Politopo 8 uniforme

En geometría de ocho dimensiones , un politopo de ocho dimensiones o 8-politopo es un politopo contenido en facetas de 7 politopos. Cada cresta de 6 politopos es compartida por exactamente dos facetas de 7 politopos .

Un 8-politopo uniforme es uno que es transitivo por vértice y está construido a partir de facetas de 7-politopo uniforme .

Los 8-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u,v}, con v {p,q,r,s,t,u} facetas de 7-politopos alrededor de cada pico .

Hay exactamente tres de estos 8-politopos convexos regulares :

1. {3,3,3,3,3,3,3} - 8-símplex
2. {4,3,3,3,3,3,3} - 8 cubos
3. {3,3,3,3,3,3,4} - 8-ortoplex

No existen 8-politopos regulares no convexos.

La topología de cualquier 8-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . ^[1]

El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 8-politopos, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. ^[1]

De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. ^[1]

Se pueden generar 8-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :

Los 8-politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:

1. Familia simplex : A ₈ [3 ⁷ ] -
   • 135 8-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluido uno regular:
     1. {3 ⁷ } - 8-símplex o enea-9-topo o eneazetton -
2. Familia de hipercubos / ortoplex : B ₈ [4,3 ⁶ ] -
   • 255 8-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos dos regulares:
     1. {4,3 ⁶ } - 8-cubo u octágono -
     2. {3 ⁶ ,4} - 8-ortoplex u octacruz -
3. Familia de semihipercubos D ₈ : [3 ^5,1,1 ] -
   • 191 8-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos:
     1. {3,3 ^5,1 } - 8-demicubo o demiocteracto , 1 ₅₁ -; también como h{4,3 ⁶ }.
     2. {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } - 8-ortoplex , 5 ₁₁ -
4. Familia de politopos E Familia E ₈ : [3 ^4,1,1 ] -
   • 255 8-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos:
     1. {3,3,3,3,3 ^2,1 } - Semirregular de Thorold Gosset 4 ₂₁ ,
     2. {3,3 ^4,2 } - el uniforme 1 ₄₂ ,,
     3. {3,3,3 ^4,1 } - el uniforme 2 ₄₁ ,

Existen muchas familias prismáticas uniformes , entre ellas:

La familia A8 _tiene simetría de orden 362880 ( factorial 9 ).

Existen 135 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos (128+8-1 casos). Todas ellas se enumeran a continuación. Los acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.

Consulte también una lista de politopos 8-símplex para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.

La familia B ₈ tiene simetría de orden 10321920 (8 factorial x 2 ⁸ ). Hay 255 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.

Consulte también una lista de politopos B8 para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.

The D₈ family has symmetry of order 5,160,960 (8 factorial x 2⁷).

This family has 191 Wythoffian uniform polytopes, from 3x64-1 permutations of the D₈ Coxeter-Dynkin diagram with one or more rings. 127 (2x64-1) are repeated from the B₈ family and 64 are unique to this family, all listed below.

See list of D8 polytopes for Coxeter plane graphs of these polytopes.

The E₈ family has symmetry order 696,729,600.

There are 255 forms based on all permutations of the Coxeter-Dynkin diagrams with one or more rings. Eight forms are shown below, 4 single-ringed, 3 truncations (2 rings), and the final omnitruncation are given below. Bowers-style acronym names are given for cross-referencing.

See also list of E8 polytopes for Coxeter plane graphs of this family.

There are five fundamental affine Coxeter groups that generate regular and uniform tessellations in 7-space:

Regular and uniform tessellations include:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ 29 uniquely ringed forms, including:
  • 7-simplex honeycomb: {3^[8]}
• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ 135 uniquely ringed forms, including:
  • Regular 7-cube honeycomb: {4,3⁴,4} = {4,3⁴,3^1,1}, =
• ${\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$ 191 uniquely ringed forms, 127 shared with ${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$, and 64 new, including:
  • 7-demicube honeycomb: h{4,3⁴,4} = {3^1,1,3⁴,4}, =
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{7}}$, [3^1,1,3³,3^1,1]: 77 unique ring permutations, and 10 are new, the first Coxeter called a quarter 7-cubic honeycomb.
  • , , , , , , , , ,
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ 143 uniquely ringed forms, including:
  • 1₃₃ honeycomb: {3,3^3,3},
  • 3₃₁ honeycomb: {3,3,3,3^3,1},

There are no compact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, groups that can generate honeycombs with all finite facets, and a finite vertex figure. However, there are 4 paracompact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, each generating uniform honeycombs in 7-space as permutations of rings of the Coxeter diagrams.

• T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley::Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "8D uniform polytopes (polyzetta)".

• Polytope names
• Polytopes of Various Dimensions
• Multi-dimensional Glossary