politopo uniforme

Los n-politopos regulares tienen n órdenes de rectificación . La rectificación cero es la forma original. La rectificación ( n -1) es la dual . Una rectificación reduce aristas a vértices, una birectificación reduce caras a vértices, una trirectificación reduce celdas a vértices, una cuadirectificación reduce caras de 4 elementos a vértices, una quintirectificación reduce caras de 5 elementos a vértices, y así sucesivamente.

Se puede utilizar un símbolo Schläfli extendido para representar formas rectificadas, con un único subíndice:

• k -ésima rectificación = t _k {p ₁ , p ₂ , ..., p _n−1 } = k r .

Operaciones de truncamiento que se pueden aplicar a n -politopos regulares en cualquier combinación. El diagrama de Coxeter resultante tiene dos nodos anillados, y la operación se denomina según la distancia entre ellos. El truncamiento corta vértices, la cantelación corta aristas, la runcinación corta caras y la esterificación corta celdas. Cada operación de orden superior también corta las de orden inferior, por lo que una cantelación también trunca vértices.

1. t _0,1 o t : Truncamiento : se aplica a polígonos y figuras de mayor tamaño. Un truncamiento elimina vértices e inserta una nueva faceta en lugar de cada vértice anterior. Las caras se truncan, duplicando sus aristas. (El término, acuñado por Kepler , proviene del latín truncare , que significa "cortar").

   

   • También existen truncamientos superiores: bitruncación t _1,2 o 2t , tritruncación t _2,3 o 3t , cuadritruncación t _3,4 o 4t , quintitruncación t _4,5 o 5t , etc.
2. t _0,2 o rr : Cantelación - aplicada a poliedros y figuras de mayor tamaño. Puede considerarse como una rectificación de su propia rectificación . Una cantelación trunca tanto vértices como aristas y los reemplaza con nuevas facetas. Las celdas se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, deriva del verbo «cant» , como «bevel» , que significa cortar con una cara inclinada).

   

   • También existen cantelaciones superiores: bicantelación t _1,3 o r2r , tricantelación t _2,4 o r3r , cuadricantelación t _3,5 o r4r , etc.
   • t _0,1,2 o tr : Cantitruncación - aplicada a poliedros y figuras de orden superior. Puede considerarse como la truncación de su rectificación . Una cantitruncación trunca tanto vértices como aristas y los reemplaza con nuevas facetas. Las celdas se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (El término compuesto combina cantelación y truncación).
     • También existen cantelaciones superiores: bicantitruncación t _1,2,3 o t2r , tricantitruncación t _2,3,4 o t3r , cuadricantitruncación t _3,4,5 o t4r , etc.
3. t _0,3 : Runcinación - aplicada a politopos uniformes de 4 lados y superiores. La runcinación trunca vértices, aristas y caras, reemplazándolos con nuevas facetas. Las caras de 4 lados se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, deriva del latín runcina , que significa " plano de carpintero ").
   • También existen runcinaciones superiores: biruncinación t _1,4 , triruncinación t _2,5 , etc.
4. t _0,4 o 2r2r : Estericación : se aplica a politopos uniformes de 5 miembros o superiores. La estericación trunca vértices, aristas, caras y celdas, reemplazándolos por nuevas facetas. Las caras de 5 miembros se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, deriva del griego stereos , que significa "sólido").
   • También existen esterificaciones superiores: bisterificación t _1,5 o 2r3r , triestearificación t _2,6 o 2r4r , etc.
   • t _0,2,4 o 2t2r : Estericantelación - aplicada a politopos uniformes de 5 elementos o superiores.
     • También existen esterificaciones superiores: bistericantelación t _1,3,5 o 2t3r , tristericantelación t _2,4,6 o 2t4r , etc.
5. t _0,5 : Pentelación - aplicada a politopos uniformes de 6 caras o superiores. La pentelación trunca vértices, aristas, caras, celdas y caras de 4 caras, reemplazándolos con nuevas facetas. Las caras de 6 caras se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (El término pentelación deriva del griego pente , que significa 'cinco').
   • También existen pentelaciones superiores: bipentelación t _1,6 , tripentelación t _2,7 , etc.
6. t _0,6 o 3r3r : Hexicación : se aplica a politopos uniformes de 7 caras o superiores. La hexicación trunca vértices, aristas, caras, celdas, caras de 4 caras y caras de 5 caras, reemplazándolas por nuevas facetas. Las caras de 7 caras se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (La hexicación deriva del griego hex , que significa "seis").
   • También existen hexcationes superiores: bihexicación : t _1,7 o 3r4r , trihexicación : t _2,8 o 3r5r , etc.
   • t _0,3,6 o 3t3r : Hexiruncinado - aplicado a politopos uniformes de 7 miembros y superiores.
     • También existen hexiruncinaciones superiores: bihexiruncinado : t _1,4,7 o 3t4r , trihexiruncinado : t _2,5,8 o 3t5r , etc.
7. t _0,7 : Heptelación : se aplica a politopos uniformes de 8 caras o superiores. La heptelación trunca vértices, aristas, caras, celdas, 4 caras, 5 caras y 6 caras, reemplazándolas por nuevas facetas. Las 8 caras se reemplazan por copias topológicamente expandidas de sí mismas. (Heptelación deriva del griego hepta , 'siete').
   • También existen heptelaciones superiores: biheptelación t _1,8 , triheptelación t _2,9 , etc.
8. t _0,8 o 4r4r : Octelación - aplicada a politopos uniformes de 9 elementos y superiores.
9. t _0,9 : Enecation - aplicado a politopos uniformes de 10 elementos o superiores.

Además, se pueden realizar combinaciones de truncamientos que también generan nuevos politopos uniformes. Por ejemplo, un runcitruncamiento es una aplicación conjunta de un runcinamiento y un truncamiento .

Si se aplican todas las truncaciones a la vez, la operación puede denominarse, de forma más general, omnitruncación .

Una operación especial, llamada alternancia , elimina vértices alternos de un politopo con solo caras pares. Un politopo omnitruncado alternado se denomina truncamiento .

Los politopos resultantes siempre se pueden construir, no son reflectantes en general y tampoco suelen tener soluciones politópicas uniformes .

El conjunto de politopos formados al alternar los hipercubos se conoce como demicubos . En tres dimensiones, esto produce un tetraedro ; en cuatro dimensiones, esto produce un 16-celda , o demiteseracto .

El único politopo unidimensional es el segmento de línea. Corresponde a la familia Coxeter A ₁ .

En dos dimensiones, existe una familia infinita de politopos uniformes convexos, los polígonos regulares , cuyo más simple es el triángulo equilátero . Los polígonos regulares truncados se convierten en polígonos geométricamente cuasirregulares bicolores con el doble de lados, t{p}={2p}. Los primeros polígonos regulares (y formas cuasirregulares) se muestran a continuación:

También existe un conjunto infinito de polígonos estrellados (uno por cada número racional mayor que 2), pero estos no son convexos. El ejemplo más simple es el pentagrama , que corresponde al número racional 5/2. Los polígonos estrellados regulares, {p/q}, pueden truncarse en polígonos estrellados semirregulares, t{p/q}=t{2p/q}, pero se convierten en recubrimientos dobles si q es par. También se puede realizar un truncamiento con un polígono de orientación inversa t{p/(p−q)}={2p/(p−q)}, por ejemplo t{5/3}={10/3}.

Los polígonos regulares se representan mediante el símbolo de Schläfli {p} para un p-gono. Son autoduales, por lo que la rectificación produce el mismo polígono. La operación de truncamiento uniforme duplica los lados a {2p}. La operación de truncamiento, alternando el truncamiento, restaura el polígono original {p}. Por lo tanto, todos los polígonos uniformes son también regulares. Las siguientes operaciones se pueden realizar sobre polígonos regulares para obtener polígonos uniformes, que también son regulares:

En tres dimensiones, la situación se vuelve más interesante. Hay cinco poliedros regulares convexos, conocidos como sólidos platónicos :

Además de estos, también hay 13 poliedros semirregulares, o sólidos arquimedianos , que se pueden obtener mediante construcciones de Wythoff , o realizando operaciones como la truncación en los sólidos platónicos, como se demuestra en la siguiente tabla:

También existe el conjunto infinito de prismas , uno por cada polígono regular, y un conjunto correspondiente de antiprismas .

Los poliedros estelares uniformes incluyen otros 4 poliedros estelares regulares, los poliedros de Kepler-Poinsot y 53 poliedros estelares semirregulares. También existen dos conjuntos infinitos: los prismas estelares (uno por cada polígono estelar) y los antiprismas estelares (uno por cada número racional mayor que 3/2).

En cuatro dimensiones, hay 6 4-politopos regulares convexos , 17 prismas en los sólidos platónico y arquimediano (excluyendo el prisma cúbico, que ya se ha contado como el teseracto ), y dos conjuntos infinitos: los prismas en los antiprismas convexos y los duoprismas . También hay 41 4-politopos semirregulares convexos, incluyendo el gran antiprisma no wythoffiano y la 24-celda truncada . Ambos 4-politopos especiales están compuestos por subgrupos de los vértices de la 600-celda .

No se han enumerado todos los politopos estelares uniformes de cuatro dimensiones. Entre los que sí se han enumerado se incluyen los 10 politopos estelares regulares (de Schläfli-Hess) de cuatro dimensiones y 57 prismas sobre poliedros estelares uniformes, así como tres familias infinitas: los prismas sobre antiprismas estelares, los duoprismas formados al multiplicar dos polígonos estelares y los duoprismas formados al multiplicar un polígono ordinario por un polígono estelar. Existe un número desconocido de politopos de cuatro dimensiones que no se ajustan a las categorías anteriores; hasta la fecha se han descubierto más de mil.

Todo politopo regular puede considerarse como la imagen de una región fundamental reflejada en un pequeño número de espejos. En un politopo de cuatro dimensiones (o un panal cúbico tridimensional), la región fundamental está delimitada por cuatro espejos. Un espejo en el espacio de cuatro dimensiones es un hiperplano tridimensional , pero para nuestros propósitos resulta más conveniente considerar únicamente su intersección bidimensional con la superficie tridimensional de la hiperesfera ; de este modo, los espejos forman un tetraedro irregular .

Cada uno de los dieciséis 4-politopos regulares se genera mediante uno de los cuatro grupos de simetría, como sigue:

• grupo [3,3,3]: la 5-celda {3,3,3}, que es autodual;
• grupo [3,3,4]: {3,3,4} de 16 celdas y su teseracto dual {4,3,3};
• grupo [3,4,3]: el {3,4,3} de 24 celdas , autodual;
• grupo [3,3,5]: {3,3,5} de 600 celdas , su dual {5,3,3} de 120 celdas y sus diez estelaciones regulares.
• grupo [3 ^1,1,1 ]: contiene solo miembros repetidos de la familia [3,3,4].

(Los grupos se nombran según la notación de Coxeter ).

Ocho de los panales uniformes convexos en el espacio euclidiano tridimensional se generan de forma análoga a partir del panal cúbico {4,3,4}, aplicando las mismas operaciones utilizadas para generar los 4-politopos uniformes de Wythoff.

Para un simplex de simetría dado, se puede colocar un punto generador en cualquiera de los cuatro vértices, las seis aristas, las cuatro caras o el volumen interior. En cada uno de estos quince elementos hay un punto cuyas imágenes, reflejadas en los cuatro espejos, son los vértices de un politopo uniforme de dimensión 4.

Los símbolos Schläfli extendidos se forman con una t seguida de la inclusión de uno a cuatro subíndices 0,1,2,3. Si hay un subíndice, el punto generador está en una esquina de la región fundamental, es decir, un punto donde se encuentran tres espejos. Estas esquinas se notan como

• 0 : vértice del 4-politopo padre (centro de la celda del dual)
• 1 : centro del borde del padre (centro de la cara del dual)
• 2 : centro de la cara del padre (centro del borde del dual)
• 3 : centro de la celda del padre (vértice del dual)

(Para los dos 4-politopos autoduales, "dual" significa un 4-politopo similar en posición dual). Dos o más subíndices significan que el punto generador está entre las esquinas indicadas.

En cinco dimensiones o más, existen tres politopos regulares: el hipercubo , el simplex y el politopo cruzado . Estos son generalizaciones del cubo, el tetraedro y el octaedro tridimensionales, respectivamente. No existen politopos estrellados regulares en estas dimensiones. La mayoría de los politopos uniformes de dimensiones superiores se obtienen modificando los politopos regulares o calculando el producto cartesiano de politopos de dimensiones inferiores.

En seis, siete y ocho dimensiones, entran en juego los excepcionales grupos de Lie simples , E ₆ , E ₇ y E ₈ . Al colocar anillos en un número distinto de cero de nodos de los diagramas de Coxeter , se pueden obtener 39 nuevos politopos de 6 dimensiones, 127 nuevos politopos de 7 dimensiones y 255 nuevos politopos de 8 dimensiones. Un ejemplo notable es el politopo 4 ₂₁ .