Nudo retorcido

En la teoría de nudos , una rama de las matemáticas , un nudo retorcido es un nudo que se obtiene al retorcer repetidamente un bucle cerrado y luego unir los extremos. (Es decir, un nudo retorcido es cualquier doble de Whitehead de un nudo simple ). Los nudos retorcidos constituyen una familia infinita de nudos y se consideran el tipo de nudo más simple después de los nudos toroidales .

Un nudo retorcido se obtiene uniendo los dos extremos de un lazo retorcido. Se pueden introducir varias medias vueltas en el lazo antes de unirlo, lo que da lugar a una familia infinita de posibilidades. Las siguientes figuras muestran los primeros nudos retorcidos:

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  Un medio giro ( nudo de trébol , 3 ₁ )
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  Dos medias vueltas ( nudo en forma de ocho , 4 ₁ )
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  Tres medias vueltas ( 5 nudos ₂ )
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  Cuatro medias vueltas ( nudo de estibador , 6 ₁ )
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  Cinco medias vueltas (7 _nudos )
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  Seis medias vueltas (8 ₁ nudo)

Todos los nudos retorcidos tienen un número de desatado uno, ya que el nudo se puede desatar desenlazando los dos extremos. Todo nudo retorcido es también un nudo de 2 puentes . ^{[ 1 ]} De los nudos retorcidos, solo el nudo desatado y el nudo de estibador son nudos de rebanada . ^{[ 2 ]} Un nudo retorcido con medias torsiones tiene un número de cruce . Todos los nudos retorcidos son invertibles , pero los únicos nudos retorcidos anfiquirales son el nudo desatado y el nudo de ocho . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$

Los invariantes de un nudo retorcido dependen del número de semitorsiones. El polinomio de Alexander de un nudo retorcido viene dado por la fórmula ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{si }}n{\text{ es impar}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{si }}n{\text{ es par,}}\\\end{cases}}}$

y el polinomio de Conway es

${\displaystyle \nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\\\end{cases}}}$

Cuando es impar, el polinomio de Jones es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},}$

y cuando es par, es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.}$