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teoría del twistor

En física teórica , la teoría de twistores fue propuesta por Roger Penrose en 1967 [ 1 ] como una unificación de la relatividad general [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ( geometría del espacio...

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En física teórica , la teoría de twistores fue propuesta por Roger Penrose en 1967 [ 1 ] como una unificación de la relatividad general [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ( geometría del espacio-tiempo ) [ 3 ] y la mecánica cuántica [ 2 ] [ 3 ] (teoría cuántica) [ 4 ] y posteriormente se ha convertido en una rama ampliamente estudiada de la física teórica y matemática . La idea de Penrose era que el espacio de twistores debería ser el escenario básico de la física del cual debería emerger el propio espacio-tiempo. Ha dado lugar a poderosas herramientas matemáticas que tienen aplicaciones en geometría diferencial e integral , ecuaciones diferenciales no lineales y teoría de la representación , y en física a la relatividad general, la teoría cuántica de campos y la teoría de amplitudes de dispersión .

La teoría de los twistores surgió en el contexto del rápido desarrollo matemático de la teoría de la relatividad general de Einstein a finales de la década de 1950 y durante la década de 1960, y presenta varias influencias de ese período. En particular, Roger Penrose ha reconocido a Ivor Robinson como una influencia temprana importante en el desarrollo de la teoría de los twistores, a través de la construcción de las llamadas congruencias de Robinson . [ 5 ]

Descripción general

espacio de twistores proyectivosPAGT{\displaystyle \mathbb {PT} }es proyectivo 3-espaciodoPAG3{\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}, la variedad algebraica compacta tridimensional más simple . Tiene una interpretación física como el espacio de partículas sin masa con espín . Es la proyectividad de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones , espacio de twistores no proyectivoT{\displaystyle \mathbb {T} }, con una forma hermitiana de signatura (2,  2) y una forma de volumen holomorfa . Esto se puede entender de forma más natural como el espacio de espinores quirales ( Weyl ) para el grupo conforme SO(4,2)/Z 2 del espacio de Minkowski ; es la representación fundamental del grupo de espín SU(2,2) del grupo conforme. Esta definición se puede extender a dimensiones arbitrarias excepto que más allá de la dimensión cuatro, se define el espacio de twistores proyectivos como el espacio de espinores puros proyectivos [ 6 ] [ 7 ] para el grupo conforme. [ 8 ] [ 9 ]

En su forma original, la teoría de twistores codifica campos físicos en el espacio de Minkowski en términos de objetos analíticos complejos en el espacio de twistores a través de la transformada de Penrose . Esto es especialmente natural para campos sin masa de espín arbitrario . En primera instancia, estos se obtienen mediante fórmulas integrales de contorno en términos de funciones holomorfas libres en regiones en el espacio de twistores. Las funciones holomorfas de twistores que dan lugar a soluciones de las ecuaciones de campo sin masa pueden entenderse más profundamente como representantes de Čech de clases de cohomología analítica en regiones enPAGT{\displaystyle \mathbb {PT} }Estas correspondencias se han extendido a ciertos campos no lineales, incluyendo la gravedad autodual en la construcción del gravitón no lineal de Penrose [ 10 ] y los campos autoduales de Yang-Mills en la llamada construcción de Ward; [ 11 ] la primera da lugar a deformaciones de la estructura compleja subyacente de regiones enPAGT{\displaystyle \mathbb {PT} }y este último a ciertos haces vectoriales holomorfos sobre regiones enPAGT{\displaystyle \mathbb {PT} }Estas construcciones han tenido amplias aplicaciones, incluyendo entre otras la teoría de sistemas integrables . [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

La condición de autodualidad es una limitación importante para incorporar las no linealidades completas de las teorías físicas, aunque es suficiente para los monopolos de Yang-Mills-Higgs y los instantones (véase la construcción ADHM ). [ 15 ] Un intento temprano de superar esta restricción fue la introducción de los ambitwistors por Isenberg, Yasskin y Green, [ 16 ] y su extensión de superespacio , los super-ambitwistors , por Edward Witten . [ 17 ] El espacio ambitwistor es el espacio de rayos de luz complejizados o partículas sin masa y puede considerarse como una complejización o fibrado cotangente de la descripción original del twistor. Al extender la correspondencia ambitwistor a vecindarios formales adecuadamente definidos, Isenberg, Yasskin y Green [ 16 ] mostraron la equivalencia entre la anulación de la curvatura a lo largo de tales líneas nulas extendidas y las ecuaciones de campo completas de Yang-Mills. [ 16 ] Witten [ 17 ] demostró que una extensión adicional, dentro del marco de la teoría super Yang-Mills, incluyendo campos fermiónicos y escalares, dio lugar, en el caso de supersimetría N = 1 o 2 , a las ecuaciones de restricción, mientras que para N = 3 (o 4), la condición de anulación para la supercurvatura a lo largo de líneas super nulas (super ambitwistors) implicaba el conjunto completo de ecuaciones de campo , incluyendo aquellas para los campos fermiónicos. Posteriormente se demostró que esto daba una equivalencia 1-1 entre las ecuaciones de restricción de curvatura nula y las ecuaciones de campo supersimétricas de Yang-Mills. [ 18 ] [ 19 ] Mediante reducción dimensional, también puede deducirse de la correspondencia super-ambitwistor análoga para la teoría super Yang-Mills de 10 dimensiones, N = 1. [ 20 ] [ 21 ]      

Las fórmulas twistoriales para interacciones más allá del sector autodual también surgieron en la teoría de cuerdas twistor de Witten , [ 22 ] que es una teoría cuántica de mapas holomorfos de una superficie de Riemann en el espacio twistor. Esto dio lugar a las fórmulas RSV (Roiban, Spradlin y Volovich) notablemente compactas para matrices S de nivel de árbol de las teorías de Yang-Mills, [ 23 ] pero sus grados de libertad gravitacionales dieron lugar a una versión de supergravedad conforme que limita su aplicabilidad; la gravedad conforme es una teoría no física que contiene fantasmas , pero sus interacciones se combinan con las de la teoría de Yang-Mills en amplitudes de bucle calculadas mediante la teoría de cuerdas twistor. [ 24 ]

A pesar de sus deficiencias, la teoría de cuerdas twistor condujo a rápidos desarrollos en el estudio de amplitudes de dispersión. Uno fue el llamado formalismo MHV [ 25 ] vagamente basado en cuerdas desconectadas, pero se le dio una base más básica en términos de una acción twistor para la teoría completa de Yang-Mills en el espacio twistor. [ 26 ] Otro desarrollo clave fue la introducción de la recursión BCFW . [ 27 ] Esta tiene una formulación natural en el espacio twistor [ 28 ] [ 29 ] que a su vez condujo a formulaciones notables de amplitudes de dispersión en términos de fórmulas integrales de Grassmann [ 30 ] [ 31 ] y politopos . [ 32 ] Estas ideas han evolucionado más recientemente en el Grassmanniano positivo [ 33 ] y el amplituhedro .

La teoría de cuerdas twistoras se extendió primero generalizando la fórmula de amplitud de Yang-Mills RSV y luego encontrando la teoría de cuerdas subyacente . La extensión a la gravedad fue dada por Cachazo y Skinner, [ 34 ] y formulada como una teoría de cuerdas twistoras para supergravedad máxima por David Skinner. [ 35 ] Luego, Cachazo, He y Yuan encontraron fórmulas análogas en todas las dimensiones para la teoría de Yang-Mills y la gravedad [ 36 ] y posteriormente para una variedad de otras teorías. [ 37 ] Luego, Mason y Skinner [ 38 ] las entendieron como teorías de cuerdas en el espacio ambitwistor en un marco general que incluye la cuerda twistora original y se extiende para dar una serie de nuevos modelos y fórmulas. [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] Como teorías de cuerdas, tienen las mismas dimensiones críticas que la teoría de cuerdas convencional; Por ejemplo, las versiones supersimétricas de tipo  II son críticas en diez dimensiones y son equivalentes a la teoría de campo completa de  supergravedades de tipo II en diez dimensiones (esto es distinto de las teorías de cuerdas convencionales que también tienen una jerarquía infinita adicional de estados masivos de espín superior que proporcionan una completitud ultravioleta ). Se extienden para dar fórmulas para amplitudes de bucle [ 42 ] [ 43 ] y pueden definirse en fondos curvos. [ 44 ]

Correspondencia de Twistor

Denotemos el espacio de Minkowski por ⁠METRO{\displaystyle M}, con coordenadasincógnitaa=(t,incógnita,y,z){\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}y métrica lorentzianaηab{\displaystyle \eta _{ab}}firma(1,3){\displaystyle (1,3)}Introducir índices espinoriales de 2 componentes.A=0,1;A′=0′,1′,{\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}y establecer

incógnitaAA′=12(t−zincógnita+iyincógnita−iyt+z).{\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}tz&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}

Espacio de twistores no proyectivoT{\displaystyle \mathbb {T} }es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones con coordenadas denotadas porZα=(ωA,πA′){\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}dóndeωA{\displaystyle \omega ^{A}}yπA′{\displaystyle \pi _{A'}}son dos espinores de Weyl constantes . La forma hermitiana se puede expresar definiendo una conjugación compleja a partir deT{\displaystyle \mathbb {T} }a su dobleT∗{\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}porZ¯α=(π¯A,ω¯A′){\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}para que la forma hermitiana pueda expresarse como

ZαZ¯α=ωAπ¯A+ω¯A′πA′.{\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}

Esto junto con la forma de volumen holomorfa,εαβγδZαdZβ∧dZγ∧dZδ{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}es invariante bajo el grupo SU(2,2), un recubrimiento cuádruple del grupo conforme C(1,3) del espaciotiempo de Minkowski compactificado.

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con los subespacios del espacio de twistores a través de la relación de incidencia.

ωA=iincógnitaAA′πA′.{\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}

La relación de incidencia se conserva bajo un reescalamiento complejo general del twistor. Este escalamiento asigna una extensión de mástil, una dirección de plano de bandera y un signo espinorial al rayo .Z∈PAGT{\displaystyle \mathbf {Z} \in \mathbb {PT} }⁠ . Una traducción realincógnitaa→incógnitaa+qa{\displaystyle x^{a}\rightarrow x^{a}+q^{a}}se iráZα{\displaystyle Z^{\alpha }}invariante siempreqa{\displaystyle q^{a}}tiene la formaqa=túπ¯AπA′{\displaystyle q^{a}=u{\bar {\pi }}^{A}\pi ^{A'}}, dóndetú{\displaystyle u}es un número real, por lo que la traslación mueve el puntoincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }a algún otro punto del rayoZ{\displaystyle \mathbf {Z} }Fijar un puntoincógnita∈METRO{\displaystyle x\in M}en cambio determina una líneadoPAG1{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}enPAGT{\displaystyle \mathbb {PT} }parametrizado por ⁠πA′{\displaystyle \pi _{A'}}⁠ . Siincógnita∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }, entoncesZαZ¯α{\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}necesariamente se desvanece y la correspondiente línea proyectiva compleja se encuentra dentro del espacio pentadimensional de twistores nulos.PAGnorte{\displaystyle \mathbb {PN} }Para twistores no nulosZαZ¯α{\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}no es nulo, por lo que no existen soluciones reales. Los twistores no nulos tienen una interpretación física como partículas sin masa con espín. No están localizados en el espacio-tiempo, ya que no se distingue ningún rayo que pueda considerarse la línea de universo de la partícula.

Variaciones

Supertwistors

Los supertwistors son una extensión supersimétrica de los twistors introducida por Alan Ferber en 1978. [ 45 ] El espacio twistor no proyectivo se extiende mediante coordenadas fermiónicas dondenorte{\displaystyle {\mathcal {N}}}es el número de supersimetrías de modo que un twistor ahora viene dado por(ωA,πA′,ηi),i=1,…,norte{\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}conηi{\displaystyle \eta ^{i}}anticonmutativo. El grupo superconforme SU(2,2 |norte{\displaystyle {\mathcal {N}}}) actúa naturalmente sobre este espacio y una versión supersimétrica de la transformada de Penrose lleva clases de cohomología en el espacio supertwistor a multipletes supersimétricos sin masa en el espacio super Minkowski.norte{\displaystyle {\mathcal {N}}}El caso = 4 proporciona el objetivo para la cuerda twistor original de Penrose y elnorte=8{\displaystyle {\mathcal {N}}=8}El caso es el de la generalización de la supergravedad de Skinner.

Generalización en dimensiones superiores de la correspondencia de Klein

J. Harnad y S. Shnider desarrollaron una generalización de dimensión superior de la correspondencia de Klein subyacente a la teoría de twistores, aplicable a subespacios isotrópicos del espacio de Minkowski conformemente compactificado (complexificado) y sus extensiones de superespacio. [ 6 ] [ 7 ]

Variedades hiperkähler

Variedades hiperkähler de dimensión4k{\displaystyle 4k}También admiten una correspondencia twistor con un espacio twistor de dimensión compleja.2k+1{\displaystyle 2k+1}. [ 46 ]

Teoría del twistor palaciego

La construcción del gravitón no lineal codifica solo campos anti-autoduales, es decir, zurdos. [ 10 ] Un primer paso hacia el problema de modificar el espacio twistor para codificar un campo gravitatorio general es la codificación de campos diestros . Infinitesimalmente, estos se codifican en funciones twistor o clases de cohomología de homogeneidad −6. La tarea de usar tales funciones twistor de una manera completamente no lineal para obtener un gravitón no lineal diestro se ha denominado el problema ( gravitacional ) googly . [ 47 ] (La palabra " googly " es un término usado en el juego de cricket para una bola lanzada con helicidad diestra usando la acción aparente que normalmente daría lugar a helicidad zurda). La propuesta más reciente en esta dirección por Penrose en 2015 se basó en geometría no conmutativa en el espacio twistor y se denominó teoría palatial twistor . [ 48 ] La teoría recibe su nombre del Palacio de Buckingham , donde Michael Atiyah [ 49 ] sugirió a Penrose el uso de un tipo de " álgebra no conmutativa ", un componente importante de la teoría. (La estructura de twistores subyacente en la teoría de twistores palaciales no se modeló en el espacio de twistores, sino en el álgebra cuántica de twistores holomorfa no conmutativa ).

Véase también

Notas

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  2. 1 2 Maciej Dunajski. "Teoría de twistores y ecuaciones diferenciales" (PDF) . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 42 (2009). University of Cambridge : IOP Publishing Ltd. doi : 10.1088 /1751-8113/42/40/404004 . 1. Introducción La teoría de twistores fue creada por Penrose [19] en 1967. La motivación original fue unificar la relatividad general y la mecánica cuántica en una teoría no local basada en números complejos.
  3. 1 2 3 Frauendiener, J; Penrose, R. (2001). "Twistors and General Relativity." . En Engquist, B. ; Schmid, W. (eds.). Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond (1.ª ed.). University of Otago , University of Oxford : Springer, Berlín, Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-642-56478-9_24 . ISBN  978-3-642-56478-9Las motivaciones básicas que subyacen a la teoría de los twistores apuntan a encontrar una unión adecuada entre los principios de la mecánica cuántica y las nociones de geometría espacio-temporal de la física de la relatividad. Sin embargo , la teoría de los twistores no debe considerarse una aproximación a la "gravedad cuántica" en el sentido habitual en que se utiliza dicho término.
  4. 1 2 Penrose, R.; MacCallum, MAH (1973). "Teoría de twistores: Un enfoque para la cuantización de campos y espacio-tiempo". Physics Reports . 6 (4): 241– 315. Bibcode : 1973PhR.....6..241P . doi : 10.1016/0370-1573(73)90008-2 . La teoría de twistores ofrece un nuevo enfoque, partiendo de conceptos conformemente invariantes, para la síntesis de la teoría cuántica y la relatividad.
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