Politopo uniforme de 5 elementos

En geometría , un politopo uniforme de 5 dimensiones es un politopo uniforme de cinco dimensiones . Por definición, un politopo uniforme de 5 dimensiones es transitivo en los vértices y se construye a partir de facetas de politopos uniformes de 4 dimensiones .

Aún no se ha determinado el conjunto completo de 5-politopos uniformes convexos , pero muchos pueden construirse mediante construcciones de Wythoff a partir de un pequeño conjunto de grupos de simetría . Estas operaciones de construcción están representadas por las permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter .

• Politopos regulares : (caras convexas)
  • 1852 : Ludwig Schläfli demostró en su manuscrito Theorie der vielfachen Kontinuität que existen exactamente 3 politopos regulares en 5 o más dimensiones .
• Politopos semirregulares convexos : (Varias definiciones anteriores a la categoría uniforme de Coxeter )
  • 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares no prismáticos con facetas regulares ( politopos regulares convexos de 4 dimensiones ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones . ^{[ 1 ]}
• Politopos uniformes convexos :
  • 1940-1988 : La búsqueda fue ampliada sistemáticamente por HSM Coxeter en su publicación Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III .
  • 1966 : Norman W. Johnson completó su tesis doctoral bajo la dirección de Coxeter, titulada " La teoría de los politopos y panales uniformes" , en la Universidad de Toronto.
• Politopos uniformes no convexos :
  • 1966 : Johnson describe dos antiprismas uniformes no convexos en el espacio 5-dimensional en su disertación. ^{[ 2 ]}
  • 2000-2024 : Jonathan Bowers y otros investigadores buscan otros 5-politopos uniformes no convexos, ^{[ 3 ]} con un recuento actual de 1333 5-politopos uniformes conocidos fuera de familias infinitas (convexos y no convexos), excluyendo los prismas de los 4-politopos uniformes. No se ha demostrado que la lista sea completa. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los 5-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s}, con s facetas de 4-politopos {p,q,r} alrededor de cada cara . Hay exactamente tres de estos politopos regulares, todos convexos:

• {3,3,3,3} - 5-símplex
• {4,3,3,3} - cubo de 5
• {3,3,3,4} - 5-ortoplexo

No existen politopos regulares no convexos en 5 dimensiones o más.

Se conocen 104 politopos uniformes convexos de 5 miembros, además de varias familias infinitas de prismas duoprismáticos y duoprismas de polígono-poliedro. Todos, excepto el gran antiprisma, se basan en construcciones de Wythoff , con simetría de reflexión generada mediante grupos de Coxeter .

Simetría de politopos uniformes de 5 miembros en cuatro dimensiones

El 5-símplex es la forma regular en la familia A _{5. El} 5-cubo y el 5-ortoplexo son las formas regulares en la familia B _5. El grafo bifurcado de la familia D ₅ contiene el 5-ortoplexo , así como un 5-demicube que es un 5-cubo alternado .

Cada politopo 5-uniforme reflectante puede construirse en uno o más grupos puntuales reflectantes en 5 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos de simetría pueden agruparse, como se observa mediante nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,b,a] poseen una simetría extendida, [[ a,b,b,a]], como [3,3,3,3], duplicando el orden de simetría. Los politopos uniformes en estos grupos con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.

Si todos los espejos de un color determinado están desactivados (inactivos) en un politopo uniforme dado, este tendrá una construcción de menor simetría al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color determinado están activados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo politopo de 5 miembros con simetría quiral, representado por nodos "vacíos" rodeados de círculos, pero la geometría generalmente no es ajustable para crear soluciones uniformes.

Familias fundamentales ^{[ 7 ]}

prismas uniformes

Hay 5 familias prismáticas uniformes categóricas finitas de politopos basadas en los 4-politopos uniformes no prismáticos . Hay una familia infinita de 5-politopos basada en prismas de los duoprismas uniformes {p}×{q}×{ }. 

duoprismas uniformes

Hay 3 familias duoprismáticas uniformes categóricas de politopos basadas en productos cartesianos de los poliedros uniformes y polígonos regulares : { q , r }×{ p }.

La construcción de los politopos uniformes reflectantes de 5 dimensiones se realiza mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representa mediante un diagrama de Coxeter , donde cada nodo representa un espejo. Los nodos están anillados para indicar qué espejos están activos. El conjunto completo de politopos uniformes generados se basa en las permutaciones únicas de los nodos anillados. Los politopos uniformes de 5 dimensiones se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden tener dos formas de nombrarlos.

Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 5-politopos uniformes.

La última operación, el snub, y más generalmente la alternancia, son las que pueden crear formas no reflectantes. Estas se representan con "anillos huecos" en los nodos.

Las formas prismáticas y los grafos bifurcados pueden usar la misma notación de indexación por truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.

Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales y 13 grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Existen tres panales regulares en el espacio euclidiano de 4 dimensiones:

• panal teseractico , con símbolos {4,3,3,4}, = . Hay 19 panales uniformes en esta familia.
• Panal de 24 celdas , con símbolos {3,4,3,3} . Hay 31 panales uniformes reflectantes en esta familia y una forma alternada.
  • Panal truncado de 24 celdas con símbolos t{3,4,3,3},
  • Panal de abeja truncado de 24 celdas , con símbolos s{3,4,3,3}, y construido por cuatro truncados de 24 celdas , uno de 16 celdas y cinco de 5 celdas en cada vértice.
• Panal de abeja de 16 celdas , con símbolos {3,3,4,3},

Otras familias que generan panales uniformes:

• Hay 23 formas anilladas únicas, 8 nuevas en la familia de panal de 16 celdas . Con los símbolos h{4,3 ² ,4} es geométricamente idéntico al panal de 16 celdas , =
• Hay 7 formas anilladas únicas de la${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$, familia, todo nuevo, incluyendo:
  • Panal de abejas de 4 simples
  • Panal truncado de 4 simples
  • Panal de abeja omnitruncado de 4 simples
• Hay 9 formas anilladas únicas en el${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$: [3 ^1,1,1,1 ] familia, dos nuevas, incluyendo el panal teseractico de cuarto , = , y el panal teseractico bitruncado , = .

También existen teselaciones uniformes no wythoffianas en el espacio de 4 dimensiones mediante elongación (inserción de capas) y giro (rotación de capas) a partir de estas formas reflectantes.

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900 (3 politopos regulares y uno semirregular de 4 dimensiones)
• A. Boole Stott (1910). "Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos de espacios" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . XI (1). Ámsterdam: Johannes Müller. Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2025.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973 (pág.  297 Regiones fundamentales para grupos irreducibles generados por reflexiones, esféricas y euclidianas)
  • HSM Coxeter, La belleza de la geometría: doce ensayos (Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, Tablas resumen IV, pág. 213)
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591] (pág.  287 Grupos euclidianos 5D, pág. 298 Panales de abeja de cuatro dimensiones)
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966.
• James E. Humphreys, Grupos de reflexión y grupos de Coxeter , Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge, 29 (1990) (Página 141, 6.9 Lista de grupos hiperbólicos de Coxeter, figura 2) Google Books

• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (polytera)" .– Incluye formas no convexas, así como las construcciones duplicadas de las familias B ₅ y D _5.