Movimiento de Reidemeister

En el ámbito matemático de la teoría de nudos , un movimiento de Reidemeister es cualquiera de los tres movimientos locales en un diagrama de enlace . Kurt Reidemeister ( 1927 ) e, independientemente, James Waddell Alexander y Garland Baird Briggs ( 1926 ) , demostraron que dos diagramas de nudos pertenecientes al mismo nudo, salvo isotopía planar , pueden relacionarse mediante una secuencia de los tres movimientos de Reidemeister. ^{[ 1 ] [ 2 ]}  

Cada movimiento opera en una pequeña región del diagrama y es de uno de tres tipos: ^{[ 3 ]}

Ninguna otra parte del diagrama interviene en la representación de un movimiento, y una isotopía planar puede distorsionar la imagen. La numeración de los tipos de movimientos corresponde al número de hebras implicadas; por ejemplo, un movimiento de tipo II opera sobre dos hebras del diagrama.

Un contexto importante en el que aparecen los movimientos de Reidemeister es en la definición de invariantes de nudos . ^{[ 4 ]} Al demostrar una propiedad de un diagrama de nudos que no cambia cuando aplicamos cualquiera de los movimientos de Reidemeister, se define un invariante. Muchos invariantes importantes pueden definirse de esta manera, incluido el polinomio de Jones .

El movimiento de tipo I es el único que afecta la torsión del diagrama. El movimiento de tipo III es el único que no cambia el número de cruces del diagrama. ^{[ 5 ]}

En aplicaciones como el cálculo de Kirby , en el que la clase de equivalencia deseada de diagramas de nudos no es un nudo sino un enlace enmarcado , se debe reemplazar el movimiento de tipo I con un movimiento de "tipo I modificado" (tipo I') compuesto por dos movimientos de tipo I de sentido opuesto. El movimiento de tipo I' no afecta ni al enmarcado del enlace ni a la torsión del diagrama de nudos en su conjunto. ^{[ 6 ]}

Trace (1983) demostró que dos diagramas de nudos para el mismo nudo están relacionados usando solo movimientos de tipo II y III si y solo si tienen el mismo número de torsión y enrollamiento . ^{[ 7 ]} Además, el trabajo combinado de Östlund (2001) , Manturov (2004) y Hagge (2006) muestra que para cada tipo de nudo hay un par de diagramas de nudos de modo que cada secuencia de movimientos de Reidemeister que lleva de uno al otro debe usar los tres tipos de movimientos. ^{[ 8 ]} Alexander Coward demostró que para diagramas de enlaces que representan enlaces equivalentes, hay una secuencia de movimientos ordenados por tipo: primero movimientos de tipo I, luego movimientos de tipo II, tipo III y luego tipo II. Los movimientos anteriores a los movimientos de tipo III aumentan el número de cruces mientras que los posteriores lo disminuyen.

Hayashi (2005) demostró que también existe un límite superior, que depende del número de cruces, en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para dividir un enlace . ^{[ 9 ]}

Coward y Lackenby (2014) demostraron la existencia de una cota superior exponencial de la torre (que depende del número de cruces) en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para pasar entre dos diagramas del mismo enlace. ^{[ 10 ]} En detalle, sea${\displaystyle n}$Sea la suma de los números de cruce de los dos diagramas, entonces el límite superior es${\displaystyle 2^{2^{2^{.^{.^{n}}}}}}$donde la altura de la torre de${\displaystyle 2}$s (con un solo${\displaystyle n}$en la parte superior) es${\displaystyle 10^{1,000,000n}}$.

Lackenby (2015) demostró la existencia de una cota superior polinómica (dependiendo del número de cruces) en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para cambiar un diagrama del nudo simple al nudo simple estándar. En detalle, para cualquier diagrama de este tipo con${\displaystyle c}$cruces, el límite superior es${\displaystyle (236c)^{11}}$. ^{[ 11 ]}

• Alexander, James W.; Briggs, Garland B. (1926), "Sobre tipos de curvas anudadas", Annals of Mathematics , 28 (1/4): 562–586 , doi : 10.2307/1968399 , JSTOR 1968399 , MR 1502807  
• Coward, Alexander; Lackenby, Marc (2014), "Un límite superior para los movimientos de Reidemeister" , American Journal of Mathematics , 136 (4): 1023–1066 , arXiv : 1104.1882 , doi : 10.1353/ajm.2014.0027 , MR 3245186 , S2CID 55882290  
• Galatolo, Stefano (1999), "Sobre un problema de la teoría de nudos efectivos" , Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Ciencia. Fis. Estera. Naturaleza. Desgarrar. Lincei (9) Mat. Aplica. , 9 (4): 299– 306, SEÑOR 1722788 
• Hagge, Tobias (2006), "Cada movimiento de Reidemeister es necesario para cada tipo de nudo", Proc. Amer. Math. Soc. , 134 (1): 295– 301, doi : 10.1090/S0002-9939-05-07935-9 , MR 2170571 
• Hass, Joel ; Lagarias, Jeffrey C. (2001), "El número de movimientos de Reidemeister necesarios para deshacer nudos", Journal of the American Mathematical Society , 14 (2): 399–428 , arXiv : math/9807012 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00358-7 , MR 1815217 , S2CID 15654705  
• Hayashi, Chuichiro (2005), "El número de movimientos de Reidemeister para dividir un enlace", Mathematische Annalen , 332 (2): 239–252 , doi : 10.1007/s00208-004-0599-x , MR 2178061 , S2CID 119728321  
• Lackenby, Marc (2015), "Una cota superior polinomial para los movimientos de Reidemeister", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 182 (2): 491– 564, arXiv : 1302.0180 , doi : 10.4007/annals.2015.182.2.3 , MR 3418524 , S2CID 119662237  
• Manturov, Vassily Olegovich (2004), Teoría de nudos , Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9780203402849 , ISBN 0-415-31001-6, MR 2068425 
• Östlund, Olof-Petter (2001), "Invariantes de diagramas de nudos y relaciones entre movimientos de Reidemeister", J. Knot Theory Ramifications , 10 (8): 1215–1227 , arXiv : math/0005108 , doi : 10.1142/S0218216501001402 , MR 1871226 , S2CID 119177881  
• Reidemeister, Kurt (1927), "Elementare Begründung der Knotentheorie", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 5 (1): 24– 32, doi : 10.1007/BF02952507 , MR 3069462 , S2CID 120149796  
• Trace, Bruce (1983), "Sobre los movimientos de Reidemeister de un nudo clásico", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 89 (4): 722– 724, doi : 10.2307/2044613 , JSTOR 2044613 , MR 0719004