert, ND y Porter, T. (1994) Nudos y superficies , pág. 8
  4. ↑ Bestvina, Mladen (febrero de 2003). " Nudos: un folleto para círculos matemáticos ", Math.Utah.edu .
  5. ↑ Adams, Colin (2004). El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 22–27 . ISBN  978-0-8218-3678-1OCLC 55633800 .​ 

Lecturas adicionales