Variedad racional

En matemáticas , una variedad racional es una variedad algebraica , sobre un cuerpo dado K , que es birracionalmente equivalente a un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre K. Esto significa que su cuerpo de funciones es isomorfo a

${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ puntos, U_ {d}),}$

el campo de todas las funciones racionales para algún conjunto${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{d}\}}$de indeterminadas , donde d es la dimensión de la variedad.

Sea V una variedad algebraica afín de dimensión d definida por un ideal primo I  =  ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ en${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$. Si V es racional, entonces hay n  +  1 polinomios g ₀ , ..., g _n en${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ puntos, U_ {d})}$de tal manera que${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$En otras palabras, tenemos unparametrización racional${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$de la variedad.

Por el contrario, dicha parametrización racional induce un homomorfismo de campo del campo de funciones de V en${\ Displaystyle K (U_ {1}, \ puntos, U_ {d})}$Pero este homomorfismo no es necesariamente sobreyectivo . Si existe tal parametrización, se dice que la variedad es uniracional . El teorema de Lüroth (véase más abajo) implica que las curvas uniracionales son racionales. El teorema de Castelnuovo también implica que, en característica cero, toda superficie uniracional es racional.

Una cuestión de racionalidad plantea si una extensión de campo dada es racional , en el sentido de ser (salvo isomorfismo) el cuerpo de funciones de una variedad racional; tales extensiones de campo también se describen como puramente trascendentales . Más precisamente, la cuestión de racionalidad para la extensión de campo${\displaystyle K\subset L}$es esto: es${\displaystyle L}$isomorfo a un campo de funciones racionales sobre${\displaystyle K}$¿en el número de indeterminados dado por el grado de trascendencia ?

Existen varias variaciones diferentes de esta pregunta, que surgen de la forma en que los campos${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$se construyen.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle K}$sea ​​un campo, y que

${\displaystyle \{y_{1},\dots,y_{n}\}}$

Sean indeterminadas sobre K y sea L el cuerpo generado sobre K por ellas. Consideremos un grupo finito.${\displaystyle G}$permutando esas indeterminadas sobre K. Por la teoría de Galois estándar , el conjunto de puntos fijos de esta acción de grupo es un subcampo de${\displaystyle L}$, típicamente denotado${\displaystyle L^{G}}$. La cuestión de la racionalidad para${\displaystyle K\subset L^{G}}$Se denomina problema de Noether y pregunta si este campo de puntos fijos es o no una extensión puramente trascendental de K. En el artículo ( Noether 1918 ) sobre la teoría de Galois, estudió el problema de parametrizar las ecuaciones con un grupo de Galois dado , que redujo al "problema de Noether". (Mencionó este problema por primera vez en ( Noether 1913 ) donde se lo atribuyó a E. Fischer). Demostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. RG Swan ( 1969 ) encontró un contraejemplo al problema de Noether, con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47. 

Un caso célebre es el problema de Lüroth , que Jacob Lüroth resolvió en el siglo XIX. El problema de Lüroth trata sobre subextensiones L de K ( X ), las funciones racionales en la única indeterminada X. Cualquier cuerpo de este tipo es igual a K o también es racional, es decir, L = K ( F ) para alguna función racional F. En términos geométricos, esto significa que una aplicación racional no constante de la recta proyectiva a una curva C solo puede ocurrir cuando C también tiene género 0. Este hecho se puede deducir geométricamente de la fórmula de Riemann-Hurwitz .

Una variedad uniracional V sobre un cuerpo K es una dominada por una variedad racional, de modo que su cuerpo de funciones K ( V ) se encuentra en un cuerpo trascendental puro de tipo finito (que puede elegirse de grado finito sobre K ( V ) si K es infinito). La solución del problema de Lüroth muestra que para curvas algebraicas, racional y uniracional son lo mismo, y el teorema de Castelnuovo implica que para superficies complejas uniracional implica racional, porque ambas se caracterizan por la anulación tanto del género aritmético como del segundo plurigénero . Zariski encontró algunos ejemplos ( superficies de Zariski ) en característica p  >  0 que son uniracionales pero no racionales. Clemens y Griffiths (1972) mostraron que una variedad cúbica de tres dimensiones no es en general una variedad racional, proporcionando un ejemplo para tres dimensiones de que la uniracionalidad no implica racionalidad. Su trabajo utilizó un jacobiano intermedio . Iskovskih y Manin (1971) demostraron que todas las variedades cuárticas tridimensionales no singulares son irracionales, aunque algunas de ellas son uniracionales. Artin y Mumford (1972) hallaron algunas variedades tridimensionales uniracionales con torsión no trivial en su tercer grupo de cohomología, lo que implica que no son racionales.

Para cualquier cuerpo K , János Kollár demostró en 2000 que una hipersuperficie cúbica lisa de dimensión al menos 2 es uniracional si tiene un punto definido sobre K. Esto supone una mejora de muchos resultados clásicos, empezando por el caso de las superficies cúbicas (que son variedades racionales sobre una clausura algebraica ). Otros ejemplos de variedades que se ha demostrado que son uniracionales son muchos casos del espacio de módulos de curvas. ^{[ 1 ]}

Una variedad racionalmente conexa V es una variedad algebraica proyectiva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tal que por cada par de puntos pasa la imagen de una aplicación regular de la recta proyectiva a V. De forma equivalente, una variedad es racionalmente conexa si cada par de puntos está conectado por una curva racional contenida en la variedad. ^{[ 2 ]}

Esta definición difiere de la de conectividad de caminos únicamente por la naturaleza del camino, pero es muy diferente, ya que las únicas curvas algebraicas que están conectadas racionalmente son las racionales.

Toda variedad racional, incluidos los espacios proyectivos , es racionalmente conexa, pero lo contrario es falso. Por lo tanto, la clase de variedades racionalmente conexas es una generalización de la clase de variedades racionales. Las variedades uniracionales son racionalmente conexas, pero se desconoce si lo contrario es cierto.

Una variedad V se denomina racional estable si${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{m}}$es racional para algunos${\displaystyle m\geq 0}$Por definición, cualquier variedad racional es establemente racional. Sin embargo, los ejemplos elaborados por Beauville et al. (1985) demuestran que lo contrario es falso.

Schreieder (2019) demostró que hipersuperficies muy generales${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$no son racionales estables, siempre que el grado de V sea al menos${\displaystyle \log _{2}N+2}$.

• Curva racional
• Superficie racional
• variedad Severi-Brauer
• Geometría birracional

• Artin, Michael ; Mumford, David (1972), "Algunos ejemplos elementales de variedades uniracionales que no son racionales", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 25 : 75–95 , CiteSeerX 10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112/plms/s3-25.1.75 , ISSN 0024-6115 , MR 0321934   
• Beauville, Arnaud ; Colliot-Thélène, Jean-Louis ; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics , segunda serie, 121 (2): 283– 318, doi : 10.2307/1971174 , JSTOR 1971174 , SEÑOR 0786350  
• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), "El jacobiano intermedio de la variedad cúbica tridimensional", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 95 (2): 281–356 , CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970801 , MR 0302652    
• Iskovskih, VA; Manin, Ju. I. (1971), "Cuárticas tridimensionales y contraejemplos al problema de Lüroth", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 86 (1): 140– 166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070/SM1971v015n01ABEH001536 , MR 0291172 
• Kollár, János ; Smith, Karen E.; Corti , Alessio (2004), Rational and almost rational variety , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  92, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787 
• Noether, Emmy (1913), "Rationale Funktionenkörper", J. Ber. D. DMV , 22 : 316-319.
• Noether, Emmy (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen , 78 ( 1– 4): 221– 229, doi : 10.1007/BF01457099 , S2CID 122353858 .
• Swan, RG (1969), "Funciones racionales invariantes y un problema de Steenrod", Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148– 158, Bibcode : 1969InMat...7..148S , doi : 10.1007/BF01389798 , S2CID 121951942 
• Martinet, J. (1971), "Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);", Séminaire Bourbaki. vol. 1969/70: Exposés 364–381 , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0272580 
• Schreieder, Stefan (2019), "Hipersuperficies establemente irracionales de pendientes pequeñas", Journal of the American Mathematical Society , 32 (4): 1171–1199 , arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090/jams/928 , S2CID 119326067