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Álgebra universal

El álgebra universal (a veces llamada álgebra general ) es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en general, no tipos específicos de estructuras alg...

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El álgebra universal (a veces llamada álgebra general ) es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en general, no tipos específicos de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de considerar grupos o anillos como objeto de estudio —que es el tema de la teoría de grupos y la teoría de anillos— , en el álgebra universal el objeto de estudio son los posibles tipos de estructuras algebraicas y sus relaciones.

Idea básica

En álgebra universal, unEl álgebra (oestructura algebraica) es unconjuntoAjunto con una colección de operacionessobre A.

Aridad

Una operación n - aria en A es una función que toma n elementos de A y devuelve un único elemento de A. Por lo tanto, una operación 0-aria (o nula ) puede representarse simplemente como un elemento de A o una constante , a menudo denotada por una letra como a . Una operación 1-aria (o unaria ) es simplemente una función de A a A , a menudo denotada por un símbolo colocado delante de su argumento, como ~ x . Una operación 2-aria (o binaria ) a menudo se denota por un símbolo colocado entre sus argumentos (también llamada notación infija ), como x  ∗ y . Las operaciones de aridad superior o no especificada generalmente se denotan por símbolos de función, con los argumentos colocados entre paréntesis y separados por comas, como f ( x , y , z ) o f ( x 1 ,..., x n ). Una forma de hablar de un álgebra, entonces, es referirnos a ella como un álgebra de un cierto tipo Ω, donde Ω es una secuencia ordenada de números naturales que representa la aridad de las operaciones del álgebra. Sin embargo, algunos investigadores también permiten operaciones infinitas , como ⋀α∈Jincógnitaα{\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}donde J es un conjunto de índices infinito , que es una operación en la teoría algebraica de retículos completos .

Ecuaciones

Una vez especificadas las operaciones, el álgebra se define mediante axiomas , que en el álgebra universal suelen adoptar la forma de identidades o leyes de igualdad. Un ejemplo es el axioma asociativo para una operación binaria, dado por la ecuación x  ∗  ( y  ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . Este axioma se considera válido para todos los elementos x , y , y z del conjunto A .      

Variedades

Un conjunto de estructuras algebraicas definidas por identidades se denomina variedad o clase ecuacional .

Limitar el estudio a las variedades excluye:

El estudio de las clases de ecuaciones puede considerarse una rama especial de la teoría de modelos , que normalmente se ocupa de estructuras que solo tienen operaciones (es decir, el tipo puede tener símbolos para funciones pero no para relaciones distintas de la igualdad), y en la que el lenguaje utilizado para hablar de estas estructuras utiliza únicamente ecuaciones.

No todas las estructuras algebraicas en un sentido amplio entran dentro de este ámbito. Por ejemplo, los grupos ordenados implican una relación de orden, por lo que no se incluirían en este ámbito.

La clase de campos no es una clase ecuacional porque no existe un tipo (o "firma") en el que todas las leyes de campo puedan escribirse como ecuaciones (los inversos de los elementos están definidos para todos los elementos distintos de cero en un campo, por lo que no se puede añadir la inversión al tipo).

Una ventaja de esta restricción es que las estructuras estudiadas en álgebra universal pueden definirse en cualquier categoría que tenga productos finitos . Por ejemplo, un grupo topológico es simplemente un grupo en la categoría de espacios topológicos .

Ejemplos

La mayoría de los sistemas algebraicos habituales de las matemáticas son ejemplos de variedades, pero no siempre de forma obvia, ya que las definiciones habituales suelen implicar cuantificación o desigualdades.

Grupos

Como ejemplo, consideremos la definición de un grupo . Normalmente, un grupo se define en términos de una única operación binaria ∗, sujeta a los siguientes axiomas:

  • Asociatividad (como en la sección anterior ): x  ∗  ( y  ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z ; formalmente: ∀ x , y , z . x ∗( y ∗ z )=( x ∗ y )∗ z .         
  • Elemento identidad : Existe un elemento e tal que para cada elemento x , se tiene e  ∗ x = x = x ∗ e ; formalmente: ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .          
  • Elemento inverso : El elemento identidad es fácilmente visible como único y se suele denotar por e . Entonces, para cada x , existe un elemento i tal que x  ∗ i = e = i ∗ x ; formalmente: ∀ x ∃ i . x ∗ i = e = i ∗ x .            

(Algunos autores también utilizan el axioma de " cierre " que establece que x  ∗ y pertenece a A siempre que x e y pertenezcan a A, pero aquí esto ya está implícito al llamar a ∗ una operación binaria). 

Esta definición de grupo no se ajusta inmediatamente al punto de vista del álgebra universal, porque los axiomas del elemento identidad y la inversión no se expresan únicamente en términos de leyes de igualdad que se cumplen universalmente "para todos  los elementos...", sino que también implican el cuantificador existencial "existe  ...". Los axiomas de grupo pueden formularse como ecuaciones cuantificadas universalmente especificando, además de la operación binaria ∗, una operación nula e y una operación unaria ~, donde ~ x se suele escribir como x −1 . Los axiomas se convierten en:

  • Asociatividad: x ∗ ( y ∗ z )  =  ( x ∗ y ) ∗ z .
  • Elemento identidad: e ∗ x  =  x  =  x ∗ e .
  • Elemento inverso: x ∗ (~ x )  =  e  =  (~ x ) ∗ x .

En resumen, la definición habitual es la siguiente:

  • una única operación binaria ( firma (2))
  • 1. Ley de la ecuación (asociatividad)
  • 2 leyes cuantificadas (identidad e inversa)

mientras que la definición de álgebra universal tiene:

  • 3 operaciones: una binaria, una unaria y una nula ( firma (2, 1, 0) )
  • 3 leyes de igualdad (asociatividad, identidad e inversa)
  • No existen leyes cuantificadas (excepto los cuantificadores universales más externos, que están universalmente implícitos para todas las variables en las variedades).

Un punto clave es que las operaciones adicionales no añaden información, sino que se derivan de forma unívoca de la definición habitual de un grupo. Si bien la definición habitual no especificaba de forma unívoca el elemento identidad e , un ejercicio sencillo demuestra que sí lo es, al igual que el inverso de cada elemento.

El punto de vista del álgebra universal se adapta bien a la teoría de categorías. Por ejemplo, al definir un objeto de grupo en la teoría de categorías, donde el objeto en cuestión puede no ser un conjunto, se deben usar leyes de igualdad (que tienen sentido en categorías generales), en lugar de leyes cuantificadas (que se refieren a elementos individuales). Además, el inverso y la identidad se especifican como morfismos en la categoría. Por ejemplo, en un grupo topológico , el inverso no solo debe existir elemento a elemento, sino que debe dar una aplicación continua (un morfismo). Algunos autores también requieren que la aplicación identidad sea una inclusión cerrada (una cofibración ).

Otros ejemplos

La mayoría de las estructuras algebraicas son ejemplos de álgebras universales.

Algunos ejemplos de álgebras relacionales son las semirretículas , las retículas y las álgebras booleanas .

Construcciones básicas

Suponemos que el tipo, Ω, está fijado. Entonces, existen tres construcciones básicas en álgebra universal: imagen homomórfica, subálgebra y producto.

Un homomorfismo entre dos álgebras A y B es una función h  : A → B del conjunto A al conjunto B tal que, para cada operación f A de A y su correspondiente f B de B (de aridad, digamos, n ), h ( f A ( x 1 , ..., x n ))  = f B ( h ( x 1 ), ..., h ( x n )). (A veces se omiten los subíndices de f cuando el contexto deja claro a qué álgebra pertenece la función). Por ejemplo, si e es una constante (operación nula), entonces h ( e A )  = e B . Si ~ es una operación unaria, entonces h (~ x ) = ~ h ( x ). Si ∗ es una operación binaria, entonces h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). Y así sucesivamente. Algunas de las cosas que se pueden hacer con los homomorfismos, así como las definiciones de ciertos tipos especiales de homomorfismos, se enumeran en Homomorfismo . En particular, podemos tomar la imagen homomórfica de un álgebra, h ( A ).       

Una subálgebra de A es un subconjunto de A que es cerrado bajo todas las operaciones de A. Un producto de un conjunto de estructuras algebraicas es el producto cartesiano de los conjuntos con las operaciones definidas coordenada por coordenada.

Algunos teoremas básicos

Motivaciones y aplicaciones

Además de su enfoque unificador, el álgebra universal también ofrece teoremas profundos, ejemplos importantes y contraejemplos. Proporciona un marco útil para quienes desean iniciar el estudio de nuevas clases de álgebras. Permite aplicar métodos desarrollados para ciertas clases de álgebras a otras, reformulándolos en términos del álgebra universal (si es posible) e interpretándolos posteriormente en función de su aplicación a otras clases. Asimismo, ha aportado claridad conceptual; como afirma J. D. H. Smith: «Lo que parece confuso y complicado en un marco particular puede resultar simple y evidente en el marco general adecuado».

En particular, el álgebra universal se puede aplicar al estudio de monoides , anillos y retículos . Antes de la llegada del álgebra universal, muchos teoremas (sobre todo los teoremas de isomorfismo ) se demostraban por separado en cada una de estas clases, pero con el álgebra universal, se pueden demostrar de una vez por todas para cualquier tipo de sistema algebraico.

Un artículo de Higgins de 1956 construyó un marco para una serie de sistemas algebraicos particulares. [ 1 ] Su artículo de 1963 es notable por su análisis de álgebras con operaciones parciales , [ 2 ] ejemplos típicos de esto son las categorías y los grupoides. Una generalización adicional es el tema del álgebra de dimensiones superiores , que puede definirse como el estudio de teorías algebraicas con operaciones parciales cuyos dominios se definen bajo condiciones geométricas. Ejemplos notables de esto son diversas formas de categorías y grupoides de dimensiones superiores.

Problema de satisfacción de restricciones

El álgebra universal proporciona un lenguaje natural para el problema de satisfacción de restricciones (CSP) . El CSP se refiere a una clase importante de problemas computacionales donde, dada una álgebra relacional A y una sentencia existencial ϕ sobre esta álgebra, la cuestión es determinar si ϕ puede satisfacerse en A. El álgebra A suele ser fija, por lo que el CSP A se refiere al problema cuya instancia es únicamente la sentencia existencial ϕ .

Se demuestra que todo problema computacional puede formularse como CSP A para alguna álgebra A. [ 3 ]

Por ejemplo, el problema de n -coloración se puede plantear como un CSP del álgebra ({0, 1, ..., n −1}, ≠) , es decir, un álgebra con n elementos y una única relación, desigualdad.

Generalizaciones

El álgebra universal también se ha estudiado utilizando las técnicas de la teoría de categorías . En este enfoque, en lugar de escribir una lista de operaciones y ecuaciones que estas cumplen, se puede describir una estructura algebraica utilizando categorías de un tipo especial, conocidas como teorías de Lawvere o, más generalmente, teorías algebraicas . Alternativamente, se pueden describir estructuras algebraicas utilizando mónadas . Ambos enfoques están estrechamente relacionados, cada uno con sus propias ventajas. [ 4 ] En particular, toda teoría de Lawvere proporciona una mónada en la categoría de conjuntos, mientras que cualquier mónada "finitaria" en la categoría de conjuntos surge de una teoría de Lawvere. Sin embargo, una mónada describe estructuras algebraicas dentro de una categoría particular (por ejemplo, la categoría de conjuntos), mientras que las teorías algebraicas describen la estructura dentro de cualquier clase amplia de categorías (es decir, aquellas con productos finitos ).

Un desarrollo más reciente en la teoría de categorías es la teoría de operadas  : una operada es un conjunto de operaciones, similar a un álgebra universal, pero con la restricción de que las ecuaciones solo se permiten entre expresiones con las variables, sin duplicación ni omisión de variables. [ 5 ] Así, los anillos pueden describirse como las llamadas "álgebras" de alguna operada, pero no los grupos, ya que la ley gg −1 = 1 duplica la variable g en el lado izquierdo y la omite en el lado derecho. Al principio, esto puede parecer una restricción problemática, pero la ventaja es que las operadas tienen ciertas ventajas: por ejemplo, se pueden hibridar los conceptos de anillo y espacio vectorial para obtener el concepto de álgebra asociativa , pero no se puede formar un híbrido similar de los conceptos de grupo y espacio vectorial. [ 6 ]

Otro desarrollo es el álgebra parcial, donde los operadores pueden ser funciones parciales . Ciertas funciones parciales también pueden ser manejadas mediante una generalización de las teorías de Lawvere conocidas como "teorías esencialmente algebraicas". [ 7 ]

Otra generalización del álgebra universal es la teoría de modelos , que a veces se describe como "álgebra universal + lógica". [ 8 ]

Historia

En el libro de Alfred North Whitehead , Tratado de álgebra universal, publicado en 1898, el término álgebra universal tenía esencialmente el mismo significado que tiene hoy. Whitehead atribuye a William Rowan Hamilton y Augustus De Morgan la creación del tema, y ​​a James Joseph Sylvester la acuñación del término en sí. [ 9 ] : v

En aquel entonces, estructuras como las álgebras de Lie y los cuaterniones hiperbólicos pusieron de manifiesto la necesidad de ampliar las estructuras algebraicas más allá de la clase asociativamente multiplicativa. En una reseña, Alexander Macfarlane escribió: «La idea principal de la obra no es la unificación de los diversos métodos, ni la generalización del álgebra ordinaria para incluirlos, sino más bien el estudio comparativo de sus diversas estructuras». [ 10 ] En aquel momento, el álgebra de la lógica de George Boole constituía un fuerte contrapunto al álgebra numérica ordinaria, por lo que el término «universal» sirvió para calmar las sensibilidades tensas.

Los primeros trabajos de Whitehead buscaban unificar los cuaterniones (debido a Hamilton), la Ausdehnungslehre de Grassmann y el álgebra de la lógica de Boole. Whitehead escribió en su libro:

«Tales álgebras poseen un valor intrínseco para un estudio detallado e independiente; asimismo, merecen un estudio comparativo, por la luz que arroja sobre la teoría general del razonamiento simbólico y, en particular, sobre el simbolismo algebraico. El estudio comparativo presupone necesariamente un estudio previo e independiente, ya que la comparación es imposible sin conocimiento.» [ 9 ]

Sin embargo, Whitehead no obtuvo resultados de carácter general. El trabajo sobre el tema fue mínimo hasta principios de la década de 1930, cuando Garrett Birkhoff y Øystein Ore comenzaron a publicar sobre álgebras universales. Los avances en metamatemáticas y teoría de categorías en las décadas de 1940 y 1950 impulsaron el campo, en particular el trabajo de Abraham Robinson , Alfred Tarski , Andrzej Mostowski y sus estudiantes. [ 11 ]

Entre 1935 y 1950, la mayoría de los trabajos se escribieron siguiendo las líneas sugeridas por los artículos de Birkhoff, que trataban sobre álgebras libres , retículos de congruencia y subálgebras, y teoremas de homomorfismo. Si bien el desarrollo de la lógica matemática había posibilitado aplicaciones al álgebra, estas se produjeron lentamente; los resultados publicados por Anatoly Maltsev en la década de 1940 pasaron desapercibidos debido a la guerra. La conferencia de Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge de 1950 marcó el comienzo de un nuevo período en el que se desarrollaron aspectos de la teoría de modelos, principalmente por el propio Tarski, así como por Chen Chung Chang , Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndon y otros.

A finales de la década de 1950, Edward Marczewski [ 12 ] enfatizó la importancia de las álgebras libres, lo que llevó a la publicación de más de 50 artículos sobre la teoría algebraica de las álgebras libres por el propio Marczewski, junto con Jan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik y otros.

En la década de 1960 aparecieron libros de texto introductorios de Bernhard Neumann (1962), Paul Cohn (1965), George Grätzer (1967) y Richard S. Pierce (1968). A partir de la tesis de William Lawvere en 1963, las técnicas de la teoría de categorías se han vuelto importantes en el álgebra universal. [ 13 ]

Véase también

Notas a pie de página

  1. ↑ Higgins, PJ (1956), "Grupos con operadores múltiples" , Proc. London Math. Soc. , 3 (6): 366– 416, doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366
  2. ^ Higgins, PJ (1963), "Álgebras con un esquema de operadores", Mathematische Nachrichten , 27 ( 1– 2): 115– 132, doi : 10.1002/mana.19630270108
  3. ↑ Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin (2008), No dicotomías en la complejidad de satisfacción de restricciones (PDF)
  4. ↑ Hyland, Martin; Power, John (2007), The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF) , archivado del original (PDF) el 30 de mayo de 2023
  5. ↑ Markl, M.; Shnider, S.; Stasheff, JD (2002). Operadas en álgebra, topología y física . Estudios y monografías matemáticas. Sociedad Matemática Americana. ISBN 9780821843628. LCCN 2002016342 . 
  6. ↑ Pierce, Richard S. (1982). «El álgebra asociativa». Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 88. Nueva York, NY: Springer New York. pp. 1–20 . doi : 10.1007/978-1-4757-0163-0_1 . ISBN   978-1-4757-0163-0.
  7. ↑ Teoría esencialmente algebraica en el Laboratorio n
  8. ↑ CC Chang y H. Jerome Keisler (1990). Teoría de modelos . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 73 (3.ª ed.). North Holland. p. 1. ISBN    0444880542.
  9. 1 2 George Grätzer (1968). MH Stone y L. Nirenberg y SS Chern (eds.). Álgebra Universal (1.ª ed.). Van Nostrand Co., Inc. 
  10. ↑ Alexander Macfarlane (1899) Reseña: Un tratado sobre álgebra universal (pdf) , Science 9: 324–8 vía Internet Archive
  11. ↑ Brainerd, Barron (agosto-septiembre de 1967), "Reseña de Álgebra Universal de P. M. Cohn ", American Mathematical Monthly , 74 ( 7): 878–880
  12. ↑ Marczewski, E. (1958), "Un esquema general de las nociones de independencia en matemáticas", Bull. Acad. Polon. Sci. , Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 6 : 731– 736
  13. ↑ Lawvere, William F. (1964), Semántica funtorial de las teorías algebraicas (Tesis doctoral)

Referencias

  • Bergman, George M. (1998), Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales , Berkeley, CA: Henry Helson, pág.  398, ISBN 0-9655211-4-1
  • Birkhoff, Garrett (1946), "Álgebra universal", Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques , Toronto: University of Toronto Press: 310– 326
  • Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal , Springer-Verlag, ISBN 3-540-90578-2Edición gratuita en línea
  • Cohn, Paul Moritz (1981), Álgebra Universal , Dordrecht, Países Bajos: D. Reidel Publishing, ISBN 90-277-1213-1(Publicado por primera vez en 1965 por Harper & Row)
  • Freese, Ralph; McKenzie, Ralph (1987), Teoría de conmutadores para variedades modulares de congruencia , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  125 (1.ª  ed.), Cambridge Univ. Press., ISBN 0-521-34832-3Segunda edición gratuita en línea
  • Grätzer, George (1968), Álgebra Universal , D. Van Nostrand Company, Inc.
  • Hobby, David; McKenzie, Ralph (1988), La estructura de las álgebras finitas , Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-3400-2Edición gratuita en línea
  • Jipsen, Peter; Rose, Henry (1992), Variedades de retículos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1533, Springer Verlag, ISBN 0-387-56314-8Edición gratuita en línea
  • Pigozzi, Don, Teoría general de las álgebras (PDF)Edición gratuita en línea
  • Smith, JDH (1976), Variedades Mal'cev , Springer-Verlag
  • Whitehead, Alfred North (1898), Tratado de álgebra universal , Cambridge( principalmente de interés histórico )
  • Álgebra Universalis : una revista dedicada al álgebra universal.